相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、如图1，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E，求证： $C D^{2} = C E \cdot C A$ ；

(2)、如图2，在（1）条件下，点F为 $D E$ 上一点，连接 $C F$ 并延长至点G， $C G$ 交 $A D$ 于点O，连接 $A G$ 、 $D G$ ，当 $∠ C D G = ∠ C F D$ 时，判断 $△ A G C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，平面内一点M，满足 $∠ C M D = ∠ M C D$ ， $C D = 1$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，连接 $C M$ 并延长至点H，使 $∠ C B M = ∠ C H B$ ，连接 $D H$ ，当线段 $B H$ 取最小值时，求线段 $D H$ 的长．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ．

(1)、尺规作图：将 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、 $△ B D E$ 周长的最小值是；

(3)、点 $M$ ， $N$ 分别是 $D E$ ， $B C$ 中点，连接 $M N$ ，探究 $B E$ 与 $M N$ 的数量关系．

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3、如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $B C = 4$ ， $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 上的点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B D$ 延长线于点 $A$ ，点 $E$ 为 $A C$ 中点，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\overset{⌢}{D C} = 2 \overset{⌢}{B D}$ ，请比较 $△ B C D$ 周长与阴影部分周长的大小．

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4、抛物线 $y = x^{2} + m x + 1$ 经过点 $M (3, - 2)$ ．

(1)、求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标．

(2)、已知点 $A (x - 1, y_{1})$ ， $B (x + 3, y_{2})$ ， $C (x + 2, y_{3})$ 在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由．

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5、某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成 $A, B, C, D$ 四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______．

(2)、从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A C$ 和 $A B$ 上的点，其中 $A E = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C = 4$ ， $A B = 6$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ；

(2)、记 $△ A D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ______．

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7、解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ；

(2)、 $2 (x + 5) = x (x + 5)$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $I$ 是 $△ A B C$ 的内心，直线 $F G$ 经过点 $I$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ G F$ ，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最大值是．

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9、如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形 $A B C D E F$ ，已知正六边形的外接圆半径为 $6 cm$ ，则该正六边形的边心距 $O G$ 的长为 $cm$ ．

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10、如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是 $12 {πcm}^{2}$ ，其侧面展开图是圆心角为 $180 °$ 的扇形，则它的母线长是cm．

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11、如图，二次函数： $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数： $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，则当 $a x^{2} + b x + c < m x + n$ 时， $x$ 的取值范围是．

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12、如图， $O P$ 和 $O^{'} P^{'}$ 是两个相距 $20$ 米且高度都为 $3 a$ 米的路灯，身高 $a$ 米的小明（ $A B$ ）晚上在路灯下沿线段 $O O^{'}$ 来回散步，则他身体前后的两个影子之和 $D C$ 的长为（）

A、 $6 m$ B、 $8 m$ C、 $10 m$ D、 $12 m$

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13、关于抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ ，下列说法错误的是（）

A、图象的开口向下 B、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减少 C、图象的顶点坐标是 $(- 1, 2)$ D、图象与y轴的交点坐标为 $(0, 2)$

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14、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $E$ 为 $B C$ 延长线上一点，连接 $O D$ ， $O B$ ，若 $∠ B C D : ∠ D C E = 3 : 2$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、 $36 °$ B、 $72 °$ C、 $120 °$ D、 $144 °$

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15、游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤 $O B$ 以 $O$ 为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动 $1$ 次的运动轨迹可以看作 $\overset{⌢}{A C}$ ，连接 $A C$ ，交 $O B$ 于点 $D$ ，已知 $O B ⊥ A C$ ， $A C = 16 m$ ， $O D = 6m$ ，则大摆锤的长度为（）

A、 $8 m$ B、 $9 m$ C、 $10 m$ D、 $12 m$

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16、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)$ ．下列说法中：
①因式分解： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 1 = (x - y + 1) (x - y - 1)$
②若a，b，c是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b c = b^{2} + a c$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形．
③若a，b，c为实数满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} + 28 = 4 a + 8 b + 8 c$ ，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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18、 $D e e p S e e k$ 公司研发的两个 $A I$ 模型 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 共同处理一批数据．已知 $R_{2}$ 单独处理数据的时间比 $R_{1}$ 少2小时．若两模型合作处理，仅需 $1.2$ 小时即可完成．设 $R_{1}$ 单独处理需要 $x$ 小时，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1.2$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{1.2}$ C、 $x + (x - 2) = 1.2$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.2}$

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19、为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、如图为两个特殊三角板 $A O B$ 和三角板 $C O D$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ D = 60 °$ ， $O$ 为直角顶点，两直角顶点重合， $A$ ， $O$ ， $D$ 在同一直线上， $O B$ ， $O C$ 重合， $O M$ 平分 $∠ C O D$ ， $O N$ 平分 $∠ A O B$ ．

(1)、 $∠ M O N =$ 　　度；

(2)、若三角板 $A O B$ 与三角板 $C O D$ 位置如图（2）所示，满足 $∠ B O C = 20 °$ ，求 $∠ M O N$ 的度数；

(3)、在图（1）的情形下，三角板 $A O B$ 固定不动，若三角板 $C O D$ 绕着 $O$ 点旋转（旋转角度小于 $45 °$ ）， $∠ B O C = α$ ，求 $∠ M O N$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）．

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