4.8 图形的位似-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为( )

A、点 M B、点 N C、点O D、点 P

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2. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ．若点 $A (- 3, 1)$ 的对应点为 $A^{'} (- 6, 2)$ ，则点 $B (- 2, 4)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 4, 8)$ B、 $(8, - 4)$ C、 $(- 8, 4)$ D、 $(4, - 8)$

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3. 如图1，以O为位似中心，作出 $△ A B C$ 的位似 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证 $\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B} = \frac{O C^{'}}{O C} = \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、只有珍珍正确 B、只有明明正确 C、两个人都正确 D、两个人都不正确

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，若 $△ A B C$ 的面积为 4，且 $O A = 2 A D$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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5. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4 ， 2)$ ， $B (- 6 ， - 4)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 8 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 1)$ 或 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 8 ， 4)$ 或 $(8 ， - 4)$

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6. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 $1$ 个单位长度，以点 $C$ 为位似中心，在网格中画 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 位似， $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 的对应点分别为 $A 、 B 、 C$ ，且 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的位似比为 $2 : 1$ ，则下列说法不正确的是（　　）

A、点 $B_{1}$ 的坐标为 $(4, 0)$ B、 $A_{1} B_{1} ∥ A B$ C、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的周长之比为 $2 : 1$ D、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为 $\sqrt{2} : 1$

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7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　）

A、(2，5) B、( $\frac{5}{2}$ ， 5) C、(3，5) D、(3，6)

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8. 如图1，正方形 $A B C D$ 绕中心O逆时针旋转45°得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为 $\frac{1}{2}$ ，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、 $6 + 3 \sqrt{2}$ D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 如图，线段 $A B$ 两个端点的坐标分别为 $A (4, 4)$ ， $B (6, 2)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，在第一象限内将线段 $A B$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 后得到线段 $C D$ ，则端点 $D$ 的坐标为．

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10. 平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，则点A的对应点A' 的坐标为．

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11. 如图，四边形 AEFH与四边形 ABCD 是位似图形，位似比为 $\frac{3}{5}$ 且四边形 AEFH的周长为 30cm.则四边形 ABCD的周长为cm.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 位似，其位似中心为点O，且 $\frac{O E}{E A} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{F G}{B C} =$ ， $\frac{S_{四边形 E F G H}}{S_{四边形 A B C D}}$ ＝．

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13. 如图，点 $E (- 4, 2)$ ， $F (- 2, - 2)$ ，以 $O$ 为位似中心，将 $△ E F O$ 放大 $2$ 倍，则点 $E$ 的对应点 $E_{1}$ 的坐标是．

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三、解答题

14. 图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．

(1)、在图 1 中画出将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 后的 $△ A_{1} B_{1} C$ （保留作图痕迹并请标注字母）．

(2)、在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 $△ A B C$ 相似但不全等（请涂填阴影）．

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (- 2, 1), B (- 1, 4), C (- 3, 2)$ ．

(1)、以原点 $O$ 为位似中心，在 $y$ 轴的左侧，画一个 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使它与 $△ A B C$ 位似，相似比是2；

(2)、请直接写出点 $B^{'}, C^{'}$ 的坐标： $B^{'}$ （） $C^{'}$ （）．

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16. 如图， $△ A B C$ 在正方形格纸中.

(1)、请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使 $A (2, 3)$ ， $C (6, 2)$ ，并写出点 $B$ 坐标；

(2)、以坐标原点 $O$ 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将 $△ A B C$ 放大，画出放大后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标；

(3)、若线段 $A B$ 绕原点 $O$ 旋转 $9 0^{°}$ 后点 $B$ 的对应点为 $B_{2}$ ，写出点 $B_{2}$ 的坐标.

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17. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， O在一条直线上为止．这时我们说，在 $D_{1}$ 处用①号“E”测得的视力与在 $D_{2}$ 处用②号“E”测得的视力相同．

(1)、探究图中 $\frac{b_{1}}{l_{1}}$ 与 $\frac{b_{2}}{l_{2}}$ 之间的关系，请说明理由；

(2)、若 $b_{1} = 3.2 c m ， b_{2} = 2 c m$ ， ①号“E”的测量距离 $l_{1} = 80 c m$ ，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离 $l_{2}$ ．

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18. 如图，的三个顶点坐标分别为 $A (2 ， - 4) ， B (4 ， - 4) ， C (1 ， - 1)$ .

(1)、直接写出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、以点 $B$ 为位似中心，在网格中画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{3} B C_{3}$ ，使 $△ A_{3} B C_{3}$ 与 $△ A B C$ 的相似比为 $2 ： 1$ .

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (4 ， 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (1 ， 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、以原点O为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使它与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的相似比为 $3 ： 1$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标；

(3)、在 $△ A B C$ 内有一点 $P (x ， y)$ ，按（1）与（2）的方式得到的对应点 $P_{2}$ 的坐标是．

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20. 阅读与思考
探索位似的性质

利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．

小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想-验证—应用”的方法进行探究，步骤如下∶如图（1），任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A´B´C´．

图（1）

第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．

第二步，以0为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A´的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A´的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其他顶点进行相同的操作，得出相同的结论．

第三步，作线段 OA，OA´，OB，OB´，OC，OC´，度量它们，发现的结论是：_________．

第四步，任意改变△ABC的位置成形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．

于是，小明总结并得出了位似的性质．

任务∶

(1)、第三步发现的结论是：．．

(2)、已知图（1）中A（6，2），A´（9，3），B（3，3），S_△_ABC=2，则点B´的坐标是， S_△_A´B´C´= ．

(3)、如图（2），以点A为位似中心，画出与矩形 ABCD的相似比为0.75的一个图形．

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