6.2 反比例函数的图象与性质-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上有三点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ ， $A_{3} (x_{3}, y_{3})$ ，已知 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则下列选项中正确的是（　　）

A、 $y_{3} < y_{1} < 0 < y_{2}$ B、 $y_{2} < 0 < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < 0 < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < 0 < y_{3}$

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2. 已知点A $(x_{1} ， - 6)$ ， B $(x_{2} ， - 3 \sqrt{2})$ ， C $(x_{3} ， 3)$ 在反比例函数 $y = - \frac{18}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是( )

A、x₁＜x₂＜x₃ B、x₂＜x₁＜x₃ C、x₃＜x₁＜x₂ D、x₃＜x₂＜x₁

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3. 已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（）

A、 $24 V$ B、 $11 V$ C、 $\frac{8}{3} V$ D、 $38 V$

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4. 已知点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ 和 $C (2 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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5. 如图，A为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上一点， $A B ⊥ x$ 轴于点B，若 $S_{△ A O B} = 3$ ，则k的值为（）

A、1.5 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、6

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6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k ＞ 0$ ）的图象经过点D，交BC于点E， $C E = 2 B E$ ，记 $△ A D E$ 的面积为S，若 $S = \frac{48}{k} + 13$ ，则k的值为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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7. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 和正方形 $A D E F$ 的顶点 $E$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点 $B$ 的坐标为 $(3, 6)$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(4, \frac{9}{2})$ B、 $(6, 3)$ C、 $(8, \frac{9}{4})$ D、 $(9, 2)$

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8. 两个反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 和y= $\frac{1}{x}$ 在第一象限内的图象如图所示，点P在y= $\frac{k}{x}$ 的图象上，PC⊥x轴于点C，交y= $\frac{1}{x}$ 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y= $\frac{1}{x}$ 的图象于点B，当点P在y= $\frac{k}{x}$ 的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（　　）

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

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二、填空题

9. 如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a > 0, x > 0)$ 和 $y = \frac{b}{x} (b < 0, x > 0)$ 的图象上，且 $B C ∥ y$ 轴，若 $△ A B C$ 的面积为6，则 $a - b$ 的值为．

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的两边 $O C$ 、 $O A$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与 $B C$ 相交于点 $E$ ，若 $B E = 4 E C$ ，且 $△ O D E$ 的面积是12，则 $k$ 的值为．

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11. 在反比例函数 $y = \frac{2 - m}{x}$ 的图象上有两点A（x₁ ， y₂）、B（x₂ ， y₂），当x₁＜0＜x₂时，有y₁>y₂ ，则m的取值范围是．

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12. 如图，O 为坐标原点， Rt△OAC 的直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象经过OA 的中点B，交AC 于点D，连结OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA 对应的函数表达式为.

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13. 如图，在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ (x>0)的图象上，有点P₁、P₂、P₃、P₄ ，它们的横坐标依次为1、2、3、4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁、S₂、S₃ ，则S₁＋S₂＋S₃＝.

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三、解答题

14. 如图，平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 在第一象限内，边 $B C$ 与 $x$ 轴平行， $A$ ， $B$ 两点的纵坐标分别为 $6$ ， $4$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $A$ ， $B$ 两点，若菱形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，

(1)、求菱形的边长；

(2)、求 $k$ 的值．

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15. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 1$ ）．

(1)、若点 $A (1, - 2)$ 在这个函数的图象上，求 $k$ 的值；

(2)、若 $k = 5$ ，试判断点 $B (- \frac{1}{2}, - 8)$ 是否在这个函数的图象上，并说明理由．

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16. 已知 $A = \frac{{(a + b)}^{2} - 4 a b}{a b {(a - b)}^{2}}$ （ $a b \neq 0$ 且 $a \neq b$ ）．

(1)、化简A；

(2)、若点 $P (a ， b)$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上，求A的值．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）的图象经过点 $A (3, m)$ ，过点A作 $A B$ 垂直x轴的，垂足为点B，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求m和k的值；

(2)、若点 $C (x, y)$ 也在这个函数的图象上，当 $1 \leq x \leq 4$ 时，求函数值y的取值范围．

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18. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，点 $O$ 为坐标原点，点 $B$ 的坐标为 $(2, 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过 $B C$ 的中点 $D$ ，且与 $A B$ 交于点 $E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ B D E$ 的面积；

(3)、若点 $F$ 是 $y$ 轴上一点，且 $△ F B C$ 与 $△ D E B$ 相似，求点 $F$ 的坐标．

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19. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (2 n - 1,6)$ 和点 $B (3,3 n - 1)$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、连接 $O A$ ， $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、直接写出关于 $x$ 的不等式： $\frac{m}{x} > k x + b$ 的解集．

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20. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点 $A (x ， y)$ ，我们把点B $(\frac{1}{x} ， \frac{1}{y})$ 称为点A的“倒数点”．

(1)、写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标；

(2)、点P是反比例函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；

(3)、如图，矩形 $O C D E$ 的顶点 $C (3 ， 0)$ ，顶点E在y轴上，函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与 $D E$ 交于点A ．若点B点A的“倒数点”，且点B在矩形 $O C D E$ 的一边上，求 $△ O B C$ 的面积．

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21. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点 $P$ 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，若由点 $P$ 、原点 $O$ 、两个垂足 $A$ 、 $B$ 为顶点的矩形 $O A P B$ 的周长与面积的数值相等时，则称点 $P$ 是平面直角坐标系中的“美好点”．

(1)、【尝试初探】
点 $C (2, 3)$ “美好点”（填“是”或“不是” $)$ ；若点 $D (4, b)$ 是第一象限内的一个“美好点”，则 $b =$ ；

(2)、【深入探究】
若“美好点” $E (m$ ， $6) (m > 0)$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0$ ，且 $k$ 为常数）上，则 $k =$ ；

(3)、【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点 $P (x, y)$ 是第一象限内的“美好点”．
①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并求出自变量 $x$ 的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，请将下表填写完整．
$x$
$\dots$
3
4
5
6
7
8
$\dots$
$y$
$\dots$
$\dots$
描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ▲ ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
$A$ ．图象与经过点 $(2, 2)$ 且平行于坐标轴的直线没有交点；
$B$ ． $y$ 随着 $x$ 的增大而减小；
$C$ ． $y$ 随着 $x$ 的增大而增大；
$D$ ．图象经过点 $(10, \frac{3}{2})$ ．
④对于图象上任意一点 $(x, y)$ ，代数式 $(2 - x) \cdot (y - 2)$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数 $(x > 0)$ 的图象怎样平移得到？

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22. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程ax²+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， $x_{3}$ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x₁ ， x₂ ， x₃可以构成“和谐三数组”；

(3)、若A（m，y₁），B（m + 1，y₂），C（m+3，y₃）三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.

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$x$	$\dots$	3	4	5	6	7	8	$\dots$
$y$	$\dots$							$\dots$