4.7 相似三角形的性质-师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-11-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若两个相似三角形的相似比是 $1 : 4$ ，则这两个相似三角形的周长比是（）

A、 $1 : 4$ B、 $1 : 5$ C、 $1 : 6$ D、 $1 : 8$

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2. 如图， $△ A B C$ 中，点D ， E分别是边AB ， AC的中点，若 $S_{△ A D E} = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、9 D、8

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3. 已知两个相似三角形的相似比为 $1 : 9$ ，则它们的对应高的比为（）

A、 $1 : 3$ B、 $1 : 9$ C、 $1 : 81$ D、 $1 : 18$

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4. 若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为( )

A、9：1 B、6：1 C、3：1 D、 $\sqrt{3}$ ：1

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，且分别交 $A B, A C$ 于点D，E，若 $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{5}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ B、 $\frac{A E}{E C} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{四边形 D B C E}} = \frac{4}{21}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$

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6. 如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、 $\frac{25}{4}$

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7. 如图，点 $D$ 在等腰直角 $△ A B C$ 的腰 $A B$ 上运动，以 $C D$ 为腰，点 $D$ 为直角顶点作等腰直角 $△ C D E ， D E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，连结 $A E$ ，当 $△ C D F$ 与 $△ A E F$ 的面积比为 $2 : 1$ 时， $\frac{B D}{A B}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $C D$ 上一点，且 $D E = \frac{1}{2} C E$ ，连接 $B E$ 并延长，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $A E$ ，则 $S_{△ F E D} : S_{△ A E B} =$ （）

A、 $1 : 6$ B、 $2 : 5$ C、 $3 : 7$ D、 $1 : 3$

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二、填空题

9. 已知两个相似三角形的相似比是 $3 : 2$ ，则它们的面积之比为．

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10. $△ A B C$ 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的 $△ D E F$ ，其最长边为12，则 $△ D E F$ 的周长是．

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11. 点 $O$ 是△ABC的重心，若 $△ B O D$ 的面积等于6， $S_{四边形 C D O E} =$ .

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12. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的 $\frac{9}{16}$ ，若AB=6，则△DEF移动的距离AD=.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边 $A B$ 上一点
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点M、N；
②以点D为圆心，以 $A M$ 长为半径作弧，交 $D B$ 于点 $M^{'}$ ；
③以点 $M^{'}$ 为圆心，以 $M N$ 长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内部交前面的弧于点 $N^{'}$ ；
④过点 $N^{'}$ 作射线 $D N^{'}$ 交 $B C$ 于点E．
若 $△ B D E$ 与四边形 $A C E D$ 的面积比为 $4 : 21$ ，则 $\frac{B E}{C E}$ 的值为．

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三、解答题

14. 已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．

(1)、求证：△ABD∽△CBA ．

(2)、若△ABC的周长为11，请求出AD的长．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B C E = ∠ A C D$ ．
（1）求证： $△ A B C \sim △ D E C$ ；
（2）若 $S_{△ A B C} : S_{△ D E C} = 4 : 9$ ， $B C = 6$ ，求 $E C$ 的长．

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16. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， D为 $A B$ 上任意一点， $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ D B F$ ；

(2)、若 $A C = 6$ ， $B C = 10$ ，若四边形 $D E C F$ 为菱形，求出此时菱形的边长；

(3)、若 $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ，且 $△ A D E$ 的面积为4，则四边形 $D E C F$ 的面积为______．

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17. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点G是 $B D$ 上一点，且 $B G = 2 G D$ ，过点G作 $E F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点F，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $F G$ 的延长线于点E，已知 $△ A B C$ 的面积为18．

(1)、求 $\frac{G F}{D C}$ 的值．

(2)、求四边形 $C D E F$ 的面积．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ C F B$ ；

(2)、若 $△ D E F$ 的面积为 $4$ ， $\frac{D F}{C F} = \frac{2}{3}$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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19. 如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．

求：

(1)、AK为何值时，矩形EFGH是正方形？

(2)、若设AK=x，S_EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．

(3)、x为何值时，S_EFGH达到最大值．

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20. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

(1)、求证：△BDE∽△EFC．

(2)、设 $\frac{A F}{F C} = \frac{1}{2}$
①若BC=12，求线段BE的长．
②若△EFC的面积是20，则△ABC的面积为 ▲

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