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1、《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各是多少？设共有x人，则可列方程（）

A、 $8 x - 3 = 7 x + 4$ B、 $8 x + 3 = 7 x - 4$ C、 $8 x - 3 = 7 x - 4$ D、 $3 x - 8 = 4 x + 7$

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2、如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中， $∠ α = ∠ β$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、若关于x的方程 $2 x + a - 3 = 0$ 的解为 $x = 1$ ，则a的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $1$

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4、下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $5 a - 3 a = 2$ C、 $4 a b - a b = 3 a b$ D、 $- 5 - 3 = - 2$

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5、2025年10月20日，国家统计局发布数据显示，前三季度中国国内生产总值（ $G D P$ ）约102亿元.102亿用科学记数法表示为（）

A、 $102 \times 10^{8}$ B、 $10.2 \times 10^{9}$ C、 $1.02 \times 10^{10}$ D、 $1.02 \times 10^{11}$

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6、单项式 $- 2 x y^{2}$ 的系数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、3 D、4

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7、中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．若上升6米记作“ $+ 6$ 米”，则下降4米记作（）

A、 $+ 4$ 米 B、 $- 4$ 米 C、 $\pm 4$ 米 D、不能确定

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8、材料1：古希腊的几何学家海伦（ $H e r o n$ ，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形的面积）；
材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中三角形边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，三角形的面积为 $S$ ．
阅读上述材料解决下列问题：
（1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为．
（2）当三角形的三边长为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{6}$ 、 $\sqrt{7}$ 时，这个三角形的面积为．

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9、定义：我们把 $y = \frac{1}{a} x + c$ 称为 $y = a x + b$ （ $a \neq 0$ ， $b$ ， $c$ 为常数）的互倒一次函数．

(1)、请你写出 $y = 2 x - 3$ 的其中一个互倒一次函数；

(2)、如图 $1$ ， $y = 3 x$ 与 $y = \frac{1}{3} x$ 是一对互倒一次函数，点 $A$ 是 $y = 3 x$ 在第一象限图像上的任意一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，交 $y = \frac{1}{3} x$ 于点 $C$ ．求证： $△ A O B ∽ △ O C B$ ；

(3)、如图 $2$ ， $y = \frac{4}{3} x$ 与 $y = \frac{3}{4} x + d (d \neq 0)$ 相交于点 $Q$ ， $y = \frac{3}{4} x + d$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，请判断 $\frac{P Q}{O Q}$ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

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10、四边形是研究几何性质的重要载体．结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，完成以下探究：（注：图2、图3为示意图，若计算结果存在多种情形，请保留结果．）

(1)、在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ．
①如图1，以各边向外作正方形，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ；若 $S_{1} + S_{3} = 30, S_{2} + S_{4} = 40$ ，那么 $S_{1} + S_{2} =$ ___________；
②如图2，若 $A B = 20, B C = 15, A D + C D = 31$ ，求 $C D$ 的值．

(2)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 16$ ， $B C = 12$ ， $∠ A D C = 60 °$ 且 $A D + C D = 20 \sqrt{3}$ ，求 $∠ A C D$ 的度数．

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11、某公司生产一种成本价为 $200$ 元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量 $w$ （台）与销售单价 $x$ （元）满足 $w = - 5 x + 3000$ ，设销售该无人机每月的利润为 $y$ （元）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？

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12、某校课后服务开设了四类社团：文化类、科创类、艺术类、体育类．每名学生必须且只能选择参加其中一类社团．为了解学生的选择情况，学校随机抽取部分学生进行了问卷调查，并把调查结果制成如下统计图（部分信息未给出）．请根据已有信息，回答下列问题：

(1)、补全条形统计图，并在图上标注相应数据；

(2)、若全校共有2400名学生，试估计选择“科创类”社团的学生人数；

(3)、请用列表或画树状图的方法，求童童和豆豆两名同学选择同一类社团的概率．

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13、某生命科学实验室进行细胞培养实验．细胞培养液的营养活性浓度 $y$ （单位： $U / mL$ ）与培养液的稀释倍数 $x (x > 1)$ 成反比例关系．实验数据显示，当稀释倍数为 $15$ 时，营养活性浓度为 $400 U / mL$ ．

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、已知培养液的营养活性浓度需满足 $300 U / mL \leq y \leq 500 U / mL$ ，为满足细胞培养需求，求培养液稀释倍数 $x$ 的取值范围．

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14、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E 、 F$ 分别在边 $A D 、 A B$ 上，连接 $C E 、 C F 、 E F$ ，已知 $C E = C F = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证： $A E = A F$ ；

(2)、求 $E F$ 的长．

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15、解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$

(2)、 $4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一动点（不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，以 $A D$ 为边在其右侧作等边 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．那么 $\frac{C F}{A F}$ 的最大值为．

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，已知 $A B = 13, A O = 12$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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18、已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 过 $A (3, m)$ ， $B (- 4, n)$ 两点，则 $m$ $n$ ．（填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F 、 G 、 H$ 分别在四条边上，且 $A H > D H$ ．将 $∠ A 、 ∠ B$ 分别沿 $E H 、 E F$ 折叠，折叠后点 $A$ 、点 $B$ 重合于点 $M$ ．同样操作，将 $∠ C 、 ∠ D$ 分别沿 $G F 、 G H$ 折叠，折叠后点 $C$ 、点 $D$ 重合于点 $N$ ．若 $A B = 12$ ， $F H = 20$ ，则 $A H$ 的值为（）

A、 $12$ B、 $14$ C、 $16$ D、 $18$

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20、下列命题是真命题的是（）

A、平行四边形一定是轴对称图形 B、平行四边形一定是中心对称图形 C、两个相似多边形一定位似 D、两个位似多边形一定全等

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