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1、先阅读，再解答．由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是______；化简 $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ______；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ______；

(3)、比较 $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

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2、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (0, 2), B (2, - 2), C (4, - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $C_{1}$ 的坐标为______；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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3、解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} = 64$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 4 x - y = 30 \\ x - y = 9 \end{matrix}$ ．

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4、如图，将对角线 $B D$ 长为 $16 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点B落在 $D C$ 边的中点 $Q$ 处，点 $A$ 落在 $P$ 处，折痕为 $E F$ ．连接 $E Q$ ，则 $E Q$ 的长为．

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5、一个正数的两个平方根分别是 $a - 1$ 和 $5 - 2 a$ ，则 $a =$ ．

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6、如图，两个不同的一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = b x + a$ 的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7、下列不是二元一次方程组的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\ x - y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 4 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = y - 1 \\ x + y = 1 \end{array}$

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8、如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母B所代表的正方形的面积是（）

A、12 B、13 C、144 D、194

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9、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{0.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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10、在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将 $x^{2} - 9$ 因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将 $x^{3} - x$ 因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（）

A、141414 B、141315 C、131413 D、151415

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11、【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺 $E F G$ 和 $H M N$ （ $∠ G E F = ∠ M H N = 90 °$ ， $∠ M N H = 60 °$ ， $∠ H M N = 30 °$ ， $∠ E G F = ∠ E P G = 45 °$ ），已知 $A B ∥ C D$ ．如图①，把三角尺 $E F G$ 的直角顶点 $E$ 放在直线 $C D$ 上，把三角尺 $H M N$ 的直角顶点 $H$ 放在直线 $A B$ 上， $H M$ 经过点 $E$ ．
．
（1）若 $∠ G E M = 120 °$ ， $∠ D E F = 20 °$ ，求 $∠ A H N$ 的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点 $H$ 逆时针旋转三角尺 $H M N$ ，恰好可以使得点 $G$ 与点 $N$ 重合，此时测得 $∠ F G M = 20 °$ ，请你说明 $∠ A H G$ 与 $∠ D E F$ 之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺 $G E F$ 绕 $E$ 点以每秒 $3 °$ 的速度按逆时针方向，同时将三角尺 $H M N$ 绕 $H$ 点以每秒 $2 °$ 的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为 $t$ （ $0 \leq t \leq 60$ ）．请直接写出当 $H N$ 与 $△ E G F$ 的一边平行时 $t$ 的值．

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12、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $M$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，且使 $△ P A M$ 周长最小，求 $△ P A M$ 最小周长；

(3)、在（2）的条件下，若点 $N$ 在直线 $P M$ 上，且 $∠ A B O + ∠ O B N = 45 °$ ，求点 $N$ 的坐标．

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13、如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $A D = 4$ ， $C D = 1$ ．

(1)、求 $A B$ ， $B C$ 的长；

(2)、若点 $E$ 是射线 $D A$ 上的一个动点，作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连结 $F D$ ．
①当 $C F = C D$ 时，求 $D E$ 的长．
②设直线 $E F$ 交直线 $A B$ 于点 $P$ ，若 $A P : B P = 3 : 7$ ，求 $B E$ 的长．

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14、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 $x$ （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 $y$ （万元）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）；

(2)、根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是 $1000 \leq x \leq 1200$ ．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

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15、在 $△ A B C$ 中，如图，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点，点 $P$ 是边 $A B$ 上的点， $Q$ 在边 $B C$ 的延长线上，且 $P M ⊥ Q M$ ，连接 $P Q$ ，若 $∠ B = 30 °$ ， $A P = 6$ ， $P Q = 5$ ，则 $C Q$ 的长度为．

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16、已知 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ ， $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} =$ ．

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17、若 $\sqrt{11}$ 的整数部分是 $m$ ， $\sqrt{5}$ 的整数部分是 $n$ ，则 $\sqrt{5} - \sqrt{m + n} =$ ．

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18、如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 和点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、点 $C$ 在 $y$ 轴上，若 $△ A B C$ 的面积为6，求点 $C$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，若 $△ A B P$ 等腰三角形，求点 $P$ 的坐标；

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19、八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
①测得放风筝的小明到 $C E$ 的距离 $B D$ 的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高 $A B$ 为1.68米．

(1)、求风筝的高度 $C E$ ；

(2)、若小亮让风筝沿 $C D$ 方向下降了8米到点 $M$ （即 $C M = 8$ 米），求 $B M$ 的长度．

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20、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 5) ， B (- 1, 0) ， C (- 4, 3)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在图中作出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、写出点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的坐标．

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