相关试卷

1、计算．

(1)、 $(- 12) - 5 + (- 14) - (- 39)$ ；

(2)、 $(- 81) \div \frac{9}{4} \times \frac{4}{9} \div (- 32)$ ；

(3)、 ${(- 2)}^{3} + 6 \times (1 - \frac{1}{3}) + |- 2|$ ；

(4)、 $- 1^{4} + (1 - \frac{1}{2}) \div (- 3) \times [2 - {(- 3)}^{2}]$ ．

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2、已知 $a \neq 0$ 且 $a \neq 1$ ，我们定义 $f_{1} (a) = \frac{1}{1 - a}$ ，记为 $a_{1}$ ； $f_{2} (a) = \frac{1}{1 - a_{1}}$ ，记为 $a_{2}$ ；……； $f_{n} (a) = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ ，记为 $a_{n}$ ．若将数组 $(- 1, \frac{1}{2})$ 中的各数分别作 $f_{1}$ 的变换，得到的数组记为 $(a_{1}, b_{1})$ ；将 $(a_{1}, b_{1})$ 作 $f_{2}$ 的变换，得到的数组记为 $(a_{2}, b_{2})$ ；……则 $a_{1} + b_{1} + a_{2} + b_{2} + a_{3} + b_{3} + \dots \dots + a_{2025} + b_{2025}$ 的值为．

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3、若点 $A 、 B$ 是数轴上的两个点，点 $A$ 表示的数是 $- 3$ ，点 $B$ 与点 $A$ 的距离是2，点 $B$ 表示的数是．

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4、计算： ${(- 2)}^{3} + |- 5| =$

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5、幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则 $a - b$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、7

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6、下列各组数中，相等的一组是 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{2^{3}}{3}$ 与 ${(\frac{2}{3})}^{2}$ B、 $- 2^{2}$ 与 ${(- 2)}^{2}$ C、 ${(- 3)}^{3}$ 与 $- 3^{3}$ D、 $- | - 2 |$ 与 $- (- 2)$

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7、列代数式：用代数式表示“m与n的差的平方的3倍”，正确的是（）

A、 ${(3 m - n)}^{2}$ B、 $3 {(m - n)}^{2}$ C、 $3 m - n^{2}$ D、 ${(m - 3 n)}^{2}$

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8、 $2025$ 的倒数的相反数是（）

A、 $- 2025$ B、 $2025$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $- \frac{1}{2025}$

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9、有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字 $- 1$ ， $- 2$ ， 0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 $x$ ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 $y$ ，确定点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ．

(1)、用树状图或列表法列举点 $M$ 所有可能的坐标；

(2)、求点 $M (x, y)$ 在函数 $y = - x + 1$ 的图象上的概率．

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10、某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告：

活动题目	抛物线的课外实践活动
活动过程	如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度 $A B$ ，然后将高度为 $C D$ 的标杆垂直于 $A B$ 所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部 $D$ 恰好与拱门的内壁接触，底部 $C$ 始终在 $A B$ 上，再测量出 $A$ 、 $C$ 两点间的距离
拱门示意图	说明：以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，经过 $A B$ 中点 $O$ 的垂线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点 $E$ 到地面的距离为 $O E$ ．
测量数据	$A B = 8 m$ ， $C D = 3 m$ ， $A C = 1 m$
任务（1）	求该抛物线型拱门的最高点 $E$ 到地面的距离 $O E$ ；
任务（2）	要在该抛物线型拱门内壁距离地面 $\frac{36}{7} m$ 高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离．

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11、为了解区内 $A I$ 赋能教学实践的情况，从 $3000$ 名九年级学生中，随机抽取 $100$ 名学生进行了关于 $A I$ 辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下：
满意度
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
频数
$5$

$15$

频率

$0.05$

$0.35$
根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是．

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12、先化简，再求值： $(1 + \frac{3 m - 1}{m + 1}) \div \frac{m}{m^{2} - 1}$ ，其中 $m = \frac{3}{2}$ ．

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13、探究：
（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示)
应用：（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 $m^{2} - 4 n^{2} = 16$ ， $m + 2 n = 4$ ，则 $m - 2 n$ 的值为___________．
②计算： $2025^{2} - 2024 \times 2026$ ．
拓展：（3）计算： $50^{2} - 49^{2} + 48^{2} - 47^{2} + \dots + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$ ．

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14、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ．点 $P$ 是射线 $B C$ 上的一点，以点 $P$ 为中心将 $P A$ 顾时针旋转90°得到 $P Q$ ，连结 $A Q$ ．

(1)、如图①，当点 $Q$ 在边 $C D$ 上时，求证： $B C = A B + C Q$ ；

(2)、在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出 $△ A P Q$ ；（保留作图痕迹．不用写出作图过程）

(3)、如图③，设线段 $A Q$ 与射线 $C D$ 交于点 $E$ ，
①若 $A E = E Q$ ，此时线段 $C E$ 的长度为______；
②若线段 $P A$ 或 $P Q$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ，过点 $P$ 作 $P G ⊥ B C$ 交 $A Q$ 于点 $G$ ，若 $S_{△ P Q G} = S_{△ A E F}$ ，直接写出 $B P$ 的长度．

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15、在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”．

(1)、在 $△ A B C$ ， $∠ A = 35 °, ∠ B = 40 °$ ，则 $△ A B C$ ____（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；

(2)、若 $△ A B C$ 是“三倍角三角形”，且 $∠ B = 30 °$ ，求 $△ A B C$ 中最小内角的度数．

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16、运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元．

(1)、求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？

(2)、若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗的数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 80 °$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ O B C = 10 °$ ， $∠ O C B = 30 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $C O$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $B D$ ．

(1)、 $∠ A B O$ 的度数为________， $∠ A C D$ 的度数为________；

(2)、求证： $O B = A C$ ．

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18、定义一种新运算“ $a \otimes b$ ”：当 $a \geq b$ 时， $a \otimes b = a + 2 b$ ；当 $a < b$ 时， $a \otimes b = a - 2 b$ ．例如： $3 \otimes (- 4) = 3 + (- 8) = - 5$ ， $(- 6) \otimes 12 = - 6 - 24 = - 30$ ．

(1)、填空： $(- 3) \otimes 1 =$ ________．

(2)、若 $(3 x - 5) \otimes (4 + x) = (3 x - 5) + 2 (4 + x)$ ，则 $x$ 的取值范围是________．

(3)、已知 $(3 x + 7) \otimes (- 4 x) > 1$ ，求 $x$ 的取值范围．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，连接 $C D$ ， $D E$ ．已知 $B C = B D$ ， $∠ C D E = 45 °$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B D E$ ．

(2)、若 $A C = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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20、如图，在 $8 \times 6$ 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．）

(1)、在图1中画出以 $B C$ 为一边，面积为6的等腰三角形 $A B C$ ．

(2)、在图2中画出 $△ A B C$ 的角平分线 $B E$ ．

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满意度	不满意	一般	比较满意	满意	非常满意
频数	$5$		$15$
频率		$0.05$			$0.35$