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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} ln (- x), x < 0 \\ e^{- x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $m - f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $m$ 的值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、如图所示，设 $E$ ， $F$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $C D$ 上两点，且 $E$ ， $F$ 与 $C$ ， $D$ 两点均不重合，且 $A B = 2$ ， $E F = 1$ ，其中正确的命题为（）

A、三棱锥 $D_{1} - B_{1} E F$ 的体积为定值 B、异面直线 $B_{1} D_{1}$ 与 $E F$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ D、直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B_{1} E F$ 所成的角为 $30^{\circ}$

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3、已知直线 $l : (a^{2} + a + 1) x - y + 2 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(0, 2)$ B、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 C、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等 D、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{2}$

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4、函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} sin x$ 的最大值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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5、已知函数 $f (x) = 3 - x - \frac{2}{x}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有（）

A、最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、最小值 $3 - 2 \sqrt{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $B D = 2 D A$ ，记 $\vec{C A} = \vec{m}, \vec{C B} = \vec{n}$ ，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{m} + \frac{2}{3} \vec{n}$

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7、已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - (a + 2), x \in R$ ．

(1)、若不等式 $y < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 a x - (a + 2) > x - a$ ．

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8、（1）已知 $1 < a < 6$ ， $3 < b < 4$ ，求 $2 a - b$ ， $\frac{a}{b}$ 的取值范围
（2）已知 $a, b, x, y \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ， $x > y$ ，试比较 $\frac{x}{x + a}$ 与 $\frac{y}{y + b}$ 的大小.

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9、若a， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = a b + 3$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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10、集合 $M = {(x, y) ∣ 2 x - y = 1}, N = {(x, y) ∣ 3 x + y = 0}$ ，则 $M \cap N =$

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11、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} \leq 0\}, N = \{x ∣ x^{2} + m x - 2 m^{2} \leq 0\}$ ，定义 $b - a$ 叫做集合 $\{x ∣ a \leq x \leq b\}$ 的长度，若集合 $M \cap N$ 的长度为4，则 $M \cup N$ 的长度为（）

A、3 B、4 C、5 D、10

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12、已知 $A = \{a - 1, {(a + 1)}^{2}, a^{2} + a - 1\}$ ，若 $1 \in A$ ，则实数 $a$ 的取值构成的集合 $B$ 的真子集个数是（）

A、1 B、3 C、7 D、15

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13、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |3 < x < 4\}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |x < \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > - \frac{1}{4}\}$

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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15、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = A P = B C = 1$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若E为PC的中点，求 $P D$ 与平面 $A E D$ 所成角的正弦值.

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = D C = 2$ ， M为BC的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P D B$ ；

(2)、求点D到平面 $P A M$ 的距离．

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E，F分别 $A B, P D$ 的中点，且 $P A = A D$ ．

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求证： $A F ⊥ P C$ ．

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18、如图， $60 °$ 的二面角的棱上有 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $A B ．$ 已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， BD=7，则 $C D$ 的长为.

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19、在空间直角坐标系中，若点 $A (1, 2, - 1), B (- 3, - 1, 4)$ ，则 $| A B | =$ .

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20、如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动（ $P$ 点异于 $B$ ， $C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积不变 D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角正弦值的取值范围为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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