四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题

试卷更新日期：2026-03-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 1)$ ，若向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{10}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm 3 x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足对任意的 $i, j \in N^{*}$ ，都有 $a_{j} - a_{i} = 2 (j - i)$ ．若 $a_{5} = 9$ ，则 $a_{3} + a_{8} =$ （）

A、8 B、18 C、20 D、27

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6. 已知 $0 < c < 1$ ，且 $4^{a} = b^{3} = c^{2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = - f (2 - x)$ ，若函数 $g (x) = ln (1 - \frac{2}{x})$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象的交点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{8}, y_{8})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、8 B、 $\frac{19}{2}$ C、12 D、 $\frac{25}{2}$

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8. 已知 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\forall a \in R$ ，存在 $x \in [a - \frac{π}{4}, a + \frac{π}{4}]$ ，使得 $|sin x + cos x | \geq 2 sin θ$ 成立，则 $θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 赓续绵延长江情，携手共谱新篇章.2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ ，且及格率为80%，则下列说法正确的是（）

A、随机取1篇征文，则评分在 $[60, 90)$ 内的概率为0.6 B、已知优秀率为20%，则 $m = 85$ C、 $σ$ 越大， $P (X \geq 75)$ 的值越小 D、 $σ$ 越小，评分在 $(70, 80)$ 的概率越大

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10. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x + y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 2$ B、数列 $\{f (n)\}$ 单调递减 C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、数列 $\{f (n)\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} = 2^{n} - 1$

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11. 已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，上底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内（包含边界）运动，且 $A P = 2 \sqrt{7}$ ， Q为 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C Q} = 3 \vec{Q C_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、高为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，底面半径为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的圆柱可以放进该棱台内 C、点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{3} π$ D、过点 $A, B, Q$ 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 $\frac{3 π}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若复数z满足 $i^{3} \cdot z = 1 - i$ ，则复数 $|z| =$ ．

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13. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 20$ ， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，则 $S_{6} =$ ．

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14. 已知在圆锥 $P O$ 中，高 $P O$ 长为 $2$ ，底面圆的直径 $A B$ 长为 $8$ ，点 $M$ 为母线 $P B$ 的中点．过点 $M$ 用平行于母线 $P A$ 的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点 $M$ 的距离为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a sin B + \sqrt{3} b cos A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、设点D为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3$ 、 $c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点M在C上， $M F_{2} ⊥ x$ 轴，且 $|M F_{2}| = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交C于不同的两点A、B， $A H ⊥ M F_{2}$ 于点H，证明：直线HB过定点．

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17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为 $3 : 1 : 2$ ．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．

(1)、求面试号码为3的学生来自A校的概率；

(2)、记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；

(3)、求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ P A B$ 为锐角三角形， $P A = A B = 2$ ， $P B + B C = 4$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，直线 $B E$ 与 $l$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求线段 $B Q$ 长度的最小值；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $Q D$ 所成角为 $60 °$ ．
（ⅰ）求平面 $P C D$ 与平面 $Q C D$ 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A D E$ 的外接球的表面积．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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