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相关试卷

1、做一个体积为 $8 m^{3}$ ，高为 $2 m$ 的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（）

A、 $4 m^{2}$ B、 $8 m^{2}$ C、 $16 m^{2}$ D、 $24 m^{2}$

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2、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$

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3、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$

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4、设集合 $A = {3, 5, 6, 8}$ ， $B = {4, 5, 7, 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${3, 4, 5, 6, 7, 8}$ B、 ${5, 8}$ C、 ${6, 8}$ D、 ${8}$

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5、若函数 $y = f (x)$ 对定义域上的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域上都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 1$ 成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.

(1)、判断函数 $g (x) = sin x$ 在 $R$ 上是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 2^{x - 1}$ 在定义域 $[0, m]$ 上为“依赖函数”，求实数 $m$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{4}{3}$ 时，已知函数 $h (x) = {(x - a)}^{2}$ 在定义域 $[\frac{4}{3}, 4]$ 上为“依赖函数”，若存在实数 $x \in [\frac{4}{3}, 4]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $h (x) \geq - t^{2} + s - 2 t + 4$ 都成立，求实数 $s$ 的最大值.

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6、已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, g (x) = e^{x} - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [2, + \infty)$ 时，证明： $g (x) > 2 x (x - 1)$ .

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2, S_{n} + S_{n + 1} = 3 a_{n + 1} - 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为d_n的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前n项和T_n

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8、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 在 $[α, \frac{π}{3}]$ 与 $[α + \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上的值域均为 $[t, \sqrt{3}]$ ，则 $α$ 的取值范围为， $t =$ .

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9、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为非零实数，则下列说法一定正确的有（）

A、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 成等差数列 B、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，则 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$ 成等比数列 C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列 D、若 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 成等比数列，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列

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10、已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} + \ln x$ ，若 $f (a) + f (\frac{1}{b}) = 0$ ，则 $3 b + \frac{1}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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11、为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主 $2024$ 年 $4$ 月初向银行借了免息贷款 $8000$ 元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 $20 %$ ，每月底扣除生活费 $800$ 元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在 $2025$ 年 $3$ 月底还贷款，至此，他的收入约为（）（取 ${(1.2)}^{11} \approx 7.5$ ， ${(1.2)}^{12} \approx 9$ ）

A、 $24000$ 元 B、 $26000$ 元 C、 $30000$ 元 D、 $32000$ 元

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12、已知矩形 $A B C D$ 的长 $A B = 4$ ，宽 $B C = 3$ .点 $P$ 在线段 $B D$ 上运动（不与 $B 、 D$ 两点重合），则 $\vec{P C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 16, 9)$ B、 $(- 9, 16)$ C、 $[0, 9)$ D、 $(- 16, 0]$

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13、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2 - x) = f (x), f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (30) =$ （）

A、2 B、0 C、60 D、62

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14、已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $i z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为 $2$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $∠ D_{1} D A = ∠ D_{1} D C = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点，点 $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内．

(1)、若 $A C$ 中点为 $O$ ，求证： $D_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $F P / /$ 平面 $D_{1} A E$ ，求线段 $C P$ 长度的最小值．

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16、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，且平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $P, Q$ 又分别是 $A B, A_{1} C_{1}$ 的中点，

(1)、求证： $P Q ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} P Q$ 的距离．

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17、在平面直角坐标系中有 $A (0, 3), B (3, 3), C (2, 0)$ ，

(1)、求直线 $A C$ 的一般方程；

(2)、在三角形 $A B C$ 中，求 $A B$ 边的高线方程；

(3)、若直线 $x = m$ 将 $△ A B C$ 面积两等分，求 $m$ 的值

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18、下列说法正确的是．
①直线 $y = a x - 2 a + 4 (a \in R)$ 恒过定点 $(2, - 4)$ ；
②若直线 $l : \sqrt{3} x + m y + 5 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则实数 $m$ 的值为 $- 1$ ；
③已知直线 $l$ 过点 $P (2, 4)$ ，且在 $x, y$ 轴上截距相等，则直线 $l$ 的方程为 $x + y - 6 = 0$ 或 $y = 2 x$
④设过原点的直线 $l$ 的倾斜角为 $α$ ，如果将 $l$ 绕坐标原点按逆时针方向旋转 $45 °$ ，得到直线 $l_{1}$ 的倾斜角是 $α + 45 °$ 或 $α - 135 °$ ．

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19、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 1, ∠ A C D = 90 °$ ，沿着它的对角线 $A C$ 将 $△ A C D$ 折起，当二面角 $B - A C - D$ 的大小是 $60 °$ 时，则 $B 、 D$ 的两点间距离为．

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20、已知空间中的单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，其两两夹角均为 $60 °$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}| =$ ．

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