浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学

试卷更新日期：2026-05-07 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 3 x - m = 0\}$ ，若 $A \cap B = \{2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{- 1, 2, 3\}$ C、 $\{- 3, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2. 复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $-$ $\frac{3}{10}$ B、 $-$ $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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3. “ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = {(x + a)}^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要

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二、

4. 若 $x = a + lg 2$ ， $y = a + \frac{1}{2} lg 2$ ， $z = a + 2 lg 2$ 成等比数列，则公比为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $3$

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5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）

A、16 B、24 C、32 D、48

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6. 已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 已知 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ， $\vec{M F_{2}} \cdot \vec{M N} = 0$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (- 1) = - \frac{1}{3}$ ，对于任意的实数 $x$ 均有 $\ln 3 \cdot f (x) < f^{'} (x)$ 成立，且 $y = f (x - \frac{1}{2}) + 1$ 的图像关于点（ $\frac{1}{2}$ ， 1）对称，则不等式 $f (x) - 3^{x - 2} > 0$ 的解集为（）

A、（1，+∞） B、（ $-$ 1，+∞） C、（ $-$ ∞， $-$ 1） D、（ $-$ ∞，1）

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三、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列命题正确的是（）

A、 $∃ a, b ∈R$ ， $|a −2| + {(b +1)}^{2} ≤0$ B、若 $a, b >0$ ，且 $a b = a + b +3$ ，则 $a b$ 的最小值是9 C、 $a ≥ b >−1$ ，则 $\frac{a}{1+ a} ≥ \frac{b}{1+ b}$ D、 $a b ≠0$ 是 $a^{2} + b^{2} ≠0$ 的充要条件

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10. 已知函数 $f (x) = {c o s}^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} s i n ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，则（）

A、 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6 ω})$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有一个极值点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3}, 2)$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, 1)$

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11. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A C = 4$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的球心为 $O$ ．记四棱锥 $P - A B C D, O - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，三棱锥 $P - A C D, P - A B C$ 的体积分别为 $V_{3}, V_{4}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $A B ⊥ B P$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} = 2 V_{3}$ D、若二面角 $P - A B - C$ 的平面角大小为 $45^{°}$ ，则 $V_{4}$ 的最大值为 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$

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四、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ，若 $a_{k} a_{k + 1} = 440$ ，则正整数 $k =$ ．

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13. 如图所示，已知 $△ A B C$ 中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若 $B C = 8$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A R} = 20$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

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14. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ，A，B是圆C： $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 36$ 上的两个动点，满足 $P A = P B$ ，则△PAB面积的最大值是．

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五、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：

经验丰富教师
经验不丰富教师
总计
优秀
200
150
350
合格
100
50
150
总计
300
200
500

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？

(2)、若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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16. 在四面体 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A C = B C = 2, P A ⊥$ 底面 $A B C, M$ 、 $N$ 、 $Q$ 分别是 $P B 、 P A 、 B N$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P C$ 上，且 $P E = 3 E C$ ．

(1)、求证： $E Q / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $M A C$ 与平面 $A C B$ 的夹角的大小．

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17. 某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形 $A B C D E .$ 根据自行车比赛的需要，需预留出 $A C$ ， $A D$ 两条服务通道 $($ 不考虑宽度 $)$ ， $D C$ ， $C B$ ， $B A$ ， $A E$ ， $E D$ 为赛道， $∠ A B C = ∠ A E D = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $B C = 2 \sqrt{6} (km)$ ， $C D = 8 (km) .$ 注： $km$ 为千米．

(1)、若 $c o s ∠ C A D = \frac{3}{5}$ ，求服务通道 $A D$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求折线赛道 $A E D$ 的最大值 $($ 即 $A E + E D$ 最大 $) . ($ 结果保留根号 $)$

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18. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A$ 处的切线为 $l$ ，两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $l$ 上的射影分别为 $P$ ， $Q .$ 我们常常把过切点 $A$ 且与切线 $l$ 垂直的直线叫做法线，它平分 $∠ F_{1} A F_{2}$ ，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记 $|P F_{1}| = d_{1}$ ， $|Q F_{2}| = d_{2}$ ，当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，记 $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ P A F_{1}$ ， $△ Q A F_{2}$ 的面积分别为 $S_{0}$ ， $S_{1}$ ， $S_{2} .$ 若 $∠ F_{1} A F_{2} = θ$ ．

(1)、求证： $S_{0} = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ；

(2)、试探究 $d_{1} d_{2}$ 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；

(3)、当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，是否存在常数 $λ \in R$ ，使得 $S_{1} S_{2} = λ S_{0}^{2}$ 恒成立？并给出证明或解释．

(4)、若椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且当 $θ = 60 °$ 时，四边形 $P F_{1} F_{2} Q$ 的面积 $8 \sqrt{3}$ ，求椭圆 $E$ 的方程．

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19. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x - x e^{x}$ ．
（I）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程：
（II）证明 $f (x)$ 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 $f (x) \leq a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立，求实数b的取值范围．

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	经验丰富教师	经验不丰富教师	总计
优秀	200	150	350
合格	100	50	150
总计	300	200	500

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828