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相关试卷

1、函数f（x）定义域为 $(- 1, + \infty)$ ，且f（0）=0， $f^{'} (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ ， f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l₁.

(1)、求 $f^{'} (x)$ 的最大值；

(2)、证明：当 $- 1 < a < 0$ ，除切点 $A$ 外， $y = f (x)$ 均在 $l_{1}$ 上方；

(3)、当 $a > 0$ 时，直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与 $l_{1}$ 垂直， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 x 轴的交点横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $\frac{2 a - x_{2} - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 的取值范围.

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2、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、设O为原点， $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ 为椭圆上一点，直线 $x_{0} x + 2 y_{0} y - 4 = 0$ 与 $y = 2$ 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S₁和S₂ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 和 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的大小.

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3、某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.

(1)、估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；

(2)、从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；

(3)、假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.

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4、四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.

(1)、F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；

(2)、若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.

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5、关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有.
①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
③使得f（x）+f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；
④使得f（x）-f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个.

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6、已知 $α, β \in [0, 2 π]$ ，且 $s i n (α + β) = s i n (α - β)$ ， $c o s (α + β) \neq c o s (α - β)$
写出满足条件的一组α= ， β=.

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7、已知 $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} - 2 a_{1} x + 4 a_{2} x^{2} - 8 a_{3} x^{3} + 16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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8、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点到焦点的距离为3，则p=.

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9、已知平面直角坐标系 xOy 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ，设 C（3，4），则 $2 \vec{C A} + \vec{A B}$ 的取值范围是（）。

A、[6，14] B、[6，12] C、[8，14] D、[8，12]

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10、在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 $T = k l o g_{2} N$ （单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到1.024×10⁹个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×10⁹个单位增加到4.096×10⁹个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A、2 B、4 C、20 D、40

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11、设函数 $f (x) = s i n (ω x) + c o s (ω x) (ω > 0)$ ，若 $f (x + π) = f (x)$ 恒成立，且f（x）在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上存在零点，则 $ω$ 的最小值为（）。

A、8 B、6 C、4 D、3

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12、已知a>0，b>0，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a b}$ C、 $a + b > \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{2}{\sqrt{a b}}$

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13、已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，a₁=-2，若a₃ ， a₄ ， a₆成等比数列，则a₁₀=（）

A、-20 B、-18 C、16 D、18

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14、为得到函数y=9^x的图象，只需把函数y=3^x的图象上的所有点（）

A、横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C、纵坐标变成原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，横坐标不变 D、纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变

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15、双曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 的离心率为（）。

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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16、已知复数z满足 $i \cdot z + 2 = 2 i$ ，则|z|=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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17、集合 $M = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $N = {1, 2, 3}$ ，则 $M ∩ N$ =（）

A、{1，2，3} B、{2，3} C、{3} D、 $ϕ$

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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19、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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