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相关试卷

1、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 4 ， S_{8} = 4$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值以及取得最大值时的 $n$ 的值；

(3)、求 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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3、在平面直角坐标系中，圆 $M$ 的圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $2$ .

(1)、过点 $P (0, 4)$ 作圆 $M$ 的两条切线，求这两条切线的斜率之和；

(2)、若过点 $(0, - 1)$ 的直线与圆 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面 $α$ 外，且 $P A ⊥ α$ ， $P B = P C = \sqrt{17}$ ， $t a n ∠ B P C = \frac{8}{15}$ ，当 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离最大时， $△ A B C$ 的面积为.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ .

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6、已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 4 a = 0$ ， $l_{2} : x - y - 6 a = 0$ ， $l_{3} : 2 x - y - 4 a = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ B、三条直线的斜率之积为1 C、三条直线的倾斜角之和为 $135^{\circ}$ D、三条直线在 $y$ 轴上的截距之和为12a

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7、已知动点 $M$ 到定点 $F (2 \sqrt{2}, 0)$ 的距离与它到定直线 $l : x = 4 \sqrt{2}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ ，直线 $l_{1}$ 上有一动点 $H$ ，求 $|M F| - |M H|$ 的最大值；

(3)、若 $A$ ， $B$ 为轨迹 $C$ 上不同的两点，线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，当 $△ A O B$ 面积取最大值时，是否存在两定点 $S$ ， $T$ ，使 $|Q S| + |Q T|$ 为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是首项为1的等比数列， $4 b_{2} - b_{3} = 4$ ， $b_{4} = a_{4} + 4 a_{1}$ ， $2 S_{15} = 15 b_{5}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n} b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和.

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9、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ ．
（1）求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；
（2）求二面角 $C - P B - Q$ 的大小．

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10、已知双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且该双曲线经过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 方程；

(2)、设斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均经过点 $Q (2, 1)$ ，且直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

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11、已知A、B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，始终满足 $f (|k_{1}|) = f (|k_{2}|)$ ，其中 $f (x) = |\ln (\frac{x}{2})|$ ，则C的离心率为．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d (d \neq 0)$ ，且满足 $a_{3} a_{4} + 2 a_{4} a_{6} + a_{5} a_{12} = 2024 d$ ，则 $\frac{1}{a_{6}} - \frac{1}{a_{5}} =$ .

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13、若抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点 $P (m, n)$ 到其焦点F的距离为3，则n的值为．

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14、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} n - a_{n}, a_{1} = a_{10}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - \frac{45}{2}$ B、 $S_{9} = \frac{5}{2}$ C、 $S_{2 n} = - n^{2}$ D、 $a_{n} a_{n + 1} \leq \frac{33}{4}$

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15、已知方程 $(m - 1) x^{2} + (4 - m) y^{2} = (m - 1) (4 - m)$ 表示曲线Γ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 1$ ，则Γ是 $y$ 轴 B、若 $m = 2.5$ ，则Γ是圆 C、若 $1 < m < 2.5$ ，则Γ是椭圆 D、若Γ是双曲线，则 $m < 1$

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16、如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（）

A、 $\vec{V A} + \vec{V B} + \vec{V C} + \vec{V D}$ = $\vec{0}$ B、 $\vec{V A} + \vec{V B} - \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ C、 $\vec{V A} - \vec{V B} + \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ D、 $\vec{V A} \cdot \vec{V B} = \vec{V C} \cdot \vec{V D}$

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17、已知 $P (2, - 2)$ 是离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 外一点，经过点 $P$ 的光线被 $y$ 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{8}$

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18、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，等差数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{20 n - 1}{2 n - 1}$ ．则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{59}{5}$ B、11 C、12 D、13

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19、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(4, 6)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的短轴长和焦距相等，则a的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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