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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $|z_{1} z_{2}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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3、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 1, 2\}, B = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 2\}$

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4、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $E$ 为 $O B$ 的中点.

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、斜率不为0的动直线 $l$ 过点 $E$ 交椭圆 $G$ 于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $M$ ，直线AD，BC交于点 $N$ .
（i）设直线 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2}$ 为定值；
（ii）以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3}$ ，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 的极值点和零点.
（i）设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t)$ .证明： $g (t)$ 在区间 $(0, x_{1})$ 单调递减；
（ii）比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明你的结论．

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6、杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：
市外游
市内游
合计
男生
14
6
20
女生
8
12
20
合计
22
18
40

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；

(2)、在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．
①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；
②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为 $Q_{n}$ ，求数列 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D$ ， $C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $H$ 为直线 $A E$ 上的点．

(1)、证明：四边形 $A B F E$ 为平行四边形；

(2)、已知 $D E = \sqrt{5}, C F = \sqrt{13}$ ．
（i）求 $\cos ∠ E F C$ ；
（ii）若 $A D = D E, A F = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $C - B F - H$ 的余弦值．

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B, A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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9、已知直线 $l : a x - b y - 2 c = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 6 y + 8 = 0$ 交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则 $|A B|$ 的取值范围是．

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10、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的 $x^{2}$ 系数为．

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3})$ （ $0 < ω < 1$ ），且满足 $f (x) \geq f (- \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 6)$ 上单调递增 C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = - f (\frac{4 π}{3} - x)$ D、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $2 π$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，那么 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$

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12、已知命题p“ $\forall x \in R, (a + 2) x^{2} - 2 a x + 1 < 0$ ”，若命题P为假，则a的取值范围为（）

A、R B、(- $\infty$ ， -2） C、（- $\infty$ ， -2] D、（- $\infty$ ， -1]U[2，+ $\infty$ )

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13、已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ， $g (x) = l n x + f (\frac{π}{16} x + \frac{π}{24}) .$

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的取值范围；

(2)、证明： $g (x)$ 在区间 $(0, 2]$ 上有唯一零点；

(3)、证明： $g (x) > 0$ 在 $(2, + \infty)$ 上恒成立．

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x, x > 1 \end{array}$ .

(1)、在给出的坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间和值域；

(2)、若 $f (x)$ 图象与直线 $y = k$ 恰有两个交点，写出 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，写出 $a, b$ 的取值范围．

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15、已知 $f (x) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + x) \cos (\frac{3 π}{2} - x) \tan (π - x)}{\cos (π - x) \sin (π + x)}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (α) = 3$ ，求 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = |lg x|$ ， $f (a) = f (b)$ ，且 $a \neq b$ ，则（1） $a b =$ ，（2）当 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 取得最小值时， $\frac{a}{b} =$ ．

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17、已知 $\cos φ = - \frac{1}{3} (π < φ < 2 π)$ ，则 $sin 2 φ =$ ．

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18、函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的反函数过点 $(9,2)$ ，则 $a =$ ．

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19、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(2^{\frac{1}{4}})}^{2} = \sqrt{2}$ B、 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ C、 $e^{2 \ln 3} = 6$ D、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 8 = 3$

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20、已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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	市外游	市内游	合计
男生	14	6	20
女生	8	12	20
合计	22	18	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828