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相关试卷

1、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作两条平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．设 $l_{1}$ 与C交于P，Q两点， $l_{2}$ 与y轴交于点M．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M在y轴的负半轴上，求 $l_{1}$ 斜率的取值范围；

(3)、若 $| P M | = | Q M |$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的一般式方程．

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x, g (x) = 3 ln x + 3$ .

(1)、若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且0为 $f^{'} (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，过原点的直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切，证明：当 $x > 0$ 时， $l$ 在 $g (x)$ 图象的上方.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = c cos (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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4、如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有种．

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5、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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6、函数 $f (x) = x ln x - 2 x + 3$ 的单调递减区间为.

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $E$ 上的动点， $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为 $Q$ ， $M$ 为 $P Q$ 的中点， $A$ 为上顶点，则（）

A、椭圆 $E$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ C、 $|O M|$ （ $O$ 为原点）是定值 D、 $|A P|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$

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8、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 D、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到 $f (x)$ 的图象

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9、以下说法正确的有（）

A、数据 $- 2$ ， $- 1$ ， 3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数 $R^{2}$ 越大的模型，拟合效果越差 C、已知随机变量 $X \sim N (1, 2^{2})$ ，若 $P (X < a) \geq P (X > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ D、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, 10$ 的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{- x}, x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \ln 2, 1)$ B、 $(1 - \ln 3, 1 - \ln 2]$ C、 $(2 - \ln 3, 2 - \ln 2]$ D、 $[2 - \ln 3, + \infty)$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}, B C = 2, B = \frac{π}{3}, ∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2 cos α, - 1), \vec{b} = (3 cos α, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、已知圆锥的表面积为 $3 π$ $m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）

A、1m B、2m C、 $\sqrt{3}$ m D、 $2 \sqrt{3}$ m

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14、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, C D = 3 A B$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $2 \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A D}$

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，若点 $(- 6, 0)$ 与点F关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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16、已知复数 $z = 1 - i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} + z^{2} =$ （）

A、 $1 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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17、设集合 $A = \{x |\sqrt{x} = x\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{1\}$ B、 $\{0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $(0, 1)$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ P A B$ 为锐角三角形， $P A = A B = 2$ ， $P B + B C = 4$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，直线 $B E$ 与 $l$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求线段 $B Q$ 长度的最小值；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $Q D$ 所成角为 $60 °$ ．
（ⅰ）求平面 $P C D$ 与平面 $Q C D$ 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A D E$ 的外接球的表面积．

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20、某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为 $3 : 1 : 2$ ．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．

(1)、求面试号码为3的学生来自A校的概率；

(2)、记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；

(3)、求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．

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