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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，右顶点为 $A$ ， $|F A| = \sqrt{5} - 2.$

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 交该椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $∠ M A N = 90^{°}$ ， $O$ 为坐标原点，当 $△ M O N$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

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2、已知点 $A (- 2, 4)$ ， $B (- 1, - 3)$ ，若直线 $y = k x$ 与线段 $A B$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是.

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3、从1，2，4，5这4个数字中任取2个，则这2个数字之差的绝对值大于2的概率为.

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4、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) (|ω| \leq 1)$ 的图象如图所示，则下列说法中正确的有（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、若方程 $f (2 x) = m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有2个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $[\sqrt{3}, 2]$ D、将 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = 2 cos (x + \frac{π}{6})$

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5、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ，则（）

A、 $f (\log_{2} 3) = \frac{4}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小值为2 C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增

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6、为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、a的值为0.005 B、估计这组数据的众数为75 C、估计成绩低于60分的有250人 D、估计这组数据的第85百分位数为85

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7、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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9、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 °, D_{1}, F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B D_{1}$ 与 $A F_{1}$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$

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10、已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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11、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |x \leq 1\}$ B、 $\{x |x < 2\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$

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12、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2} - (2 e + 1) x (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 1$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - (e - 3) (x > 0)$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有2个零点，且2个零点之和小于 $\frac{3}{2}$ ．

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} = 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 作 $C$ 的切线，交准线 $l$ 于点 $Q$ ，交 $x$ 轴于点 $P$ （异于点 $Q$ ），连接FQ，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ．
（i）证明： $\frac{| A Q |}{| P Q |} = \frac{| A F |}{| H F |}$ ；
（ii）当 $x_{1} \in (0, 1)$ 时，求 $△ P H F$ 面积的最大值．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是直角梯形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $P A = 2,$ $∠ A B C = 90 °$ ， $A B / / C D, A B = 2 C D = 2, E, F$ 分别是线段 $P D ， A C$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P E F$ 与平面 $C E F$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{105}}{21}$ ，求 $B C$ ；

(3)、在（2）的条件下，求点 $A$ 到平面 $P E F$ 的距离．

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15、将函数 $f (x) = \cos (3 x - φ) (0 < φ \leq \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求函数 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的图象在区间 $[\frac{π}{24}, \frac{23 π}{72}]$ 内的交点横坐标．

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16、某校举办校园手工作品大赛，低年级组提交240件，高年级组提交260件．经评选，共有10件作品获奖，其中金奖2件、银奖8件．

(1)、现从所有参赛作品中随机抽取1件，求抽到获奖作品的概率；

(2)、现有1名同学从这10件获奖作品中随机选取2件欣赏，设选到的金奖作品的数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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17、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V, P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2, B C = 3$ ．若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $36 π$ ，则当 $V$ 取得最大值时， $\cos ∠ A B C =$ .

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ \log_{4} (x + 4), x > 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x^{3}) > f (4 x)$ 的解集是.

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} = (2, 3), \vec{a} + \vec{b} = (0, - 1)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ .

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20、已知 $a = \ln {(\frac{3}{2})}^{e}, b = \frac{5}{4 \sqrt[10]{e}}, c = \frac{9}{8}, d = 3 \log_{3} \frac{7}{5}$ ，则（）
（参考数据： $e^{\frac{1}{e}} \approx 1.445$ ）

A、 $a < d$ B、 $b > c$ C、 $c > a$ D、 $b > d$

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