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相关试卷

1、位于第一象限或 $x$ 轴正半轴的一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 满足 $x_{1}^{2} > 2 y_{1}$ ，过 $P_{1}$ 作 $x^{2} = 2 y$ 的切线，切点为 $A_{1} (x_{A_{1}}, y_{A_{1}})$ ，且满足 $x_{1} < x_{A_{1}}$ ，设 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为 $P_{1}$ 关于 $A_{1}$ 的对称点.

(1)、证明： $x_{1}^{2} - 2 y_{1} = x_{2}^{2} - 2 y_{2}$

(2)、若过 $P_{2}$ 的另一条切线切 $x^{2} = 2 y$ 于 $A_{2}$ ，设 $P_{3}$ 为 $P_{2}$ 关于 $A_{2}$ 的对称点，如此重复进行下去，若 $P_{n + 1}$ 为 $P_{n}$ 关于切点 $A_{n}$ 的对称点，设 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，
（i）证明： ${x_{n}}$ 为等差数列.
（ii）若 $P_{1} (1, 0)$ ，求 $| P_{8} P_{9} |$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0 .

(1)、证明：当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ；

(2)、求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在空间中任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ . 定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为 $\vec{a} \times \vec{b}$ ，它是一个向量，且与向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $|\vec{B C} \times \vec{S D}| =2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的大小；

(2)、若点 $E$ 是侧棱 $S C$ （不包含端点）上的一个动点，当直线 $D E$ 与平面 $B C E$ 所成的角最大时，求 $\frac{S E}{S C}$ 的值.

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4、记 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\sin A \sin C = \frac{1}{2}$ ，求 $b$ .

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5、已知锐角 $α$ ， $β$ 满足 $2 \cos (2 α + β) + \cos β = 0$ ，则 $\tan α + \tan β$ 的最小值为.

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6、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a > b >0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 6$ ， $P$ 是椭圆上异于顶点的一点，点 $Q$ 是以 $P F_{2}$ 为底的等腰三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆圆心，过 $F_{1}$ 作 $F_{1} M ⊥ P Q$ ，垂足为 $M$ ， $|O M| =2$ ，则椭圆的离心率为

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7、设随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，向量 $(1, 1)$ 与向量 $(ξ, - 1)$ 的夹角为锐角的概率是 $0.5$ ，则 $μ$ 的值是.

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内及其表面上运动，点E在棱AD上，且 $A E = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ + μ = 1$ ，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、棱 $C_{1} D_{1}$ 上存在点P，使得 $E P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、若 $A_{1} P ⊥ C_{1} D$ ，则动点P所围成的图形的面积为 $9 \sqrt{2}$ D、若动点P在正方形ABCD内， $A_{1} P = \sqrt{2} E P$ ，则线段BP的最小值为 $\sqrt{21} - \sqrt{15}$

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9、下列说法正确的是（）

A、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $A =$ “第一次出现 2 点”，事件 $B =$ “两次点数之和为奇数”，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、已知一组数据为 $- 1$ ， 1，2，4，3，5，10，9，若 $n$ 为这组数据的上四分位数，则 $n = 7$ C、数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = x - 3$ ，其中 $\bar{x} =8 .2$ ，去除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点 $(9, 5)$ D、若 $P (A) >0, P (B) >0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不可能同时成立

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10、已知函数 $f (x) = e^{|x|} - x^{2}$ ，若 $a = f (- \sqrt{2}), b = f (e^{\frac{1}{e}}), c = f (π^{\frac{1}{π}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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11、记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积，已知 $a_{n} +2 T_{n} =1$ ，则 $T_{2026} =$ （）

A、 $\frac{1}{2027}$ B、 $\frac{1}{1013}$ C、 $\frac{1}{4053}$ D、 $\frac{2}{4051}$

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12、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{15}$

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13、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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14、如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为.

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15、二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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16、在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为；身高方差为.

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17、已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）

A、10 B、10.6 C、12.6 D、13.6

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18、现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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19、已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A、160，12 B、120，12 C、160，9 D、120，9

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20、已知直线 $l_{1} : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ，且交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $|P A| \cdot |P B|$ 的最小值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

(2)、 $△ A B O$ 的面积为S（ $O$ 为坐标原点），求S的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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