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相关试卷

1、已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与x正半轴交于点A，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 在第一象限的交点为B．点 $C$ 为圆O上任一点，且满足 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，以x，y为坐标的动点 $D (x, y)$ 的轨迹记为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若两条直线 $l_{1}$ ： $y = k x$ 和 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{k} x$ 分别交曲线 $Γ$ 于点E、F和M、N，求四边形 $E M F N$ 面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)、研究曲线 $Γ$ 的对称性并证明 $Γ$ 为椭圆，并求椭圆 $Γ$ 的焦点坐标．

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2、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - 2$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ $(a \in R)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，交点横坐标为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \geq x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 $x$
1
2
3
4
5
带货金额 $y /$ 万元
350
440
580
700
880

(1)、计算变量 $x, y$ 的相关系数 $r$ （结果精确到0.01）.

(2)、求变量 $x, y$ 之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据： $\bar{y} = 590, \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 176400$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1320, \sqrt{441000} \approx 664$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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4、现有n（ $n > 3$ ， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ $k = 1$ ， 2，3，…，n）个袋中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是 $\frac{4}{9}$ ，则 $n =$ .

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5、 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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6、圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A、圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B、圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{2}{3}$ C、圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{1}{3}$ D、圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 $\frac{2}{3}$

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7、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

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8、已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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9、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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10、在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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11、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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12、已知点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ 的焦点，点 $G (- 2, 1)$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程与点F坐标：

(2)、过点 $(0, 3)$ 的直线，与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，一条垂直于 $x$ 轴的直线，分别与线段 $A B$ 和直线 $y = - 3$ 相交于 $P, Q$ 两点.
（i）若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，求证：直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线；
（ii）若直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线，过点 $Q$ 作直线 $A F$ 的垂线，垂足为 $H$ ，求 $|G H|$ 的最大值.

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13、如图.底面为平行四边形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, D C = C C_{1} = 4, B C = 2$ ，点 $M$ 为边 $D C$ 上的中点，点 $P$ 是空间一点.

(1)、证明： $C A_{1}$ $/ /$ 平面 $A M D_{1}$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $A M D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $cos ∠ B C D$ ；

(3)、若 $B C ⊥ C D$ ，直线 $P C ⊥$ 平面 $P A D_{1}$ ，则在平面 $A D_{1} M$ 内是否存在点 $Q$ ，使得 $P Q$ 的长为定值，若存在，指出点 $Q$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ .

(1)、直线 $l$ 过点 $(0, \frac{2}{3})$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切，求直线 $l$ 方程；

(2)、已知 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ 在导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象上，以点 $P_{n}$ 为圆心的 $⊙ P_{n}$ 与 $x$ 轴都相切，且 $⊙ P_{n}$ 与 $⊙ P_{n + 1}$ 彼此外切.若 $x_{1} = 1$ ，且 $0 < x_{n + 1} < x_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{x_{n} \cdot x_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项之和 $S_{n}$ .

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15、某公司为了了解A商品销售收入 $y$ （单位：万元）与广告支出 $x$ （单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为 $\hat{y} = 2.76 x + 5.44$ .
$x$
2
5
6
8
9
$y$
16
20
21
$m$
28
$\hat{y}$
10.96
19.24
22
27.52
30.28

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；

(3)、已知 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ，且当 $R^{2} > 0.9$ 时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据 $\sum_{l = 1}^{5} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 38.5$ ，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.

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16、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ 的周期为 $π, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3})$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、比较 $f (\frac{11 π}{8})$ 与 $f (\frac{4 π}{7})$ 的大小.

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17、我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点 $P$ 有 $n (n \in N^{+}, n \geq 3)$ 个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点 $P$ 外无其他公共点，记这 $n$ 个共点等圆共有 $f (n)$ 个交点，若 $f (n) = 211$ ，则 $n =$ .

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18、已知函数 $f (x) = x e^{k x}$ 在区间 $[- 1, \frac{1}{2}]$ 上单调递增，则 $k$ 的取值范围为.

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则 $C$ 的渐近线为.

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20、对于函数 $f (x) = a ln x + \frac{b}{x}$ ，下面说法正确的有（）

A、当 $a b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $a b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 不存在极值点 C、当 $f (x)$ 最小值为 $b$ 时， $f (x) \geq a$ D、当 $a > 0, b > 0$ 时，函数 $g (t) = f (\frac{b}{a} + t) - f (\frac{b}{a} - t)$ 在区间 $(0, \frac{b}{a})$ 单调递减

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月份 $x$	1	2	3	4	5
带货金额 $y /$ 万元	350	440	580	700	880

$x$	2	5	6	8	9
$y$	16	20	21	$m$	28
$\hat{y}$	10.96	19.24	22	27.52	30.28