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相关试卷

1、为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 $\frac{3}{7}$ .

(1)、求抽取的200名学生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)、若比赛成绩 $x > \bar{x} + s$ （ $s$ 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式： $s = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} f_{i}}$ ，（ $f_{i}$ 是第 $i$ 组的频率），参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.5$

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2、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．

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3、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $\frac{a + b}{c - b} = \frac{\sin C + \sin B}{\sin A}$ .

(1)、求C

(2)、若 $(\sqrt{3} + 1) a + 2 b = \sqrt{6} c$ ，求A

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4、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，且函数 $f (α) = \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin α \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - 1$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ 和 $\sin α - \cos α$ 的值．

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5、为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．

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6、如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是 $z_{1}, z_{2}$ ，则 $|z_{1} - z_{2}| =$ ．

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7、如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）

A、CC₁与B₁E是异面直线 B、C₁C与AE共面 C、AE与B₁C₁是异面直线 D、AE与B₁C₁所成的角为60°

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8、下列函数中，周期为π，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = | \cos x |$ B、 $y = \tan 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin 2 x$

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9、某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　）

A、600 B、800 C、1000 D、1200

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10、若 $A B, B C, C D$ 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线 $A C$ 的位置关系是 (　　)

A、平行 B、相交 C、 $A C$ 在此平面内 D、平行或相交

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11、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，一小虫从点A途经三个侧面爬到点 $A_{1}$ ，则小虫爬行的最短距离为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{97}$ D、 $\sqrt{153}$

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12、如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若 $\vec{D O} = λ \vec{O B}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、5

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + (2 λ - 1) \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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14、在平面直角坐标系中，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- \sin \frac{π}{6}, \cos \frac{π}{3})$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、已知动点 $P$ 到点 $(0, 1)$ 的距离比它到直线 $y + 2 = 0$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求轨迹 $E$ 的方程．

(2)、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别与轨迹 $E$ 交于点 $A, B$ 和点 $C, D$ （ $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 同向），且 $l_{1} / / l_{2}$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
（ⅰ）求证： $M, H, N$ 三点共线；
（ⅱ）若 $|H M| = 1$ ， $|H N| = 2$ ，求四边形ABCD的面积．

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16、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，四边形ABCD是其轴截面，EF为 $⊙ O_{1}$ 的直径， $E F ⊥ C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = a$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、若四面体ABEF的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $A - B E - F$ 平面角的余弦值．

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17、为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ （分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ ，经计算 $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 33050$ ．

(1)、规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；

(2)、经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 $[30, 82]$ 的人数为Y，求Y的数学期望 $E (Y)$ ．
附：若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $(b + c) (\sin B - \sin C) = (a - c) \sin A$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ，且满足 $\sin A + \sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{| x + 1 |}, x \leq 0 \\ |\ln x|, x > 0 \end{array}$ .若函数 $g (x) = 4 {[f (x)]}^{2} - (4 t + 3) f (x) + 3 t$ 有七个不同的零点，则实数 $t$ 的取值范围是.

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，点M在C上，则 $|M F_{1}| \cdot |M F_{2}|$ 的最大值为．

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序号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ （分）	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80