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相关试卷

1、（1）已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{1}{2} x (1 - 2 x)$ 的最大值.
（2） $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2$ ，若 $2 x + y \geq k^{2} - 1$ 恒成立，求k的取值范围.
（3）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
①已知正数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.甲给出的解法是：由 $x + 2 y = 1 \geq 2 \sqrt{2 x y}$ ，得 $\sqrt{x y} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{x y}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x y}} \geq 8$ ，所以 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；
②结合上述问题（1）的结构形式，试求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{1 - 2 x}$ （ $0 < x < \frac{1}{2}$ ）的最小值.

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2、已知关于x的不等式 $a x^{2} + (a - 1) x - 1 > 0$ .

(1)、若此不等式的解集为 $\{x |- 2 < x < - 1\}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $a \in R$ ，解这个关于x的不等式；

(3)、 $\forall x \in (0, 3)$ ， $a x^{2} + (a - 1) x - 1 < x$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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3、已知集合 $A = \{x |- x^{2} + 3 x - 2 \geq 0\}$ ， $B = \{x |m \leq x \leq m + 2\}$

(1)、若 $m = - \frac{1}{2}$ 时，求 $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数m的取值范围.

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4、已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x²-6x+8=0}，集合B={3，4，5，6}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）写出集合（∁_UA）∩B的所有子集．

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5、不等式 $2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0$ 的解集是（用集合的形式填写）.

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6、以下说法正确的有（）

A、 $x^{2} + 1$ 的最小值为1 B、 $x (2 - x)$ 的最大值为2 C、 $x^{2} + \frac{7}{x^{2} + 2}$ 最小值为 $2 \sqrt{7} - 2$ D、若 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是8

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7、下列命题中，是真命题的有（）

A、集合 $\{1, 2\}$ 的所有真子集为 $\{1\}$ ， $\{2\}$ B、若 $\{1, a\} = \{2, b\}$ （其中a， $b \in R$ ），则 $a + b = 3$ C、 $\{x |x = 6 z, z \in N\} \subseteq \{x |x = 3 k, k \in N\}$ D、若a，b， $c \in R$ ，则 $a = b = c$ 是 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c$ 的充要条件

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8、已知集合 $A = \{(x, y) |3 x + y = 0\}$ ， $B = \{(x, y) |2 x - y = 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, - 3)$ B、 $\{(1, - 3)\}$ C、 $\{(x, y) |\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}\}$ D、 $\{(x, y) |(1, - 3)\}$

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9、第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、已知 $x > 0$ ，则 $y = x + \frac{1}{x} + 1$ 的最小值是（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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11、已知实数x，y满足 $- 1 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ ，则 $z = x + 2 y$ （）

A、 $\{z |1 < z < 7\}$ B、 $\{z |0 < z < 1\}$ C、 $\{z |3 < z < 10\}$ D、 $\{z |- 1 < z < 3\}$

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12、如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $(∁_{U} B) \cap A$ D、 $(∁_{U} A) \cap B$

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13、已知集合 $A = \{x |2 \leq x \leq 4\}$ ， $B = \{x \in Z |1 < x < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{x |2 \leq x \leq 4\}$ C、 $\{x |1 < x < 5\}$ D、 $\{x |2 < x < 4\}$

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a$ ， $(a \in R)$ ，集合 $A = \{x| f (x) \leq 0\}$ ．

(1)、若集合 $A$ 中有且仅有 $3$ 个整数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、集合 $B = \{x| f (f (x) + b) \leq 0\}$ ，若存在实数 $a \leq 1$ ，使得 $A \subseteq B$ ，求实数b的取值范围．

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15、求下列各式的最值

(1)、已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = x (1 - 2 x)$ 的最大值

(2)、设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值

(3)、设正实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - z = 0$ ，当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，求 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} - \frac{2}{z}$ 的最大值．

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16、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = x |x - m|$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，画出 $f (x)$ 的图象，并写出 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $0 < m \leq 3$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最小值．

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17、已知 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ ， $x \in (- 2, 2)$ .

(1)、用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (a + 2) > f (2 a - 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 3}{x + 4} < 1}, B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$

(1)、求集合A；

(2)、 $(∁_{R} A) \cap B$ ．

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19、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是

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20、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}$ ，集合 $B = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ，命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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