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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - a (a \in R)$ 有两个零点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} > a e + 1$ ；

(3)、设函数 $h (x) = k x^{3} + 2 x$ ， $k \in R$ ，若 $h (x)$ 与 $f (x)$ 的图象有两个交点 $M (m, s)$ ， $N (n, t)$ ，试比较 $m n$ 与 $4 e^{2}$ 的大小.（参考数据： $e \approx 2.72$ ， $\ln 2 \approx 0.7$ ）

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2、已知双曲线 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，右焦点为 $F (2, 0)$ ，直线 $l$ 与 $E$ 相切于点 $P$ .

(1)、若 $l$ 与 $E$ 的渐近线分别交于 $A$ ， $B$ 两点，证明：点 $P$ 为线段AB的中点；

(2)、已知直线 $l_{1}$ ： $x = 2$ ， $l_{2}$ ： $x = \frac{3}{2}$ ，若 $l$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $|M F| = λ |N F|$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B = P D$ ， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 1$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上， $B E = 2 D E$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P B$ ；

(2)、设点 $Q$ 是三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的球心，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是 $7 \sqrt{2}$ ，求直线 $Q C$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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4、为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校

10
50
乙校

10
70
合计

表（一）

(1)、完成表（一）列联表，依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？

(2)、已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 $\frac{1}{2}$ .若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{3} = a_{4} + 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + a_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并证明数列 $\{b_{n} + n\}$ 是等比数列；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x - c$ （ $a > 0$ ， $b$ ， $c \in R$ ），若 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $\frac{b^{2026} c}{a^{2027}}$ 的最大值为.

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7、已知 $\cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} x + \sin 2 x}{\tan x + 1} =$ .

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8、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ .当 $∠ A O P$ 取最大值时， $|O P| =$ .

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos B} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{2 a}{b}$ ， $\sin A \sin C = \frac{9}{2 b^{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $D$ 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{B O} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ， $c = 2$ ，则 $λ = \frac{1}{6}$

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10、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论成立的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、 $|A F_{1}| \cdot |A F_{2}| \leq 4$ C、 $|A B|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、存在直线 $l$ ，使得 $A B ⊥ A F_{2}$

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11、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln (e^{2 x} + 1), x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，则 $g (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x + \frac{2 π}{3}) = f (x)$ B、 $f (x + \frac{2 π}{9}) = f (\frac{2 π}{9} - x)$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{18}, 0)$ 中心对称

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14、清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、64种 D、72种

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15、在平行四边形ABCD中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 2$ B、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、复数 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、将复数 $z$ 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ ，所得向量对应的复数为 $\sqrt{2} i$

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17、已知集合 $A = \{x| x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (2 - x)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $(- \infty, 3]$

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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20、某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
2025年3月
2025年4月
2025年5月
2025年6月
2025年7月
2025年8月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y /$ 千辆
6
7
10
11
12
14

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；

(2)、该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 238, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

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学校	数学成绩		合计
学校	不优秀	优秀	合计
甲校		10	50
乙校		10	70
合计

时间	2025年3月	2025年4月	2025年5月	2025年6月	2025年7月	2025年8月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y /$ 千辆	6	7	10	11	12	14

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828