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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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9、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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10、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = x^{2} - 2 e x + a$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m (x) = \frac{g (x)}{x} (x > 0)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 至少存在一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左，右焦点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}, M N$ 所在的直线经过椭圆的中心 $O$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成一个直二面角，如图1､2所示.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线的斜率为1，求翻折后异面直线 $M N$ 与 $F_{1} F_{2}$ 所成角的余弦值；

(3)、当 $M, N$ 不在 $y$ 轴上时，如图2，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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13、已知圆 $C_{n} : {(x - 2)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 1, n \in N^{*}$ 外有一点 $A (- 3, 3)$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，过点 $A$ 作直线 $l$ ，当直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、自点 $A$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射后与 $C_{n}$ 相切，记与 $C_{n}$ 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 $a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 7$ .

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14、苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 $C$ 处，此时他测得山顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$ .他沿着东偏南 $30^{\circ}$ 的方向前行200米后到达点 $D$ 处，此时他测得山顶点 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ .假设山顶在水平面上的投影为点 $B$ ，且点 $D$ 位于点 $B$ 的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.

(1)、求山高 $A B$ ；

(2)、已知景区内点 $E$ 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 $15^{\circ}$ ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 $30^{\circ}$ .求山脚下缆车上车点 $E$ 到 $B$ 点的距离.

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15、随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量 $y$ （单位：万个），为方便研究，年份代码用 $x$ 表示（如： $x = 1$ 表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值
55
72.6
21

(1)、请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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16、若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $e^{m + a - x} = \frac{2 x - 2 m - 1}{x - m - 1}$ 有两个不同的根，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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18、某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体 $P - A B C D - S$ 棱长为2，下列结论正确的有（）

A、平面 $P C D$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ B、正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、正八面体的体积与表面积的比值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $A$ 到平面 $S C D$ 距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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19、已知二次曲线 $C : 5 (x^{2} + y^{2}) + 6 x y = 8$ 表示一个椭圆，则（）

A、 $C$ 的对称中心为 $(0, 0)$ B、 $C$ 上的点到原点距离的取值范围是 $[\frac{1}{2}, 2]$ C、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上时， $y_{0} \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、下面说法正确的是（）

A、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，若 $m ⊥ α, m ⊥ β, n ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ B、命题“ $\forall x \geq 1, x^{2} \geq 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \geq 1, x^{2} < 1$ ” C、已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的必要不充分条件 D、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - a x + a$ 的图象关于点 $(1, - 2)$ 成中心对称

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统计量	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值	55	72.6	21