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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点．过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $x$ 轴的上方），直线 $A M, B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P, Q$ ，试判断 $\frac{|O P|}{|O Q|}$ 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ ．

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3、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ，且 $A F = \frac{1}{3} D E$ ．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ ，求 $D E$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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5、“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､ $5 \dots \dots$ 都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如 $(3, 5), (5, 7), (11, 13) \dots \dots$ 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=.

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6、现进行如下试验：从 $1, 2, 3, \dots, 10$ 中任选一个数，记为 $a_{1}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{1} - 1$ 中任选一个数，记为 $a_{2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{2} - 1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 $A_{i} =$ “试验过程中，数字 $i$ 被选到”， $p_{i}$ 表示事件 $A_{i}$ 发生的概率（ $i = 1, 2, 3, \dots, 10$ ），则（）

A、 $p_{9} = \frac{1}{10}$ B、 $p_{8} = \frac{1}{10} + \frac{1}{9} p_{10} + \frac{1}{8} p_{9}$ C、 $P (A_{8} ∣ A_{9}) = P (A_{8} ∣ A_{10})$ D、 $P (A_{i} A_{j}) = p_{i} \cdot p_{j} (i, j \in \{1, 2, \dots, 10\}$ 且 $i \neq j)$

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7、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d = 2$ ， $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、 $- 10$ D、 $- 8$

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9、 ${(\frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、60 B、120 C、160 D、240

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10、复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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11、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 3\}, B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ B、 $\{x |1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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12、已知函数 $f (x) = e^{\sqrt{x}} - \frac{1}{2} a x, a \in R$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\sqrt{x_{1} x_{2}} - x_{2} < \sqrt{(e - a) (e - a - 4)}$ ．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $P (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 过点 $Q (1, 0)$ （直线 $l$ 不与 $x$ 轴重合），交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点．直线 $P A$ 交椭圆于另一点 $C$ ，直线 $P B$ 交椭圆于另一点 $D$ ，连接 $C D$ 交 $x$ 轴于 $T$ ．
（ⅰ）求 $\frac{k_{A B}}{k_{C D}}$ 的值；
（ⅱ）求点 $T$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / /$ 平面 $P B C$ ， $P A = 1$ ， $A C = 2$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若点 $B$ 到平面 $A C P$ 的距离为1，求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值．

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = 3$ ， $b = 6$ ， $\sqrt{3} sin A + cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，记 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的内切圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，求 $r_{1} + r_{2}$ 的值．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $2 a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 3$ ．

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2 n + 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为．

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18、已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上运动，且 $A B ⊥ B C$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，则 $|\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}|$ 的取值范围是．

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19、一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．

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20、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 互不相等，且满足 $a + b + c = 4$ ， $a b + b c + a c = 3$ ， $a b c = - 1$ ，下列说法正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 10$ B、 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 25$ C、 $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 88$ D、对任意 $n \in N^{*}$ ， $a^{n} + b^{n} + c^{n}$ 均为整数

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