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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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6、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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8、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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9、已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与x正半轴交于点A，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 在第一象限的交点为B．点 $C$ 为圆O上任一点，且满足 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，以x，y为坐标的动点 $D (x, y)$ 的轨迹记为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若两条直线 $l_{1}$ ： $y = k x$ 和 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{k} x$ 分别交曲线 $Γ$ 于点E、F和M、N，求四边形 $E M F N$ 面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)、研究曲线 $Γ$ 的对称性并证明 $Γ$ 为椭圆，并求椭圆 $Γ$ 的焦点坐标．

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10、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - 2$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ $(a \in R)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，交点横坐标为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \geq x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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11、直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 $x$
1
2
3
4
5
带货金额 $y /$ 万元
350
440
580
700
880

(1)、计算变量 $x, y$ 的相关系数 $r$ （结果精确到0.01）.

(2)、求变量 $x, y$ 之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据： $\bar{y} = 590, \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 176400$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1320, \sqrt{441000} \approx 664$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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12、现有n（ $n > 3$ ， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ $k = 1$ ， 2，3，…，n）个袋中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是 $\frac{4}{9}$ ，则 $n =$ .

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13、 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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14、圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A、圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B、圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{2}{3}$ C、圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{1}{3}$ D、圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 $\frac{2}{3}$

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15、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

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16、已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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17、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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18、在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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19、 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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20、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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月份 $x$	1	2	3	4	5
带货金额 $y /$ 万元	350	440	580	700	880