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1、设函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) - \sqrt{3} \sin (3 x + φ)$ ， $x \in R$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $\tan φ =$ ．

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2、已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $O$ 为四面体 $A B C D$ 外接球的球心，则下列说法中正确的是（）

A、若 $A B ⊥ C D$ ，则 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ B、若 $A B = C D = 1$ ，则 $A D$ 的取值范围是 $(2, 2 \sqrt{2})$ C、若 $A B + C D = 2$ ，则 $\vec{C O} \cdot (\vec{C D} - \vec{B A})$ 的取值范围是 $(- 2, 2)$ D、若 $A B = C D = 2$ ，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{28}{3} π$

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3、随机事件A、B满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、事件 $\bar{A}$ 与事件B相互独立 B、 $P (\bar{A} \cup B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (\bar{B}) = P (\bar{A} B)$

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4、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (0) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足： $f (x + 1) - f (x) \leq 2^{x}$ ， $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ，则 $f (2025)$ 的值为（）

A、 $2^{2025} + 2$ B、 $2^{2025} + 1$ C、 $2^{2025}$ D、 $2^{2025} + 3$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n {(\frac{9}{10})}^{n}, \{a_{n}\}$ 的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（）

A、 $a_{8}$ B、 $a_{9}$ C、 $a_{11}$ D、 $a_{12}$

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6、设F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点， $α$ ， $β$ 分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足 $β = 5 α$ ，已知点F到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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8、已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{4} x^{3}, x \leq 2 \\ \log_{a} x, x > 2 \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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9、已知集合 $A = {y | y = \sin x + \cos x}, B = {x | y = \sqrt{a - x^{2}}}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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10、实数a，b满足 $(a + b i) (2 - i) = 5$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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11、已知双曲线 $C : 4 y^{2} - x^{2} = m$ ．点 $P_{1} (- 1, 1)$ 在 $C$ 上．按如下方式构造点 $P_{n} (n \geq 2)$ ．过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与 $C$ 的下支交于点 $Q_{n - 1}$ ．点 $Q_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_{n}$ ．记点 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n}) .$

(1)、求 $x_{2}, y_{2}$ 的值：

(2)、记 $a_{n} = 2 y_{n} + x_{n}$ ．证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列；

(3)、记 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积为 $S_{n}$ ．证明： $S_{n}$ 是定值．

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12、第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{1}$ ．假定 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．

(1)、若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关． $p_{1} = \frac{3}{4}, p_{2} = \frac{2}{3}, p_{3} = \frac{1}{2}$ ．求该小组初赛胜利的概率：

(2)、已知 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 $X, Y$ ．求 $E (X), E (Y)$ ．并比较它们的大小；

(3)、初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为 $a$ ．第三道题答对的概率为 $b$ ．若该学生获得一等奖的概率为 $\frac{1}{8}$ ，设该学生获得二等奖的概率为 $p$ ．求 $p$ 的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - ln 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ ､ $F$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B D E$

(2)、若 $A B = B C = 4$ ， $D B = E B$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $D E C$ 夹角的余弦值.

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．且 $S_{13} = 6$ ．则 $3 a_{9} - 2 a_{10} =$ ．

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16、已知椭圆 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则（）

A、椭圆 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $E$ 截得弦长为 $\sqrt{2}$ C、椭圆 $E$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{π}{2}), (k \in Z)$ D、若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，且 $f (A) = f (B)$ ，则 $A = B$ 或 $C = \frac{π}{3}$

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18、为了解某类植物生长 $1$ 年之后的高度．随机抽取了 $n$ 株此类植物．测得它们生长 $1$ 年之后的高度（单位： $cm$ ）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长 $1$ 年之后高度低于 $60 cm$ 的有 $20$ 株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（）

A、 $n = 100$ B、此次检测植物生长高度在 $[70, 90)$ 之间的有 $50$ 株 C、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的众数为 $80 cm$ D、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的第 $85$ 百分位数为 $90 cm$

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19、现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A、120 B、60 C、30 D、20

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20、已知点 $M (1, 2)$ 为抛物线 $E : y^{2} = 2 p x$ 上一点．则点 $M$ 到抛物线 $E$ 的焦点的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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