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相关试卷

1、已知点 $A (- 1, 0)$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 是抛物线 $C$ 上一动点，则 $\frac{|P A|}{|P F|}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2、已知 $A, B$ 为样本空间中的两个随机事件，其中 $P (A) = \frac{2}{3}, P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{4}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 6) = f (x)$ ，当 $x \in (0, 3)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 2025) + f (2026)$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、3 D、10

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4、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $\frac{S_{7}}{7} - \frac{S_{3}}{3} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 15$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、14 C、13 D、12

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5、若函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (ω > 0, φ > 0)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{12}, 0)$ ，且最小正周期为 $\frac{π}{4}$ ，则该函数的解析式可能为（）

A、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = tan (4 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = tan (2 x + \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = tan (2 x + \frac{π}{3})$

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6、已知集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} - 7 x - 18 < 0\}, B = \{x |y = ln \frac{3 - x}{3 + x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 9)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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7、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - a x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、证明：当 $a \leq 2 \sqrt{2} - 1$ 时，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq |x_{1} - x_{2}|$ ；

(3)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $|x_{1} - x_{2}| \geq 2$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围.

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F (1, 0)$ ，点 $P (2, - 1)$ ，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点P作椭圆C的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，过点T作椭圆C的切线l，l与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方程：
（ⅱ）问 $∠ M F N$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

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9、2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
年份（x）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
GDP/万亿元（y）
74.64
83.20
91.93
98.65
101.36
114.92
120.47
129.43
134.91
由以上数据，得到x与y的9对样本数据为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{9}, y_{9})$ ，有关计算结果如下： $\bar{x} = 2020$ ， $\bar{y} = 105.5$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} - 9 \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 7.552$ .

(1)、证明： $\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = \sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} - 9 \bar{x} \cdot \bar{y}$ ；

(2)、请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）
附：一元线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ .

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10、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面均为正方形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B D E$ 夹角的正弦值.

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \sin B + b \cos A = 2 b$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b c = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为.

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ， $x, y \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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14、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为4，顶点 $B, C, D$ 在平面 $α$ 的同侧，点 $A \in α$ ，顶点 $B, C$ 到平面 $α$ 的距离分别为1，2，直线 $B C$ 与平面 $α$ 交于点 $E$ ，则（）

A、直线 $A C$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ B、平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A C ⊥ A E$ D、点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为 $1 + 2 \sqrt{2}$

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15、设 ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ， $a_{k} (k \in \{0, 1, 2, \dots, 6\})$ 为常数，则（）

A、 $a_{0} = 8$ B、 $a_{4} = 33$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 108$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 108$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，各项均为正整数，且对 $\forall n \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，满足 $|a_{n + 1} - a_{n}| = 1$ ，若 $k (k \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，记满足题意的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为 $A_{k}$ ，则 $A_{2} - A_{1} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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17、设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0 (m \in R)$ 的两个根， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， O为坐标原点，若 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ B、 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ C、 $|z_{1}| \neq |z_{2}|$ D、 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数

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18、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ，点P是抛物线 $C : y^{2} = x$ 上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为 $k_{1}$ ，直线BP的斜率为 $k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ 为定值 B、 $k_{1} + k_{2}$ 为定值 C、 $\frac{1}{k_{1}} - \frac{1}{k_{2}}$ 为定值 D、 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值

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19、已知一个圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）

A、体积为 $3 π$ B、表面积为 $2 \sqrt{3} π$ C、两条母线的夹角的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、过顶点的截面面积的最大值为2

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20、已知实数 $a > 1$ ， $b > 1$ ，若 $\log_{a} b = 2$ ， $\log_{2} \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ ，则 $\log_{4} (a b) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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年份（x）	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024
GDP/万亿元（y）	74.64	83.20	91.93	98.65	101.36	114.92	120.47	129.43	134.91