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相关试卷

1、如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $S A B$ ， $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ， $△ S A B$ 是等边三角形．

(1)、若 $E$ 为棱 $S D$ 上一点，直线 $A S$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ ，证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = S A = 2$ ，直线 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 12, a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ．

(1)、证明：存在非零实数 $k$ ，使得数列 $\{a_{n + 1} + k a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $2 a \sin A + b \sin C = m c \sin A \sin B$ ．
（1）当 $A = \frac{2 π}{3}$ 时， $m$ 的取值范围是．
（2）当 $m$ 取得最小值时， $\tan A =$ ．

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4、已知过原点 $O$ 的直线与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7, S_{9} = 117$ ，则 $a_{11} =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{m}{x}$ 与 $g (x) = e^{x}$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时，曲线 $f (x)$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 6$ B、若过点 $(0, a)$ 可作曲线 $g (x)$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围为 $(0, e)$ C、若 $x > 1$ 时， $g (x) \geq (x - 1) x f (x)$ ，则 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, e^{2}]$ D、若曲线 $f (x)$ 与曲线 $g (x)$ 有三条公切线，则 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，分别过点 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 B、 $△ A^{'} F B^{'}$ 为锐角三角形 C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 D、 ${|A^{'} F|}^{2} {|B^{'} F|}^{2} \geq 256$

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8、某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（）

A、 $a = 0.025$ B、由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C、估计这1000名用户问卷的得分的 $80 %$ 分位数为85 D、估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}, P A = B C = 2, P C = 2 \sqrt{6}$ ，且 $A B ⊥ B C, A B ⊥ P A$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、20 $π$ B、24 $π$ C、28 $π$ D、32 $π$

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10、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过点 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P, Q$ 两点（其中点 $P$ 在第一象限）．若 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 满足 $\vec{O P} + \vec{O Q} = 2 \vec{O M}$ ， $|A M| = \frac{\sqrt{10}}{4} a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{70}}{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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11、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增， $f (x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称， $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 2) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2, 1] \cup [5, + \infty)$ B、 $[- 1, 1] \cup [5, + \infty)$ C、 $[- 1, 1] \cup [3, 5]$ D、 $[0, 1] \cup [2, 5]$

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12、已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.1} ， b = {log}_{7} \frac{2}{3} ， c = 3 {log}_{7} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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13、已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{2 π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 图象的对称中心可以为（）

A、 $(\frac{5 π}{24}, 0)$ B、 $(\frac{5 π}{24}, 1)$ C、 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ D、 $(\frac{7 π}{12}, 1)$

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14、已知 $(x + y i) (1 - i) = 5 - i (x, y \in R)$ ，则 $x - y =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、5

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15、已知集合 $A = \{- 5, - 3, 0, 1, 4, 6\}, B = \{x \in Z |- 7 < 2 x + 1 < 9\}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知函数 $f (x) = ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x - a x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = 2 ln x - x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $g (x) < 0.$

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

(3)、若 $a = 0$ ，且 $b + cos [ln (1 + θ)] = f (sin θ)$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，证明： $b + 2 sin θ < 2 tan θ$ ．

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17、某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．

(1)、若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．

(2)、若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．

(3)、已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为 $X$ 元，若 $X$ 的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．

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18、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ， $△ C A E$ 是以 $C E$ 为斜边的等腰直角三角形．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若 $A E = 5$ ， $A B = 4$ ，且直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45 °$ ，求直线 $B D$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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19、将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个 $3 \times 3$ 的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足 $a_{11} < a_{12} < a_{13}$ ，第三行数字满足 $a_{31} < a_{32} < a_{33}$ ，第三列数字满足 $a_{13} < a_{23} < a_{33}$ ，则符合要求的填数方法共有种．（用数字作答）
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
$a_{21}$
$a_{22}$
$a_{23}$
$a_{31}$
$a_{32}$
$a_{33}$

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20、若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = \frac{1}{2} e^{2 x}$ 的一条切线，则 $k =$ ．

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$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$