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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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2、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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3、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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5、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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6、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，若在该正方体的棱上恰有 $4$ 个点 $M$ ，满足 $|M B| + |M C_{1}| = d$ ，则 $d$ 的取值范围为.

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9、设公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n + 1} > a_{n}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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10、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $M$ 上， $Q$ 为 $P F_{2}$ 的中点，且 $F_{1} Q ⊥ P F_{2}$ ， $|F_{1} Q| = b$ ，则 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、若函数 $f (x) = e^{\frac{m}{x - m}}$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2,0)$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $(- \infty,0)$ D、 $[2, + \infty)$

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12、若复数 $z = \frac{1 + i}{3 - i}$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2$ D、 $- 2$

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13、若将函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 图象的对称中心；

(3)、若 $f (2 x) = \frac{1}{2} g (x)$ ，求 $\tan (4 x + \frac{π}{6})$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x, x \in R$
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值
（2）求函数 $f (x)$ 最小正周期；
（3）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$

(2)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b} (k \in R)$ 垂直，求k的值．

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16、点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{A C}{C B} = \frac{3}{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ .

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 是两个不共线的向量，且向量m $\overset{⃑}{a} -$ 3 $\overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} +$ （2﹣m） $\overset{⃑}{b}$ 共线，则实数m的值为（）

A、﹣1或3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣1或4 D、3或4

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18、对于无穷数列 $\{x_{n}\}$ 和函数 $f (x)$ ，若 $x_{n + 1} = f (x_{n}) (n \in N^{*})$ ，则称 $f (x)$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的生成函数.

(1)、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $g (2^{n + 1}) = 2 g (2^{n}) + 2^{n}$ ，且 $g (2) = 1$ ；又数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = g (2^{n})$ .
（Ⅰ）求证： $f (x) = x + \frac{1}{2}$ 是数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的生成函数；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

(2)、已知 $f (x) = \frac{2025 x + 2}{x + 2026}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的生成函数，且 $b_{}_{1} = 2$ .若数列 $\{\frac{b_{n} - 1}{b_{n} + 2}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $25 (1 - {0.99}^{n}) < T_{n} < 250 (1 - {0.999}^{n})$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）.

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19、设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1, a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在实数a，当 $x \in (0, e]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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20、若函数 $f (x) = e^{x} + (a + 1) x + b$ （其中 $a > 0$ ），方程 $f (f (x)) = x$ 在 $[- 1, 2]$ 上有解，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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