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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a + b = 5, c = 3$ ，且 $\cos C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2、 ${(2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、 $\frac{21}{8}$ B、 $- \frac{21}{8}$ C、168 D、-168

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3、某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（）

A、25 B、30 C、35 D、50

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4、 $\frac{2 + i}{3 - i}$ 的实部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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5、已知集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {x ∣ x > \sqrt{2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ x > \sqrt{2}}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${2, 3, 4}$

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6、已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过两次反射之后回到点 $F_{1}$ ，光线经过的路程为8，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A (0, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，过点 $T (0, 2)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ （异于 $A$ ， $B$ ），直线 $B M$ ， $A N$ 的交点为 $G$ .
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线 $l$ ，相应产生了多个不同 $G$ 点，他感觉这些 $G$ 点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线 $A M$ ， $B N$ 交点为 $H$ ，试问： $△ G A B$ 与 $△ H A B$ 的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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7、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $C M ⊥ A D$ ，且平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角余弦值为 $\frac{5}{8}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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8、中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表：

关注
不关注
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200

(1)、根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？

(2)、从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
参考公式及参考数据：
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a (x - 1)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq e$ ，求实数 $a$ 的值.

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10、如图，在 $Rt △ A C B$ 中，斜边 $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，在以 $A B$ 为直径的半圆上有一点 $D$ （不含端点）， $∠ D A B = θ$ ，设 $△ A B D$ 的面积 $S_{1}$ ， $△ A C D$ 的面积 $S_{2}$ .

（1）若 $S_{1} = S_{2}$ ，求 $θ =$ ；（2）令 $S = S_{1} - S_{2}$ 则 $S$ 的最大值为.

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11、在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{E D}$ ， $F$ 为线段 $B E$ 上的动点， $G$ 为 $A F$ 中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D G}$ 的最小值为．

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12、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

A、平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ D、若 $E$ 点为棱 $C C_{1}$ 的中点，则由 $A$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 $\sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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13、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有3个极值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$

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14、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ $(e_{1} > \frac{3}{5})$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3}$ ，则 $e_{1} e_{2} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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15、某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（）

A、120 B、150 C、240 D、300

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16、设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ 的图象在点 $(t, f (t))$ 处切线的斜率为 $k$ ，则函数 $k = g (t)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{2} \in Z\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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18、已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .
（1）证明： $f (x)$ 为偶函数；
（2）若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1, x \in [0, \log_{2} 3]$ ，是否存在 m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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19、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 3) \cdot x^{4 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (3 - x) < f (2 x + 1)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 2]$ ， $\exists a \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} - t + a + 1$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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20、2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{matrix} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{matrix}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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	关注	不关注	合计
男生	75	25	100
女生	55	45	100
合计	130	70	200

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828