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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x| 2 < x < 6\}$ ，集合 $B = \{x| 2 m < x < 2 - m\}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数m的取值范围.

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2、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则xy的最大值为.

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3、下列说法正确的有（）

A、已知 $f (x) = x^{2} + x - 1$ ，则 $f (x + 1) = x^{2} + 3 x + 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4, x \leq 0 \\ x - 4, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (0)] = 4$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 是同一函数

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4、 $a = b$ 是 $a^{2} = b^{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 2, 1) \cup (1, 2]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 2, - 1) \cup (1, 2]$

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6、命题“ $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ B、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \notin [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$

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7、位于第一象限或 $x$ 轴正半轴的一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 满足 $x_{1}^{2} > 2 y_{1}$ ，过 $P_{1}$ 作 $x^{2} = 2 y$ 的切线，切点为 $A_{1} (x_{A_{1}}, y_{A_{1}})$ ，且满足 $x_{1} < x_{A_{1}}$ ，设 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为 $P_{1}$ 关于 $A_{1}$ 的对称点.

(1)、证明： $x_{1}^{2} - 2 y_{1} = x_{2}^{2} - 2 y_{2}$

(2)、若过 $P_{2}$ 的另一条切线切 $x^{2} = 2 y$ 于 $A_{2}$ ，设 $P_{3}$ 为 $P_{2}$ 关于 $A_{2}$ 的对称点，如此重复进行下去，若 $P_{n + 1}$ 为 $P_{n}$ 关于切点 $A_{n}$ 的对称点，设 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，
（i）证明： ${x_{n}}$ 为等差数列.
（ii）若 $P_{1} (1, 0)$ ，求 $| P_{8} P_{9} |$ 的值.

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8、某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为 $p (0 < p < 1)$ ，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为 $q (0 < q < 1)$ .通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.

(1)、若 $p = 0.8$ ， $q = 0.6$ ，已知一枚芯片合格，求其是通过测试 $I$ 的概率 $θ$ ；

(2)、为估计（1）中的 $θ$ ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记 $\hat{θ} = \frac{k}{m}$ .若要使得 $P (|\hat{θ} - θ| \geq 0.05)$ 总能不超过 $0.1$ ，试根据参考内容估计最小样本量 $m (m \in N^{*})$ .
参考内容：设随机变量X的期望为 $E (X)$ ，方差为 $D (X)$ ，则对任意 $ε > 0$ ，均有 $P (|X - E (X)| \geq ε) \leq \frac{D (X)}{ε^{2}}$ .

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0 .

(1)、证明：当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ；

(2)、求实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在空间中任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ . 定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为 $\vec{a} \times \vec{b}$ ，它是一个向量，且与向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $|\vec{B C} \times \vec{S D}| =2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的大小；

(2)、若点 $E$ 是侧棱 $S C$ （不包含端点）上的一个动点，当直线 $D E$ 与平面 $B C E$ 所成的角最大时，求 $\frac{S E}{S C}$ 的值.

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11、记 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\sin A \sin C = \frac{1}{2}$ ，求 $b$ .

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12、已知锐角 $α$ ， $β$ 满足 $2 \cos (2 α + β) + \cos β = 0$ ，则 $\tan α + \tan β$ 的最小值为.

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13、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a > b >0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 6$ ， $P$ 是椭圆上异于顶点的一点，点 $Q$ 是以 $P F_{2}$ 为底的等腰三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆圆心，过 $F_{1}$ 作 $F_{1} M ⊥ P Q$ ，垂足为 $M$ ， $|O M| =2$ ，则椭圆的离心率为

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14、设随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，向量 $(1, 1)$ 与向量 $(ξ, - 1)$ 的夹角为锐角的概率是 $0.5$ ，则 $μ$ 的值是.

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15、若 $a_{n} = 2^{n} ， b_{n} = 3 n - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列组成 $\{c_{n}\}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < 5$ B、 $c_{4} = 32$ C、 $\{c_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\sqrt{b_{1}}$ 、 $\sqrt{b_{2}}$ 、 $\sqrt{b_{3}}$ 不是任一等差数列的三项

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内及其表面上运动，点E在棱AD上，且 $A E = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ + μ = 1$ ，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、棱 $C_{1} D_{1}$ 上存在点P，使得 $E P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、若 $A_{1} P ⊥ C_{1} D$ ，则动点P所围成的图形的面积为 $9 \sqrt{2}$ D、若动点P在正方形ABCD内， $A_{1} P = \sqrt{2} E P$ ，则线段BP的最小值为 $\sqrt{21} - \sqrt{15}$

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17、下列说法正确的是（）

A、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $A =$ “第一次出现 2 点”，事件 $B =$ “两次点数之和为奇数”，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、已知一组数据为 $- 1$ ， 1，2，4，3，5，10，9，若 $n$ 为这组数据的上四分位数，则 $n = 7$ C、数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = x - 3$ ，其中 $\bar{x} =8 .2$ ，去除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点 $(9, 5)$ D、若 $P (A) >0, P (B) >0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不可能同时成立

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18、已知函数 $f (x) = e^{|x|} - x^{2}$ ，若 $a = f (- \sqrt{2}), b = f (e^{\frac{1}{e}}), c = f (π^{\frac{1}{π}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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19、记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积，已知 $a_{n} +2 T_{n} =1$ ，则 $T_{2026} =$ （）

A、 $\frac{1}{2027}$ B、 $\frac{1}{1013}$ C、 $\frac{1}{4053}$ D、 $\frac{2}{4051}$

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20、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{15}$

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