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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 x + 2 a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > \frac{2}{e^{2}}$ 时，证明： $a^{2} e^{x} > x f (x) + 2 x^{2} - 2 a x$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ， B C = C D = 2 ， A B = 4 ， P C = P D = 3$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D ， P D ⊥ B C ， Q$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $∠ A B C + ∠ D B C = π$ ．

(1)、求 $\frac{B A}{B D}$ ；

(2)、若 $A C = 3 B C$ ，求 $∠ B C D$ ．

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4、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，过点 $F_{2}$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点．若 $A, B$ 分别为 $△ P F_{1} F_{2}$ 和 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内心，且四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{5} a^{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率的绝对值为．

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5、 $tan 25^{\circ} + tan 50^{\circ} + (2 + \sqrt{3}) tan 25^{\circ} tan 50^{\circ} =$ ．

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6、 ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为．

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7、如图，平面 $A B N ⊥$ 平面 $α ， M$ 为线段 $A B$ 的中点， $A B = M N = 2, A N > B N$ ，直线 $M N$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $30^{\circ} ， P$ 为平面 $α$ 内的动点，则下列说法正确的是（）

A、球心为 $N$ 、半径为 $\sqrt{2}$ 的球面被平面 $α$ 截得的圆周长为 $2 π$ B、若点 $P$ 到点 $M$ 和点 $N$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹是抛物线 C、若点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为 $60^{\circ}$ D、满足 $∠ M N P = 45^{\circ}$ 的点 $P$ 的轨迹是椭圆

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、当 $n > 2$ 时， $a_{n} > n$ C、 $a_{2026} \leq 2^{2025}$ D、 $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{n} + 1} < 1$

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9、下列结论正确的是（）

A、样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B、若一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差 $s^{2} = \frac{1}{10} [{(x_{1} - 6)}^{2} + {(x_{2} - 6)}^{2} + \dots + {(x_{10} - 6)}^{2}]$ ，则这组样本数据的总和为60 C、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 3$ ，则 $E (Y) = 9$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (6, σ^{2})$ ，且 $P (3 < X < 6) = 0.35$ ，则 $P (X > 9) = 0.15$

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10、若关于 $x$ 的方程 $e^{x} = a ln (x - 1) + a ln a - a$ 在 $(1, + \infty)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $（ 0, 2]$ B、 $[2, + \infty ）$ C、 $(0, e^{2}]$ D、 $[e^{2}, + \infty)$

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11、如图，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $P (0, - \frac{1}{2})$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{4 π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- 1$

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12、在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、36种 C、48种 D、54种

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13、已知某圆锥的轴截面是顶角为 $α$ 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为 $β$ 的扇形，则（）

A、 $β = π \sin α$ B、 $β = 2 π \sin α$ C、 $β = π \sin \frac{α}{2}$ D、 $β = 2 π \sin \frac{α}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x < 1\}$ ， $B = \{x |0 < x + 1 < 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 3 \leq x < 3\}$ B、 $\{x |x < 3\}$ C、 $\{x | - 3 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |x \geq - 3\}$

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16、 ${(\frac{1 + 2 i}{2 - i})}^{5} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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17、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a \sin x + \cos x$ （ $x \in [0, + \infty)$ ），记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）个零点．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $x_{n}$ ；

(2)、若 $g (x) = \frac{1}{a} e^{a x} [f (x) - \cos x]$
证明：（i）数列 $\{g (x_{n})\}$ 是等比数列；
（ii）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*} ， x_{n} < |g (x_{n})|$ 恒成立．

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18、在平面直角坐标系中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左、右顶点分别为 $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ， F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{5}{9}$ ，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $△ P A Q$ 面积的最大值；

(3)、若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2} = 0$ 成立？若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是 $\frac{3}{5}$ ，游客之间选择意愿相互独立．

(1)、从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；

(2)、东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为 $P_{n}$ （不考虑人流量有限的限制）．
①求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ；
②求 $P_{n}$ ．

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20、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E在线段 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $∠ E D A = ∠ E A D ，$ F，G分别为线段 $B C$ ， $A D$ 的中点，且底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证：平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $E F G$

(2)、若 $E F$ 与底面 $A B C D$ 不垂直，直线 $E D$ 与平面 $E B C$ 所成角为 $45 ° ，$ 且 $E B = A B = 2 ，$ 求点 A 到平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离.

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