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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a, x \geq 1 \\ - x, x < 1 \end{array}$ ，若 $f (2) = 9$ ，则实数a的值为．

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2、已知满足 $c < b < a,$ 且 $a + b + c = 0$ ，下列选项中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $c (b - a) > 0$ C、 $a b^{2} > c b^{2}$ D、 $a c (a - c) < 0$

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3、下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$

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4、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 2023$ 的交点个数（）

A、至少有1个 B、至多有1个 C、仅有1个 D、可能有无数多个

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5、已知集合 $N = {0, 1, 2}$ ，则满足条件 $A \subseteq N$ 的集合 $A$ 的个数有（）．

A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个

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6、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ， P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是 $Q P$ 中点．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分 $∠ A N B$ ？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、如图1，在边长为2的菱形ABCD中， $∠ B A D = 60^{°}, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ B E$ ，如图2．

(1)、求多面体 $A_{1} - B C D$ 的体积；

(2)、求二面角 $E - A_{1} D - B$ 的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B P$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B D}$ 的值；若不存请说明理由．

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8、已知两点 $P (2, - 5), Q (- 4, 3)$ ，直线 $l : 2 x - y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点P，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．

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9、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，沿对角线 $A C$ 将 $△ A B C$ 折起，使得 $B D = \sqrt{481}$ ，则 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是

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10、点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $l$ ： $2 x + y - 5 = 0$ 的距离为.

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11、如图，点 $M$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、当 $C M ⊥ A D_{1}$ 时，点 $M$ 一定在线段 $A_{1} D$ 上 B、当 $M$ 为 $A_{1} D$ 的中点时，三棱锥 $M - A B D$ 的外接球的表面积为 $2 π$ C、当点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上运动时， $| M A | + |M B_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $M B_{1}$ 与 $C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$

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12、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相交，则点 $(a, b)$ 在圆 $O$ 的外部 B、直线 $k x - y - 3 k + 1 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的最长弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上有4个不同的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为1，则有 $r > \sqrt{2} + 1$ D、若过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的切线只有一条，则切线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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13、已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l // n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l // n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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14、已知在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $B_{1} - B E F$ 的体积取最大值时，平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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15、过点 $P (1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）

A、4条 B、2条 C、3条 D、1条

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16、柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数 $a, b, c, d$ ，有 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$ 当 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数 $a, b, c, d, e, f$ ，有 $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (d^{2} + e^{2} + f^{2}) \geq {(a d + b e + c f)}^{2}$ 当 $\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$ 时，等号成立.

(1)、证明二阶柯西不等式： $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$

(2)、若 $a + 2 b + 2 c = 3 \sqrt{3}$ 求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(3)、若 $a + b + c = 1$ ， $- \frac{1}{3} \leq a, b, c \leq \frac{5}{3}$ 求 $f = \sqrt{3 a + 1} + \sqrt{3 b + 1} + \sqrt{3 c + 1}$ 的取值范围．

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17、据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N^{*})$ ，调整后研发人员的年人均投入增加 $\frac{20}{7} x ％$ ，技术人员的年人均投入调整为 $50 (m - \frac{12 x}{175})$ 万元.

(1)、要使这 $(100 - x)$ 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人；

(2)、若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x + 4 .$

(1)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为R ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a < 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq (\frac{a}{2} +1) x^{2}$ 的解集.

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19、给定函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、在图一的直角坐标系中画出函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、观察图象，直接写出不等式 ${(x + 1)}^{2} > x + 1$ 的解；

(3)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ . 例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = \max \{f (2), g (2)\} = \max \{3, 9\} = 9$ . 请在图二中画出函数 $M (x)$ 的图象并求其解析式.

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20、已知 $A = \{x | - x^{2} + x + 6 \geq 0\}, B ={x | a - 2 < x < 3 a}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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