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相关试卷

1、如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $C D$ 边上一点，且 $A B = 4, A D = 2, D P = 1$ ．将 $△ A D P$ 沿着 $A P$ 翻折至 $△ A Q P$ ，连接 $Q B, Q C$ ，得到如图2所示的四棱锥 $Q - A B C P$ ，则下列结论正确的是（）

A、四棱锥 $Q - A B C P$ 体积的最大值为 $\frac{14 \sqrt{5}}{15}$ B、当平面 $Q A P ⊥$ 平面 $A B C P$ 时，三棱锥 $Q - B C P$ 的外接球的表面积为 $\frac{69 π}{5}$ C、在翻折的过程中， $B P$ 与 $A Q$ 始终不垂直 D、若 $\vec{B E} = \frac{1}{4} \vec{B Q}$ ，则 $C E = \frac{\sqrt{13}}{2}$

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2、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点，若点 $M$ 满足 $\vec{P M} = \vec{M F_{1}}$ ， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为 $R$

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4、已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = λ a_{n} - μ a_{n}^{2}$ ，则 $λ, μ$ 满足的关系式不可能为（）

A、 $λ + μ < 0$ B、 $λ μ + 1 < 0$ C、 $λ^{2} + μ^{2} = 2$ D、 $λ - 2 μ = 0$

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5、已知 $a = \sqrt[10]{9}, b = \sqrt[11]{10}, c = \sqrt[12]{11}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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6、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x - 1} - x^{2}$ ，则 $f (2026) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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7、已知一组数据 $a, b, c, 25, 20$ 的方差为 $s^{2}$ ，甲同学将这组数据错看成 $a, b, c, 15, 30$ ，并求得错误数据的方差为 $s_{甲}^{2} = 60$ ，则正确数据的方差 $s^{2} =$ （）

A、80 B、60 C、40 D、20

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8、在下列四个正方体中， $A, B, C$ 为正方体的顶点， $M, N$ 为所在棱的中点，则满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、“曲线 $y = a ln x - \frac{2 x}{a}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ”是“ $a = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\frac{z}{\bar{z}} = i$ ，则 $z$ 可能为（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - i$

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11、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 3 x - 7 < 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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12、已知实数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{ln (1 + x)}{x} - \frac{1}{1 + a x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，试比较 $f (1)$ 和 $f^{'} (1)$ 的大小，并说明理由：

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{S_{n} + S_{n - 1} + 2} (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} = \sqrt{2} - 1$ ，求证： $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2} < \frac{ln \sqrt{n + 1}}{2}$ ．

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13、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $R (- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设椭圆 $M$ 的左，右顶点分别为 $A, B$ ，过 $x$ 轴上的一点 $T (t, 0) (t \neq \pm 2)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $M$ 于 $P, Q$ 两点（异于点 $A, B$ ）.设直线 $A P$ 斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A Q$ 斜率为 $k_{2}$ .
（i）求 $k_{1} \cdot k_{2}$ （用 $t$ 表示）；
（ii）若 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{1}{20}$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、设 $P A = P C, A B = 2, ∠ A B C = \frac{π}{3}, M, N$ 在线段 $P A$ 和 $P C$ 上，且 $M$ 为 $P A$ 中点， $P C = 3 N C$ ，若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，
（i）求平面 $M N D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；
（ii）平面 $M N D$ 交直线 $P B$ 于点 $Q$ ，设 $\vec{P Q} = λ \vec{P B}$ ，求 $λ$ 的值.

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15、甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.

(1)、若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；

(2)、若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了 $X$ 局，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $b cos C + c cos B = 2 a cos C$ ， $sin C = \frac{\sqrt{6}}{2} sin B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、若 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = sin x + sin \frac{1}{x}$ 的一个零点，且 $x_{0} > 1$ ，则 $x_{0}$ 的最小值为.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前100项和为.

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19、 $(2 - x) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 10 (a \neq 0)$ ，则（）

A、若 $b = - 3$ ，且曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(1, - 1)$ ，则 $a + c = - 8$ B、若 $a = c$ ，且曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(1, - 1)$ ，则 $f (x)$ 有极值 C、若 $b c > 0$ ，且 $\frac{b}{c} < \frac{3 a}{b}$ ，则存在实数 $m, n (m \neq n)$ ，使得 $f (m) = f (n)$ D、若 $a > 0$ 且 $b^{2} > 3 a c$ ，直线 $g (x) = m x + n (m < 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 在对称中心处的切线，定点 $M (t, p)$ 满足 $g (t) < p < f (t)$ ，则过点 $M$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有三条

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