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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x - a (x - 1)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）

(2)、已知关于x的方程 $\frac{f (x)}{x} + a = a x + \frac{a}{x}$ 有两个不相等的正实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若 $x_{1}^{k} x_{2}$ 有最小值 $e^{e}$ ，求k的值.

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2、给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ 都有“固点”，且该“固点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数 $f (x) = x^{3} + (3 a - 3) x^{2} + (6 a - 9 a^{2}) x - 5 a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，试求 $y = f (x)$ 的对称中心.

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时， $f (x) = m$ 有三个不相等的实数根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，当 $|x_{1} - x_{3}|$ 取得最大值时，求 $m$ 的值.

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3、计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 表示为 $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} + \dots + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 1, 2, 3, \dots, k)$ 则其二进制为 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2} (k \in N)$ ，例如：自然数1在二进制中就表示为 ${(1)}_{2}$ ， 2表示为 ${(10)}_{2}$ ， 3表示为 ${(11)}_{2}$ ， 4表示为 ${(100)}_{2}$ ， 7表示为 ${(111)}_{2}$ ．记 $f (n)$ 为 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数，如 $f (2) = 1, f (4) = 2, f (7) = 0$ ，则 $f (127) =$ ；从1到127这些自然数的二进制表示中 $f (n) = 2$ 的自然数有个．

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{x} f (x + 1) > e^{2} f (2 x - 1)$ 的解集是．

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5、下列不等式中，所有正确的是（）

A、 $4 tan \frac{1}{4} < 1$ B、 $tan (π - 2) > sin 2$ C、 $10 sin \frac{1}{10} > \frac{6}{π} sin \frac{π}{6}$ D、 $cos \frac{4}{5} < \frac{4}{5}$

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6、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为R ， $g (x)$ 为偶函数， $g (x) = g (4 - x), f (x) = 1 - g^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $g^{'} (x)$ 关于 $(2, 0)$ 对称 B、 $g^{'} (2022) = 0$ C、 $f (x)$ 关于点 $(2, 0)$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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7、定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，比如： $35 \equiv 25 (\mod 10)$ ．已知： $n = C_{10}^{0} - C_{10}^{1} 10 + C_{10}^{2} 10^{2} - C_{10}^{3} 10^{3} + \dots + C_{10}^{10} 10^{10}$ ，满足 $n \equiv p (\mod 7)$ ，则p可以是（）

A、26 B、31 C、32 D、37

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙命中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、 $sin 20 ° cos 10 ° - cos 160 ° \cdot sin 10 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + \frac{a}{e^{x}} - (a - 2) x - 4 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \in (- \infty, 2 e)$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $x \in (- \infty, 2]$ 上的零点个数.

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12、已知点 $E (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F (2 \sqrt{2}, 0)$ ， $A (2, - 1)$ ，直线 $E M$ ， $F M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程 $Ω$ ；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $Ω$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之和为0，且 $∠ P A Q = \frac{π}{2}$ ，求 $△ P A Q$ 的面积.

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13、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的等边三角形， $D$ 为 $A C$ 的中点， $A A_{1} = 3$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、证明： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、当 $A_{1} D = 2 \sqrt{2}$ 时，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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15、已知 $2 \cos (\frac{π}{4} + θ) = \cos (\frac{π}{4} - θ)$ ，则 $\tan θ =$ .

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16、随机变量 $X$ ， $Y$ 分别服从正态分布和二项分布，且 $X ~ N (3, 1)$ ， $Y ~ B (6, \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $D (X) = D (Y)$ C、 $P (X \leq 1) = P (X \geq 5)$ D、 $P (Y \leq 3) > P (X \geq 4)$

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17、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n // α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m // α$ ， $m // β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // n$

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18、随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.6 D、0.8

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19、若 $a = \log_{3} 18$ ， $b = \ln (2 e^{2})$ ， $c = e^{\frac{\ln 10}{2}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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20、奇函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的单调减区间可以是（）

A、 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ B、 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$

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