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相关试卷

1、 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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2、已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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3、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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4、两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A, E$ 和点 $B, F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6, B F = 8, E F = 14$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $20$ 或 $12$ B、 $12$ 或 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ 或 $8 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$ 或 $20$

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5、某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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6、已知 $z$ 轴上一点 $M$ 到点 $A (1, 0, 2)$ 与点 $B (1, - 3, 1)$ 距离相等，则点 $M$ 的竖坐标为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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8、据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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9、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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10、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 4, x > 2 \end{array}$ ，若有不相等的实数 $a, b, c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是.

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14、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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15、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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16、（多选）下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立， $f (2026) = 2026$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2026) \cup (2026, + \infty)$ B、 $(- 2026, 0) \cup (2026, + \infty)$ C、 $(- 2026, 2026)$ D、 $(- \frac{1}{2026}, \frac{1}{2026})$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2024 - a x}}{a - 1}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2024]$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2024]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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19、已知 $a = {0.6}^{0.7}$ ， $b = {0.7}^{0.6}$ ， $c = {0.7}^{0.7}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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20、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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