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相关试卷

1、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $Q$ 在直线 $l : x = a$ 上运动.若 $tan ∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、若直线 $a x + b y - 10 = 0$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 0$ 相切于点 $(4, 2)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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3、已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，一个焦点为 $F (3, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A、B两点.若 $A B$ 的中点为 $(1, - 1)$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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4、已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 4)$ 两点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(0, - 4)$ D、 $(2, - 3)$

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5、已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足条件sin $α$ ＋cos $α$ ＝ $\frac{1}{5}$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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6、已知正三棱台的体积为 $7 \sqrt{3}$ ，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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7、若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

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8、若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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9、设正整数 $n \geq 4$ ，若由实数组成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2} ， \dots, a_{n}\}$ 满足：“对 $A$ 中任意三个不同的元素 $a, b, c$ ，均有 $a + b + c \in A$ 或 $a b c \in A$ ．则称 $A$ 具有性质 $P$ ．

(1)、分别判断 $A_{1} = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ 和 $A_{2} = \{\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由：

(2)、设 $a > b > c > 0$ ，集合 $B = \{- c, - b, - a, a, b, c\}$ 具有性质 $P$ ，记 $B$ 中不小于1的元素个数为 $k$ ，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若集合 $A$ 具有性质 $P$ ，求 $n$ 的最大值．

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10、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、若 $f (t + 1) > f (3 - t)$ ，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - m x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的一个零点为1，且满足 $f (0) = f (4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[a ， a + 2]$ 上的最小值；

(3)、设 $g (x) = k x - 3$ ，垂直于 $x$ 轴的直线 $l ： x = t (t \in R)$ 分别交函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象于 $M ， N$ 两点，若线段 $M N$ 的长度恒大于2，求实数 $k$ 的取值范围．

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 a x + a + 1 = 0\} ， B = {x ∣ k x - 2 > 0}$ ．

(1)、若 $A = \{x_{1}, x_{2}\}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 28$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2, A \cup B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ．

(1)、求 $a b$ 的最大值：

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(3)、求 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值．

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14、求下列关于 $x$ 的不等式的解集：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 > 0$ ：

(2)、 $\frac{x}{x - 1} \geq 2$ ；

(3)、 $x^{2} + a x - 2 a^{2} < 0$ ．

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15、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ，则
①函数 $f (x)$ 没有零点；
②函数 $f (x)$ 有最小值；
③对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立；
④对于任意 $M \in R$ ，存在 $x_{0} \in R$ ，对于任意 $x > x_{0}$ ，有 $f (x) > M$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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16、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 a x, x \leq a \\ x + a, x > a \end{cases}$ ．若 $f (x)$ 的最小值为0，则实数 $a$ 的值是；若 $y = f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17、能说明命题：“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是假命题的一组 $a ， b$ 的取值为 $a =$ ， $b =$ ．

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18、函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x}$ 的定义域为．

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19、 $4^{\frac{1}{2}} + {(- 2)}^{0} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = \{\begin{cases} f (x) + a, x \geq 0 \\ - f (x) - a, x < 0 \end{cases}$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得不等式 $g (x_{0}) (g (x_{0}) + a) < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值不可能为（）

A、 $- \frac{11}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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