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相关试卷

1、如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2} = 2 {(\vec{A C})}^{2}$ B、 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的投影是线段 $B D$ 的中点 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于 $45^{\circ}$ D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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2、（多选）下列命题中，真命题的是（）

A、数据 $12 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 23 ， 27 ， 30$ 的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量 $y$ 与 $x$ 成负相关 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、在线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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3、已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{3 a + 1}{a} = 3^{a} - a$ ， $\frac{4 b + 1}{b} = 4^{b} - b$ ， $\frac{5 c + 1}{c} = 5^{c} - c$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 4, a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{8} = 16$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为

A、2 B、4 C、8 D、16

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5、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，侧面 $P A D$ 为等边三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内运动，且满足 $M P = M C$ ，则点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内的轨迹一定是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知 $△ A B C$ 满足 $| \vec{B C} | (\vec{B A} \cdot \vec{A C}) = | \vec{B A} | (\vec{B C} \cdot \vec{C A})$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 18 < 0\} ， B = \{- 2, 0, 2, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2, 6\}$

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8、已知函数 $f (x) = x^{α} - m x + m - 1, m \in R$ .

(1)、当 $α = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值；

(2)、当 $α = 2$ 时，若 $f (x) \geq e^{x - 1} - 1$ 对任意 $x \in (- \infty, 1]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $p \geq 0, q \geq 0, s > 0, t > 0$ ，且 $s + t = 1$ ，证明： $p^{s} q^{t} \leq p s + q t$ .

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的右顶点，上顶点，且 $|A B| = \sqrt{10}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (3, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，其中点 $M$ 在第一象限，点 $N$ 不在 $y$ 轴上，设直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（i）求证： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值；
（ii）设直线 $B M$ 与 $x$ 轴交于点 $T$ ，求 $△ B N T$ 的面积 $S$ 的最大值.

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10、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, ∠ B A D = ∠ B A P = 90^{\circ}$ ， $A D = C D = 2 A B = 2, △ P A D$ 是正三角形.

(1)、设 $E$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $F$ 为棱 $P A$ 上一点，且 $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ，求 $\frac{A F}{F P}$ 的值；

(2)、设 $G$ 是棱 $P C$ 的中点，求证： $B G ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、设 $M$ 是棱 $P C$ 上一个动点，若直线 $D M$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求线段 $C M$ 的长度.

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11、冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”.

(1)、以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{2} = 5, S_{5} = 40, b_{3} = 4, b_{4} = a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\} ､ \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{matrix} a_{n}, & n 是奇数 \\ b_{n}, & n 是偶数 \end{matrix}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和.

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13、公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数 $f (x) = 1 + ln x, g (x) = a \sqrt{x} - 1$ 的图象存在两条不同的公切线，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14、已知 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, 2 tan α = tan β$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ .

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15、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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16、二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为 ${(101)}_{2}, 12$ 表示为 ${(1100)}_{2}$ .自然数 $n$ 可表示为二进制表达式 ${(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0})}_{2} (k \in N)$ ，则 $n = a_{k} \cdot 2^{k} + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{0}$ ，其中当 $n > 0$ 时， $a_{k} = 1, a_{i} = 0$ 或 $1 (i = 0, 1, \dots, k - 1)$ ，记 $F (n) = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} (k \in N, n \in N^{*}), G (n)$ 为整数 $n$ 的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（）

A、 $G (35) = 3$ B、对任意 $n \in N^{*}, F (2 n + 1) = F (n) + 1$ C、存在 $m, n \in N^{*}, F (m + n) > F (m) + F (n)$ D、 $\sum_{n = 1}^{63} 2^{G (n)} = 364$

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $K$ ，过 $K$ 的一条直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，则（）

A、 $|A F| \cdot |B K| = |B F| \cdot |A K|$ B、 $∠ F M K = ∠ F M A$ C、直线 $F A$ 与 $F B$ 的斜率之和为0 D、 $△ A B F$ 与 $△ M N F$ 的面积相等

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18、已知函数 $f (x) = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有3个零点

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19、已知 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点均在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右支上，若 $x_{1} x_{2} > y_{1} y_{2}$ 恒成立，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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20、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}, B C = 4, D$ 为 $B C$ 边上的中点，且 $A D = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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