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相关试卷

1、甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件 $A$ 表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件 $B$ 表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（）

A、 $P (B| A) = \frac{5}{8}$ B、 $P (B) = \frac{15}{28}$ C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A| B) = \frac{1}{3}$

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2、已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面， $a, b, c$ 为三条不同的直线且 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则三条直线 $a, b, c$ 的位置关系可能是（）

A、三条直线两两平行 B、有且仅有两条直线平行 C、三条直线相交于同一点 D、有且仅有两条直线相交

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3、已知曲线 $y = 2^{x}$ 上的点 $A$ 和曲线 $y = 2^{x - 1} - \frac{4}{3}$ 上的两点 $B, C$ 满足 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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4、已知正项等比数列{a_n}的公比不为1， $T_{n}$ 为其前n项积，若 $T_{7} = 1$ ，则集合 $\{T_{k} ∣ 1 \leq k \leq 20\}$ 中的元素个数为（）

A、13 B、17 C、18 D、20

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5、甲、乙、丙、丁、戊共 $5$ 名同学进行劳动技术比赛，决出第 $1$ 名到第 $5$ 名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这 $5$ 人名次排列的所有可能情况共有（）

A、 $36$ 种 B、 $42$ 种 C、 $48$ 种 D、 $54$ 种

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6、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（）

A、0 nmile B、15 nmile C、30 nmile D、40 nmile

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7、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是（）

A、 $y = (e^{x} + e^{- x}) s i n x$ B、 $y = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ C、 $y = (e^{x} + e^{- x}) c o s x$ D、 $y = (e^{x} - e^{- x}) c o s x$

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8、已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{4}{17}$ B、 $- \frac{1}{11}$ C、 $0$ D、 $\frac{4}{17}$

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9、已知复数 $z = (m + 1) + (m^{2} + 3 m) i$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

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10、已知命题： $\forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则该命题的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x + |x| < 0$ B、 $\forall x \in R, x + |x| \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x + |x| \geq 0$ D、 $\exists x \in R, x + |x| < 0$

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11、已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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12、把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 $A B = A C = 3 ， ∠ B A C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ}$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折至 $△ P B C$ ，使得二面角 $P - B C - D$ 为直二面角．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P, B, C, D$ 在同一个球面上，求该球的半径；

(3)、求平面 $P B D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值．

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13、近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
销量 $y$
33
69
93
129
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 966, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4896, \sqrt{170} \approx 13.04$ $．$

(1)、试根据样本相关系数 $r$ 的值判断该地汽车销量 $y$ 与年份代号 $x$ 的线性相关性强弱（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较强， $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $tan A = \frac{cos B}{1 + sin B}$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆半径为1，当 $△ A B C$ 的面积取最大值时，求 $\frac{b}{a^{2}}$ ．

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15、 $x {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图象向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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17、已知 $α \in (0, π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、若复数 $z$ 满足 $| z |^{2} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0或 $- i$ D、0或 $i$

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19、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = ({sin}^{2} x - {cos}^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0), (c > 0)$ ，上顶点为A，O为坐标原点，且 $\tan ∠ A F_{1} O + \tan ∠ F_{1} A O = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, △ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $c > b$ ，求椭圆 $C$ 上的点到直线 $l : \frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1$ 距离的最大值.

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年份	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4
销量 $y$	33	69	93	129