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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{3} = a_{4} + 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + a_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并证明数列 $\{b_{n} + n\}$ 是等比数列；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x - c$ （ $a > 0$ ， $b$ ， $c \in R$ ），若 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $\frac{b^{2026} c}{a^{2027}}$ 的最大值为.

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3、已知 $\cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} x + \sin 2 x}{\tan x + 1} =$ .

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4、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ .当 $∠ A O P$ 取最大值时， $|O P| =$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos B} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{2 a}{b}$ ， $\sin A \sin C = \frac{9}{2 b^{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $D$ 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{B O} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ， $c = 2$ ，则 $λ = \frac{1}{6}$

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6、下列说法正确的是（）

A、数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B、若随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $E (X) = 4$ ，则 $D (X) = \frac{4}{3}$ C、某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D、一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 $\frac{16}{33}$

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7、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论成立的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、 $|A F_{1}| \cdot |A F_{2}| \leq 4$ C、 $|A B|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、存在直线 $l$ ，使得 $A B ⊥ A F_{2}$

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8、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln (e^{2 x} + 1), x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，则 $g (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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10、已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ .若 $△ M B C$ ， $△ M C A$ 和 $△ M A B$ 的面积分别为1， $x$ ， $y$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} + \frac{x}{y}$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、9 C、15 D、20

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x + \frac{2 π}{3}) = f (x)$ B、 $f (x + \frac{2 π}{9}) = f (\frac{2 π}{9} - x)$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{18}, 0)$ 中心对称

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12、清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、64种 D、72种

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13、在平行四边形ABCD中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 2$ B、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、复数 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、将复数 $z$ 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ ，所得向量对应的复数为 $\sqrt{2} i$

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15、已知集合 $A = \{x| x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (2 - x)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $(- \infty, 3]$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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18、某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
2025年3月
2025年4月
2025年5月
2025年6月
2025年7月
2025年8月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y /$ 千辆
6
7
10
11
12
14

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；

(2)、该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 238, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

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19、如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $S A B$ ， $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ， $△ S A B$ 是等边三角形．

(1)、若 $E$ 为棱 $S D$ 上一点，直线 $A S$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ ，证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = S A = 2$ ，直线 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 12, a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ．

(1)、证明：存在非零实数 $k$ ，使得数列 $\{a_{n + 1} + k a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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时间	2025年3月	2025年4月	2025年5月	2025年6月	2025年7月	2025年8月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y /$ 千辆	6	7	10	11	12	14