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相关试卷

1、如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2} = 2 {(\vec{A C})}^{2}$ B、 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的投影是线段 $B D$ 的中点 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于 $45^{\circ}$ D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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2、（多选）下列命题中，真命题的是（）

A、数据 $12 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 23 ， 27 ， 30$ 的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量 $y$ 与 $x$ 成负相关 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、在线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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3、已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{3 a + 1}{a} = 3^{a} - a$ ， $\frac{4 b + 1}{b} = 4^{b} - b$ ， $\frac{5 c + 1}{c} = 5^{c} - c$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 4, a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{8} = 16$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为

A、2 B、4 C、8 D、16

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5、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，侧面 $P A D$ 为等边三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内运动，且满足 $M P = M C$ ，则点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内的轨迹一定是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知 $△ A B C$ 满足 $| \vec{B C} | (\vec{B A} \cdot \vec{A C}) = | \vec{B A} | (\vec{B C} \cdot \vec{C A})$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 18 < 0\} ， B = \{- 2, 0, 2, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2, 6\}$

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8、拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且其导函数为 $f^{'} (x)$ ，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得 $f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .已知函数 $f (x) = x ln x$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e^{2}}, e^{2}]$ 上的值域；

(2)、已知 $0 < a < b, f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，求证：
（i） $2 ξ < a + b$ ；
（ii）若对满足 $0 < a < b < 3 a$ 条件的 $a, b$ ，不等式 $f (a) + f (b) < 2 f (\frac{a + b}{2}) + \frac{k}{2} (b - a)$ 恒成立，求整数 $k$ 的最小值.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ .过点 $T (t, 0) (t > 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A, B$ ，过抛物线上一点 $D$ 作切线 $l_{D}$ ，且 $l_{D}$ $/ /$ $l$ .

(1)、当 $t = 1$ ，直线斜率为 $\frac{1}{2}$ 时，求弦 $A B$ 的长；

(2)、当 $|F A| = |F T|$ ，且 $△ A O D$ （ $O$ 为原点）的面积等于2时，求此时直线 $l$ 的方程.

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A A_{1} = 4, \vec{A M} = 3 \vec{M A_{1}} . P$ 是棱 $B C$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $C C_{1}$ 到达 $M$ 点的最短路线长为 $3 \sqrt{2}$ ，设这条最短路线与 $C C_{1}$ 的交点为 $N$ .

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $M N P$ ；

(2)、求平面 $M N P$ 和平面 $A B C$ 所成的二面角（锐角）的正切值.

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11、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A = \frac{2 π}{3}, A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $sin B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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12、若曲线 $y = ln x + a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，且在点 $P$ 处的切线相同，则实数 $a =$ .

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13、已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 $n =$ .

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14、类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线 $P A, P B, P C$ 构成的图形称为三面角 $P - A B C$ ，记 $∠ A P C = α, ∠ B P C = β, ∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，则 $cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos θ$ .在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, M$ 为线段 $A D$ 上动点， $△ A B M$ 绕 $B M$ 翻折至 $△ P B M$ ，记二面角 $P - B M - C$ 的平面角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $cos ∠ P B C = cos ∠ P B M \cdot cos ∠ C B M$ B、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，且 $M$ 为 $A D$ 中点，则 $P C ⊥ P B$ C、不存在 $θ$ 与 $M$ ，使得 $∠ P B C = ∠ P B M = ∠ C B M$ D、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，则 $P C$ 最小值为 $\sqrt{2}$

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15、设函数 $f (x) = (x - 1) (x - a) (x - b)$ ，其中 $a < 1 < b$ .则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 可能为奇函数 B、 $f (x)$ 既有极大值也有极小值 C、若 $f (x) f (2 - x) \leq 0$ 恒成立，则 $a + b = 2$ D、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f^{'} (x) = 0$ 的两个不同实根，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 0$ ，则 $a + b > 2$

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16、某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $a$ 的值为0.015 B、估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C、估计总体中成绩落在 $[80, 90)$ 内的学生人数105 D、估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85

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17、如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

A、 B、 C、 D、

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18、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过椭圆 $C$ 上一点 $P$ 作切线 $P T$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，若 $∠ F_{2} P T = 45^{\circ}, ∠ F_{2} T P = 15^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、已知 $a = 3^{ln 4}, b = 4^{ln 3}, c = 5^{ln 2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a = b > c$ D、 $a = b < c$

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20、已知函数 $f (x) = |lg x|$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + 3 b$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{3}, + \infty)$ B、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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