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相关试卷

1、一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了盏灯．

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2、下列求导数的运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$ D、 $(x \cdot \cos x)^{'} = - \sin x$

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3、若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1, - \frac{1}{3}]$

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4、已知实数 $m$ 是1，4的等比中项，则 $m =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 2$ D、 $- 2$

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5、如图，从 $A \to C$ （图中不能折返回 $A$ ）不同的走法有（）

A、8种 B、6种 C、4种 D、2种

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6、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = ({sin}^{2} x - {cos}^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0), (c > 0)$ ，上顶点为A，O为坐标原点，且 $\tan ∠ A F_{1} O + \tan ∠ F_{1} A O = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, △ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $c > b$ ，求椭圆 $C$ 上的点到直线 $l : \frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1$ 距离的最大值.

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8、经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表：
组名
A
B
C
D
E
年龄
$[10, 20)$
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
人数
20
120
100
40
20

(1)、用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为 $X_{1}$ ， E组的人数为 $X_{2}$ .设 $X = |X_{1} - X_{2}|$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、年龄在 $[20, 40)$ 上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？

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9、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 k x$ ， $x \in (0, e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为 $- 2$ ？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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10、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + m = 0$ 外切，此时直线 $l$ ： $x + y = 0$ 被圆 $C_{2}$ 所截的弦长为；若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C_{2}$ 上一点，则 $x_{0} ^{2} + y_{0} ^{2}$ 的最小值为．

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11、设复数 $z = 1 + \sqrt{2} i$ ，则 $z^{2} - 2 z =$ ；

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12、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} + x + 2$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点横坐标的最小值为 $- 1$ C、曲线 $C$ 与 $y$ 轴围成封闭图形的面积大于 $\frac{π}{2}$ D、直线 $y = \sqrt{2} x$ 与曲线 $C$ 有三个交点

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13、已知点 $A, B$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C$ 的焦点为 $F$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上的射影为 $M^{'}$ ，且 $|A B| = \sqrt{3} |M M^{'}|$ ，则向量 $\vec{F B}, \vec{F A}$ 的夹角的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{5} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = 3$ ，则 $\frac{a_{10} - a_{2}}{a_{6} + a_{2}} =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、15

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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16、已知命题 $p$ ： $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x > x$ B、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ C、 $\exists x \in (- \infty, 0) \cup (\frac{π}{2}, + \infty)$ ， $\sin x \geq x$ D、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x \geq x$

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17、设 $F_{1} 、 F_{2}$ 是椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是第一象限内 $Γ$ 上的动点，直线 $P F_{2}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{2}$ .已知存在点 $P$ ，使得 $|P F_{2}| = 2 |F_{2} Q_{2}|, \tan ∠ P F_{1} Q_{2} = \frac{3}{4}, △ Q_{2} F_{1} F_{2}$ 的面积为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{1}$ ，记 $r_{1} 、 r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} Q_{2} 、 △ P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径，求 $r_{1} - r_{2}$ 的最大值.

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18、函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[- π, π]$ 的大致图象如图所示，将曲线 $y = f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $x \in [- π, π]$ ，解不等式 $\sin^{3} x - g^{3} (x) > 2 g (x + \frac{π}{4})$ ；

(3)、设 $t \in [0, π]$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x + t) = 1 - g (x)$ 有解，求 $t$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，其中 $A D / / B C, P B ⊥ A D, A D =$ $2 B C = 6,$ $A B = P A = P B = 4$ ， $C D = 5$ ，点E、F分别为棱PD、AD的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD；

(2)、请作出四棱锥 $P - A B C D$ 过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；

(3)、过B、E、F三点的平面上是否存在动点 $M$ ，使其到点 $C$ 的距离为3？若存在，求点 $M$ 在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = a {(x - 4)}^{2} + 6 ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, 9)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点.

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组名	A	B	C	D	E
年龄	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
人数	20	120	100	40	20