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相关试卷

1、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B // D C$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = D C = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} N //$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求直线 $D_{1} N$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离；

(3)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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2、已知函数 $f (x) = sin (2 x + θ)$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .设 $P (1, \sqrt{3})$ 为角 $α$ 终边上的一点，求 $g (2 α)$ .

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3、一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则满足 $|a - b| + |b - c| + |c - a| = 6$ 的情况有种.

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4、已知函数 $f (x) = 2 cos (x - \frac{π}{2}) + \frac{3}{x} + 3$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ .

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5、已知向量 $\vec{a} = (t, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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6、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 不是常数函数，且 $f (2 x) + f (x + y) f (x - y) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x) f (- x) = 2$ C、 $f (3) = {[f (1)]}^{3}$ D、 $f (x) + f (- x) \leq - 2$

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7、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- \sqrt{5}$ C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ D、双曲线 $C$ 上存在不同两点 $M, N$ 关于点 $Q (1, 1)$ 对称

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8、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ ，设其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{10} < 2025$ D、 $a_{n} + a_{n + 1} < a_{n + 2}$

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9、在 $△ A B C$ 中，记内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为2， $B$ ， $C \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $sin (2025 π - A) + \cos^{2} B + \cos^{2} C = 2$ ，则 $b + c$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = 4 n^{2} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、414 B、406 C、403 D、393

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11、已知 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点， $|A F| + |B F| = 3$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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12、我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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13、设函数 $f (x) = ln (2 x + 3) - ln (- 2 x + 1)$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递减 C、在 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递增 D、在 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减

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14、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 = 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{- 2, 1\}$ B、 $\{- 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、复数 $\frac{1 - 2 i}{2 + i} =$ （）

A、 $i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- i$

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16、对于函数 $y = f (x)$ ，若满足 $\forall x \in (a, b)$ ， $f (x) > x$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上有 $M$ 性质．

(1)、函数 $y = - x^{2} + 2 x$ 在区间 $(0, 1)$ 上 $M$ 性质，函数 $y = \sin x$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上 $M$ 性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）

(2)、若函数 $y = \ln (e^{2 x} + k) - ln (k + 1)$ 在 $(0, 1)$ 上有 $M$ 性质，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．
①判断 $y = f (f (f (x)))$ 在 $(0, 1)$ 上是否有 $M$ 性质，并说明理由．
②设集合 $A, B$ 满足 $A \cup B = (0, 1)$ ，定义函数 $g (x) = \{\begin{cases} x, x \in A \\ f (x), x \in B \end{cases}$ 是定义域为 $(0, 1)$ 的单调增函数．若 $\frac{1}{2} \in B$ ，请判断 $1 - {(\frac{1}{2})}^{2026}$ 是否也属于 $B$ ，并说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{10^{x} - 10^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{10^{x} + 10^{- x}}{2}$ ．

(1)、求 ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2}$ 的值；

(2)、已知 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ．
①判断并证明 $F (x)$ 的奇偶性和单调性；
②设 $x_{0}$ 为 $h (x) = \sin π x$ 的零点，且满足 $F (|x_{0}|) + F (h (x_{0} + \frac{1}{2}) - 7) < 0$ ，求满足条件的 $x_{0}$ 的个数．

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18、学校知辛堂旁有一个矩形水池ABCD，如图所示， $|A B| = 70$ 米， $|B C| = 35 \sqrt{3}$ 米．为了便于同学们观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道OE，EF和OF．考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E，F分别在边BC，AD上（均含端点），且 $∠ E O F = 90 °$ ．设 $∠ B O E = x$ ．

(1)、求x的取值范围；

(2)、求证： $|E F| = \frac{35}{\sin x \cos x}$ ；

(3)、由于锦鲤在18℃-25℃的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带．经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米50元．试问如何设计才能使费用最低？并求出最低费用．

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19、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 1$ ， $g (x) = A \sin (x - \frac{π}{6}) (A > 0)$ ．

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = f (\sin x)$ 的最大值；

(2)、已知集合 $M = \{y |y = f (x), 0 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $N = \{y |y = g (x), 0 < x < π\}$ ，且满足 $M \cup N = N$ ，求实数A的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ （其中 $|φ| < \frac{π}{2}$ ）， $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + f (x - \frac{π}{6})$ ，求 $g (x)$ 的单调递增区间．

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