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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} + \vec{a} | - | \vec{b} - \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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2、已知 $f (x)=[ln x +ln(2π− x)]⋅sin x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x +π)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 有3个零点 D、 $∀ x ∈ (0, π]$ ， $f (x)⩽2lnπ$

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3、已知复数数列 $\{z_{n}\}$ 满足 $z_{1} = 1$ ， $z_{n + 1} = \bar{z_{n}} + 1 + n i$ ，其中 $n = 1,2, \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数，则 $z_{2025}$ 的值为（）

A、 $2025 + 4098600 i$ B、 $4049 - 2024 i$ C、 $2025 + 1012 i$ D、 $4049 + 2024 i$

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4、已知集合 $A = {- 1, 0, 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A, x \in R\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 2, 4}$ B、 ${- 1, 0, 1, 4, 16}$ C、 ${- 1, 0, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 16}$

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5、如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， D是边BC上一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ．

(1)、设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A D}$ ．

(2)、若 $A B = A C = 3$ ，求 $∠ A D C$ 的大小．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $(a - c) (a + c) + b (b - a) = 0$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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7、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $| \overset{⃑}{a} | = 3$ ， $| \overset{⃑}{b} | = 2$ ．
（1）求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $| \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} |$ ， $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 上的投影向量；
（2）求向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值．

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8、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 6 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{a} - 6 \vec{b}$ ，求证：A，B，C三点共线；

(2)、若 $4 \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b}$ 与 $\frac{1}{2} k \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求实数k的值，并指出 $4 \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b}$ 与 $\frac{1}{2} k \vec{a} + \vec{b}$ 反向共线时 $k$ 的取值．

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9、已知 $A (2, 3)$ ， $B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在线段 $B A$ 的延长线上，且 $2 B P = 3 A P$ ，则点 $P$ 的坐标是．

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10、若向量 $\vec{e_{1}} = (2, λ)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 3)$ ，能作为平面内所有向量的一组基底，则 $λ$ 的取值范围为.

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11、在正方形 $A B C D$ 中， $B C = 1$ ，点E满足 $\vec{D E} = t \vec{D C} (0 < t < 1)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、当 $t = \frac{1}{3}$ 时， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、当 $t = \frac{2}{3}$ 时， $cos ⟨\vec{A E}, \vec{B E}⟩ = \frac{\sqrt{35}}{10}$ C、存在t，使得 $\vec{A E} ⊥ \vec{B E}$ D、 $|\vec{A E} + \vec{B E}|$ 的最小值为2

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12、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, - 1), \vec{b} = (2, 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、存在 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，使得 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

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13、下面是关于复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ 的四个命题，其中真命题是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z^{2} = 2 i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、 $z$ 的虚部为 $- 1$

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14、设非零向量 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{A C} = \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 满足， $| \overset{⃑}{a} | = | \overset{⃑}{b} |, | \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} | = | \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} |$ ，则四边形ABCD形状（）

A、平行四边形 B、矩形 C、正方形 D、菱形

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15、已知向量 $\vec{O A} = (- 3, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, - 2)$ ， $\vec{O C} = (x - 6, x + 5)$ ，若点 $A, B, C$ 不能构成三角形，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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16、设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 对应的点位于复平面内（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、若复数 $z = m^{2} - 1 + (m^{2} - m - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、1 D、 $- 2$

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18、下列说法正确的是（）

A、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B、两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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19、某高校数学系为了控制大一学生上课使用手机，针对上课使用手机情况，进行量化比，若发现上课使用手机则扣除其对应的积分，根据调查发现每次被扣分数与本系大一学生每周上课使用手机人数的关系如下表所示：
每次被扣分数x（单位：分）
0
2
5
8
10
每周上课使用手机人数y（单位：次）
50
25
20
15
10

(1)、试根据以上数据，建立y关于x的回归直线方程（结果保留一位小数）；

(2)、根据上述回归直线方程分析：每次扣分为多少时（精确到整数分），该系大一新生被扣分的总数最大；

(3)、若学校规定，大一新生每学期（按20周上课计算）因为上课使用手机被扣分总数不超过1000分，则该系大一被定为控制手机合格，那么，每周上课使用手机至少扣多少分时（扣分不低于5分，精确到整数），数学系才能被定为控制手机合格？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$

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20、“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为.

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每次被扣分数x（单位：分）	0	2	5	8	10
每周上课使用手机人数y（单位：次）	50	25	20	15	10