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相关试卷

1、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} cos θ - y_{k} sin θ, x_{k} sin θ + y_{k} cos θ)$ ，（ $0 < θ < π$ ）

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $⟨\vec{O A^{'}}, \vec{O B^{'}}⟩ = ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值；

(3)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的取值范围.

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3、如图，正四面体棱长为4，E为 $A B$ 的中点， $A F = 3 F C$ ， $D G = 2 G A$ .

(1)、求四面体 $A B C D$ 的表面积和体积；

(2)、求四面体 $A F E G$ 的体积.

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4、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为 $3 \sqrt{5}$ 海里，角A为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A D B$ 的值；

(2)、求 $△ B C D$ 的面积．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则 $∠ A P N$ 的余弦值为．

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i$ ， $- i$ ， $2 + i$ ，则点 $D$ 对应的复数是；

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7、如图，正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）.

A、该三棱台的侧面积为 $6 \sqrt{3}$ B、该三棱台的高为 $\sqrt{3}$ C、该三棱台的体积为 $\frac{13 \sqrt{2}}{6}$ D、若点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，则 $A P + C P$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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8、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列说法一定正确的是（）

A、 $z_{1}$ 和 $\bar{z_{1}}$ 在复平面上所对应的点关于实轴对称 B、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、若 $z_{1}, z_{2}$ 为纯虚数，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数

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9、某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为 $2 \sqrt{3} dm$ （骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（）

A、 $4 {πdm}^{2}$ B、 $\frac{16 π}{3} {dm}^{2}$ C、 $\frac{32 π}{3} {dm}^{2}$ D、 $16 {πdm}^{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $(a + b) (\sin A - \sin B) = c (\sin C - \sin B)$ ， $a^{2} = b c$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等边三角形 B、等腰非等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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11、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{b}| = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、0 B、1 C、8 D、4

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ， $A = 60 °$ ，则角 $C$ 等于（）

A、30° B、60° C、30°或60° D、60°或120°

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13、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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14、 $\vec{D C} + \vec{A B} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{C B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{D B}$

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15、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \frac{2 x}{x + 2} - \ln n$ ， $n \in N^{*}$ ，设 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、证明： $\{a_{n}\}$ 为单调数列，并求 $\{a_{n}\}$ 中的最小项；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ .

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = 4$ ， P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，点Q为 $A B_{1}$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A_{1} C_{1}} = 2 \vec{A_{1} P}$ ，
（i）证明： $B C_{1} //$ 平面 $C P Q$ ；
（ii）求直线 $C Q$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 的所成角的余弦值；

(2)、若平面 $C P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $C_{1} P$ 的值.

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17、某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为 $p （ 0 < p < 1 ）$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)、记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的极大值点 $p_{0}$ ．

(2)、工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a cos B - b cos A = b + c, D$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}, A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 ， |\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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20、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 2 |x| - 2 |y| + 1 = 0$ ，曲线 $L : y = k |x| - 3$ ，则（）

A、 $C$ 的周长为 $8 π$ B、当 $k = \frac{3}{4}$ 时， $L$ 与 $C$ 有且只有2个公共点 C、当 $L$ 与 $C$ 有且只有6个公共点时，则 $k$ 的取值集合为 $\{2, 3\}$ D、当 $L$ 与 $C$ 有8个公共点时， $k$ 的取值范围为 $(\frac{15}{8}, 3) \cup (3, + \infty)$

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