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相关试卷

1、已知角 $α$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边过点 $P (- 4, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sin α = \frac{3}{5}$ B、 $\cos 2 α = - \frac{7}{25}$ C、 $\tan \frac{α}{2} = 3$ D、 $sin (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 20$ ，则公差为2 B、若 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 \sqrt{a_{n}}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 C、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 8$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ， $S_{n} = \frac{31}{2}$ ，则 $a_{n} = \frac{1}{2}$ D、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{31}{32}$ ，则公比为 $\frac{1}{2}$

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3、当一个非空数集 $G$ 满足：如果 $a, b \in G$ ，那么 $a + b, a - b, a b \in G$ 且当 $b \neq 0$ 时， $\frac{a}{b} \in G$ 时，我们称 $G$ 就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域 $G$ 有非零元素，则 $2026 \in G$ ；③集合 $P = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ 是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（）.

A、①②④ B、②③④ C、①④ D、①②

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4、在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（）

A、40%分位数 B、60%分位数 C、75%分位数 D、85%分位数

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5、已知 ${(x - 3)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ （）

A、 $- 15$ B、 $- 16$ C、 $- 80$ D、 $- 81$

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6、已知圆 $O$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，则“点 $M (2, 1)$ 在圆 $O$ 外”是“点 $N (0, 2)$ 在圆 $O$ 外”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 2)$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(- 2, - 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 10$ C、5 D、10

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8、若 $z (1 - i) = 1 + i$ ，则 $z^{10} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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9、已知集合 $A = \{y |y = x^{2}\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $R$ C、 $\emptyset$ D、 $\{(0, 0), (1, 1)\}$

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10、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a sin x,$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{0}, x_{1} \in (0, π)$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{1}) = 0$ ，求证： $x_{0} < 2 x_{1}$ ．

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11、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 既是双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线，也是双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线，且双曲线 $C_{2}$ 的焦距是双曲线 $C_{1}$ 的焦距的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、任作一条平行于 $l_{1}$ 的直线 $l$ 依次与直线 $l_{2}$ 以及双曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于点 $L$ ， $M$ ， $N$ ，求 $\frac{M N}{N L}$ 的值；

(3)、如图， $P$ 为双曲线 $C_{2}$ 上任意一点，过点 $P$ 分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的平行线交 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，证明： $△ P A B$ 的面积为定值，并求出该定值.

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O_{1}, O$ 分别为上下底面的中心，圆锥 $O O_{1}$ 的顶点为 $O$ ，圆锥底面为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切圆， $M$ 为 $A D$ 中点，如图所示．

(1)、设点Q在圆锥 $O O_{1}$ 的底面圆周上运动．
（ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值；
（ⅱ）若 $C Q = \sqrt{7}$ ，证明： $C Q ∥$ 平面 $A_{1} O B$ ．

(2)、设平面 $A_{1} B C D_{1}$ 和圆锥 $O O_{1}$ 侧面的公共点构成集合 $Ω$ ，若 $P \in Ω$ ，求PM的最小值．

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13、某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.

(1)、该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；

(2)、该订单发生延迟的概率；

(3)、若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + \frac{n + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设m为整数，且对任意正整数 $n$ ， $m \geq \frac{4}{a_{1}} + \frac{4}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{4}{a_{n}}$ ，求m的最小值．

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 5, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则函数 $f (x) = k x - \ln x$ 的最小值为.

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16、双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} ＝$ $4 (x^{2} - y^{2})$ 是双纽线，则下列结论正确的是（）

A、曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B、曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 C、曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} ＝ 4 (y^{2} - x^{2})$ D、若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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17、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = - 1$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) > 3$ ，则使不等式 $f (x) \geq 2 e^{x} - 3$ 成立的 $x$ 的值可能为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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18、为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积 $x$ （单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 80)$ ，已知其中有一套房源的数据为点 $P (100, 220)$ ，且 $∑_{i = 1}^{80} y_{i} = 17280$ ，根据数据求得的线性经验回归方程为 $\hat{y} = 1.8 x + 45$ ，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.956$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r < 0$ B、数据点P对应的残差的绝对值为5 C、该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D、乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程 $\hat{y} = 2.5 \ln (x + 10) + 30$ ，其决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.872$ ，则甲机构选取的模型拟合效果更好

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19、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A (2, 2 \sqrt{2})$ ，则焦点到准线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，且椭圆C上的点M满足 $|M F_{1}| = \frac{2}{7}$ ， $∠ M F_{1} F_{2} = 150 °$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，点 $Q, R$ 在椭圆C上，若直线 $P Q$ ， $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，满足 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{3}{4}$ ，求 $△ P R Q$ 面积的最大值．

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