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相关试卷

1、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (3, 0)$ ， $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $2$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点（其中 $A$ 在第一象限），交直线 $x = \frac{5}{3}$ 于点 $M$ ，
（i）求 $\frac{|A F| \cdot |B M|}{|A M| \cdot |B F|}$ 的值；
（ii）过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B$ 、 $x$ 轴于 $P$ 、 $Q$ ，记 $\vec{M Q} = λ \vec{Q P}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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2、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A_{1} B = A B$ ， $A_{1} A = A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B$ ⊥平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} D$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} - a^{2} = a c$

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{a}{c}$ 的取值范围．

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4、在四边形ABCD中，已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ ， $∠ A B C = 2 ∠ B A C$ ， $|D B| = 2 |D A|$ ，若C，D两点关于y轴对称，则 $|C D| =$ ．

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5、 $(1 + x) {(\frac{2}{x} - x)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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6、在 $x O y$ 平面上，抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在曲线 $E$ 上且位于第一象限，设 $∠ P F O$ 的角平分线交 $l$ 于点 $Q$ ，交 $E$ 于点 $S$ .已知 $| Q S | = 2 | S F |$ ，点 $S$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $P Q ⊥ l$ B、 $| P F | = 2$ C、 $P, F, T$ 三点共线 D、 $Q, O, T$ 三点共线

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7、已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5π}{12})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{11π}{12})$ 上有两个极值点 C、直线 $x = \frac{7π}{6}$ 是 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = - \sqrt{3} x - \frac{1}{2}$ 是 $y = f (x)$ 的切线

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8、下列关于统计的知识，说法正确的是（）

A、若数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差为0，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \geq 5)$ ，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C、数据 $- 2, - 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11$ 的第70百分位数是8.5 D、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - 0.5 x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为-1

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9、若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ， $f (4 - x) + f (x) = 4$ ，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{'} (k + \frac{1}{2})] =$ （）

A、65 B、70 C、75 D、80

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10、过 $B_{1} (0, - 1)$ 作直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 于另一点 $E$ ，连接 $B_{2} (0, 1)$ 和 $E$ 的直线交椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 于另一点 $F$ ，设直线 $B_{1} E$ 、 $B_{1} F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 ( )

A、 $k_{1} = 2 k_{2}$ B、 $k_{1} = 2 \sqrt{3} k_{2}$ C、 $k_{1} = 3 k_{2}$ D、 $k_{1} = 4 k_{2}$

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11、记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积，已知 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ，则 $T_{10} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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12、函数 $y = 8 {(x - 2)}^{2} \ln |x|$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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14、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $|z_{1} z_{2}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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15、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 1, 2\}, B = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 2\}$

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16、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $E$ 为 $O B$ 的中点.

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、斜率不为0的动直线 $l$ 过点 $E$ 交椭圆 $G$ 于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $M$ ，直线AD，BC交于点 $N$ .
（i）设直线 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2}$ 为定值；
（ii）以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3}$ ，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 的极值点和零点.
（i）设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t)$ .证明： $g (t)$ 在区间 $(0, x_{1})$ 单调递减；
（ii）比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明你的结论．

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18、杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：
市外游
市内游
合计
男生
14
6
20
女生
8
12
20
合计
22
18
40

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；

(2)、在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．
①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；
②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为 $Q_{n}$ ，求数列 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D$ ， $C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $H$ 为直线 $A E$ 上的点．

(1)、证明：四边形 $A B F E$ 为平行四边形；

(2)、已知 $D E = \sqrt{5}, C F = \sqrt{13}$ ．
（i）求 $\cos ∠ E F C$ ；
（ii）若 $A D = D E, A F = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $C - B F - H$ 的余弦值．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B, A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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	市外游	市内游	合计
男生	14	6	20
女生	8	12	20
合计	22	18	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828