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相关试卷

1、为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积 $x$ （单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 80)$ ，已知其中有一套房源的数据为点 $P (100, 220)$ ，且 $∑_{i = 1}^{80} y_{i} = 17280$ ，根据数据求得的线性经验回归方程为 $\hat{y} = 1.8 x + 45$ ，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.956$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r < 0$ B、数据点P对应的残差的绝对值为5 C、该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D、乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程 $\hat{y} = 2.5 \ln (x + 10) + 30$ ，其决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.872$ ，则甲机构选取的模型拟合效果更好

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A (2, 2 \sqrt{2})$ ，则焦点到准线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，且椭圆C上的点M满足 $|M F_{1}| = \frac{2}{7}$ ， $∠ M F_{1} F_{2} = 150 °$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，点 $Q, R$ 在椭圆C上，若直线 $P Q$ ， $P R$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，满足 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{3}{4}$ ，求 $△ P R Q$ 面积的最大值．

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4、已知函数 $f (x) = a x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是函数的极值点，求a的取值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, + \infty)$ ，均存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求a的取值范围.

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5、已知直线 $y = k x$ 是曲线 $f (x) = e^{x + 1}$ 和 $g (x) = a + \ln x$ 的公切线，则实数 $a =$ .

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6、直线 $l : x - y - 1 = 0$ 交圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 于A，B两点，则 $A B$ 的弦长为.

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7、泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点 $F (2, 0)$ ，直线 $l : x = \frac{9}{2}$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的 $\frac{2}{3}$ ．若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、直线 $l_{1} : \frac{x}{9} + \frac{y}{5} = 1$ 是“最远距离直线” C、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有交点 D、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $2 |P A| + 3 |P F|$ 的最小值为 $\frac{33}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{4}{e^{x} - 1} + 2$ ，则（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数 D、 $f (x)$ 无最值

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9、已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $20 \sqrt{15} π$ B、 $64 \sqrt{6} π$ C、 $96 π$ D、 $60 π$

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10、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件 $A =$ “取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件 $B =$ “取出的重卦中恰有3个阳爻”.则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{20}{57}$

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11、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}, B = \{x |{log}_{3} x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 a - c) sin A + (2 c - a) sin C = 2 b sin B$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - c$ 的取值范围.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、求二面角 $P - C D - A$ 所成角的余弦值.

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14、如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两个位置进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一平面内且与水平面垂直.在 $A$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{1} = 75 °$ ， $β_{1} = 30 °$ ，在 $B$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{2} = 45 °$ ， $β_{2} = 60 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{6} km$ .

(1)、求 $A M$ 的长度；

(2)、求 $M$ ， $N$ 之间的距离.

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15、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为棱 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D$ 所成角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $C - A_{1} A B$ 的体积.

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 4, m)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $m$ ；

(3)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (2 \vec{b})$ ，求 $m$ .

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17、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $F$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，设直线 $F G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最大值为.

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18、已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于.

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19、某个班共有54名学生，其中男女生人数比为 $5 : 4$ ，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学人.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $a c = 3 \sqrt{3}$ C、当 $a = 3$ 时， $b = \sqrt{3}$ D、 $b$ 的取值可能是 $2$

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