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相关试卷

1、已知集合 $N = {0, 1, 2}$ ，则满足条件 $A \subseteq N$ 的集合 $A$ 的个数有（）．

A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个

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2、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ， P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是 $Q P$ 中点．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分 $∠ A N B$ ？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图1，在边长为2的菱形ABCD中， $∠ B A D = 60^{°}, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ B E$ ，如图2．

(1)、求多面体 $A_{1} - B C D$ 的体积；

(2)、求二面角 $E - A_{1} D - B$ 的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B P$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B D}$ 的值；若不存请说明理由．

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4、已知两点 $P (2, - 5), Q (- 4, 3)$ ，直线 $l : 2 x - y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点P，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．

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5、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，沿对角线 $A C$ 将 $△ A B C$ 折起，使得 $B D = \sqrt{481}$ ，则 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是

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6、点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $l$ ： $2 x + y - 5 = 0$ 的距离为.

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7、如图，点 $M$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、当 $C M ⊥ A D_{1}$ 时，点 $M$ 一定在线段 $A_{1} D$ 上 B、当 $M$ 为 $A_{1} D$ 的中点时，三棱锥 $M - A B D$ 的外接球的表面积为 $2 π$ C、当点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上运动时， $| M A | + |M B_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $M B_{1}$ 与 $C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$

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8、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相交，则点 $(a, b)$ 在圆 $O$ 的外部 B、直线 $k x - y - 3 k + 1 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的最长弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上有4个不同的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为1，则有 $r > \sqrt{2} + 1$ D、若过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的切线只有一条，则切线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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9、已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l // n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l // n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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10、已知在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $B_{1} - B E F$ 的体积取最大值时，平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、过点 $P (1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）

A、4条 B、2条 C、3条 D、1条

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12、已知函数 $f (x) = \ln e^{2 x} - \ln x + a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上动点 $Q$ 到右焦点 $F$ 的距离最大值等于3．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点
①求动点 $M$ 的轨迹方程；
②求线段 $|M Q|$ 的长度的取值范围．

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14、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，侧棱 $A A_{1}$ 上点 $E, F$ 满足 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $P E / /$ 平面 $B_{1} C F$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A F = \frac{2}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B_{1} C F$ 所成角的正弦值．

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15、已知数列{a_n}，其前n项和记为S_n ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $a_{n} + 2 = S_{n + 1} - S_{n}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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16、已知数列 $\{a_{n}\} ，$ 满足 $a_{n} = \frac{1 + a_{n - 1}}{1 - a_{n - 1}} ，$ 若 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 表示 $a_{n}$ 的前n项和，则 $S_{2025} =$ .

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17、在 ${(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为．

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ ， D为边BC的中点，则（）

A、 $C \in (0, \frac{π}{2})$ B、 $C A = C B$ C、 $A D > \frac{3}{2}$ D、 $∠ C A D$ 最大时， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $t$ 的值为3，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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20、设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆E上点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 和直线 $P F_{2}$ 分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若 $\frac{|F_{1} A|}{|F_{2} B|} = \frac{2}{3}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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