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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $E$ 的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线 $l$ 过点 $P (3, 0)$ 且与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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2、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，侧面 $D A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A D = D C$ ， $A B = B C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $F$ 是线段 $B D$ 上一点，当 $A F ⊥ B D$ 时，求平面 $F A C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B P //$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A A_{1} = A B = A C = 2$ ，求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C_{1} M N$ 所成角的正弦值．

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4、已知直线 $l : x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若圆 $O$ 上存在一点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 为菱形，则实数 $a$ 的值是.

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5、曲线 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1 (m \neq \pm 2)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的一个取值为.

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6、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = a (a > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 9 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则 $a =$ ，直线 $l$ 的方程为.

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7、两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : 2 x - 2 y - 3 = 0$ 之间的距离是.

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8、椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ 的长轴长为，焦点坐标分别为.

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9、蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ ， $B$ 为椭圆 $E$ 上任意两点，动点 $P$ 在直线 $x - \sqrt{3} y - 8 = 0$ 上.若 $∠ A P B$ 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{7})$ B、 $(0, \frac{6}{7})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{21}}{7})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{42}}{7})$

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10、已知直线 $l_{1} : x - λ y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 4 y + 7 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、经过点 $(1, - 1)$ 且倾斜角为45°的直线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 2 = 0$

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12、已知 $f (x) = x - \frac{a}{x^{3}} + b x^{2} (a, b \in R)$ 为奇函数，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $g (x) = f (x) + x$ ，满足 $g (1 - a) > g (3 a - 2)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量 $y$ （台）与销售单价 $x$ （元）之间的关系近似满足一次函数 $y = - 10 x + 500$ .

(1)、设每月获得的利润为 $W$ （元），写出 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少?

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14、（1）比较代数式 $x^{2} + 5 x + 6$ 与 $2 x^{2} + 5 x + 9$ 的大小；
（2）若 $x > 3$ ，求 $x + \frac{1}{x - 3}$ 的最小值；
（3）已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{1 + x}{x y}$ 的最小值，此时 $x$ 为何值.

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15、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x |2 x - 1 > 0\}$

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、求 $∁_{U} (A \cup B)$ .

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16、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ ${\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{x}}, x < A \\ \frac{c}{\sqrt{A}}, x \geq A \end{cases}$ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是．

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17、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} - 2$ 的定义域为.

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty), f (x) + f (y) = f (x y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (f (2)) < 1$ C、 $f (x)$ 是增函数 D、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 1$

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19、下列说法正确的是（）

A、“ $x > 2$ ”是“ $x > 1$ ”的充分不必要条件 B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、不等式 $x^{2} - 4 x + 4 > 0$ 的解集为 $R$ D、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ 是同一函数

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20、下列函数中，是偶函数的有（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = |x|$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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