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相关试卷

1、 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ .

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2、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 3 C D$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 30 °$ .若梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（）

A、 $38 π$ B、 $48 π$ C、 $128 π$ D、 $208 π$

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3、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，其图象距离 $y$ 轴最近的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{12}$ ，最近的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象在区间 $[- \frac{11 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 内有 $2$ 个对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，离心率为 $2$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1, m)$ 到其焦点的距离为 $4$ .若双曲线的一条渐近线与直线 $A M$ 平行，则双曲线的方程为( )

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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5、函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 零点所在的大致区间为 $(n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、下列结论中错误的是（）

A、在回归模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大，则回归拟合的效果越好 B、样本数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{9} + 1$ 的方差为8，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{9}$ 的方差为2 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.6$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ D、具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，其经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点中心为 $(m, 3)$ ，则 $m = - 5$

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7、函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象是

A、 B、 C、 D、

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8、设 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $\sin α = \sin β$ ”是“ $α + β = π$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x | y = ln (x - 2)\}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $R$

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10、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq k (x - 1) - \frac{1}{2} (a \leq 0)$ ，求 $a$ 与 $k$ 的数量关系；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ .

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l : x = 8$ 与 $C$ 在第一象限交于点 $A$ ， $| A F | = 10$ .

(1)、求p的值.

(2)、设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上.
①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.
②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = C B = 2$ ， $P A = P D$ ， $∠ A D C = ∠ A P D = 90 °$ ， $F$ 是 $A P$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(2)、证明： $B F //$ 平面 $P C D$ ．

(3)、求直线 $B F$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值．

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13、对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.

(1)、求这4联可以凑成甲对联的概率；

(2)、记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2 n} = 0$ ， $S_{2 n - 1} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} | x - a |$ ，若 $\forall x \in [1, 2]$ ， $f (x) \geq 2$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线和圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ .

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18、如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（）

A、平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C E$ B、平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D$ C、该几何体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、存在球 $O$ ，使得该几何体的顶点都在球 $O$ 的球面上

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} - x^{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 1]$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $f (x) > 1$ D、 $f (x)$ 恰有1个零点

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20、在下列区间中，函数 $f (x) = \frac{2}{\sin x}$ 单调递增的是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2}, π)$ C、 $(π, \frac{3π}{2})$ D、 $(\frac{3π}{2}, 2 π)$

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