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相关试卷

1、在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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2、复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立．

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元，求8局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D$ ⊥ $A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A P = 3$ ， $A B = 1$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A D$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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5、口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ ，期望 $E (X) =$ ．

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6、若命题 $\exists x \in (0, + \infty), x^{2} + a x + 1 < 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、点E到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、若 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ ，则F是棱AD的中点 C、若 $E F ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，则F是AC上靠近C的三等分点 D、若F在棱AB上运动，则点F到直线 $B_{1} E$ 的距离最小值为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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8、如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ ，用 $X$ 表示小球落入格子的号码，则下列正确的是（）

A、 $P (X = 4) = \frac{1}{4}$ B、 $P (X = k) \leq P (X = 3)$ $(k = 1, 2, 3, 4, 5)$ C、 $E (X) = 2$ D、 $D (X) = 1$

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9、设函数 $f (x) = (x - a - b) (ln x - 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{8}{e}$ B、 $8e$ C、 $9e$ D、 $\frac{9}{e}$

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10、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = 90^{°} ， ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60^{°}$ ， $A B = 1, A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则棱 $A_{1} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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11、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角 C、若直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$ D、若空间向量 $\vec{a} = (1,0,1), \vec{b} = (0,1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $（ 0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ）$

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12、随机变量 $X ~ B (2, p)$ ， $Y ~ N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1) = 0.36$ ， $P (1 < Y < 3) = p$ ，则 $P (Y > 3) =$ （）

A、 $0.1$ B、 $0.2$ C、 $0.3$ D、 $0.4$

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13、设样本空间 $Ω = \{1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ ，且每个样本点是等可能的，已知事件 $A = {1, 2, 3},$ $B = {1, 3, 4},$ $C = {2, 3, 4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、事件A与B为互斥事件 B、事件 $A, B, C$ 两两独立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (A ∣ C) = P (C ∣ A)$

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14、已知 $p : x + y > 2$ ， $x y > 1$ ； $q : x > 1$ ， $y > 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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15、下列求导正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = \frac{2^{x}}{ln 2}$ B、 ${(cos \frac{π}{4})}^{'} = - sin \frac{π}{4}$ C、 ${(x ln x)}^{'} = ln x + 1$ D、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{x - 1}{e^{x}}$

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x \in N |2 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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17、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $A (2, 3)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；

(3)、过点 $F_{2}$ 且斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{2} + k_{3} - λ k_{1}$ 为定值?若存在，求出 $λ$ 及该定值；若不存在，请说明理由.

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18、为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ /分
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且 $∑_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ .

(1)、求 $\bar{x}$ ；

(2)、若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用 $X$ 表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 $[43, 82]$ 的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望.
附：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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19、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B // D C$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = D C = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} N //$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求直线 $D_{1} N$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离；

(3)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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20、已知函数 $f (x) = sin (2 x + θ)$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .设 $P (1, \sqrt{3})$ 为角 $α$ 终边上的一点，求 $g (2 α)$ .

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序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ /分	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80