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相关试卷

1、平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，则下列正确的是( )

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | < | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

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2、 $△ A B C$ 中，已知 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是( )

A、三边互不相等的三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、顶角为钝角的等腰三角形

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3、已知三棱锥 $P - A B C$ 的三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P C = \sqrt{3}$ ， $P B = \sqrt{2}$ ，则此三棱锥外接球的体积为( )

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $8 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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4、侧面积为 $2 π$ 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )

A、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $2$ D、 $1$

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5、向量 $\vec{a} = (6,2)$ 在向量 $\vec{b} = (2, - 1)$ 上的投影向量为( )

A、 $(2, - 1)$ B、 $(1, - \frac{1}{2})$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(3,1)$

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6、对于两条不同的直线 $m$ ， $n$ 和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，以下结论正确的是( )

A、若 $m \subset α$ ， $n / / β$ ， $m$ ， $n$ 是异面直线，则 $α$ ， $β$ 相交 B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $n / / α$ ，则 $n / / β$ C、若 $m \subset α$ ， $n / / α$ ， $m$ ， $n$ 共面于 $β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α$ ， $β$ 不平行，则 $m$ ， $n$ 为异面直线

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7、已知向量 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (t + 2,1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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8、复数 $1 - i$ 的虚部为( )

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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9、如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点， $A B = 3, A D = 2$ ．

(1)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 ⩽ λ ⩽ 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(2)、若 $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．

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10、在 $△ A B C$ 中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c ，已知 $b s i n C = \sqrt{3} a - \sqrt{3} c c o s B$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $a + b = 2$ ，求边长 $c$ 的取值范围；

(3)、若 $c = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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11、如图，AB是圆柱 $O O^{^{'}}$ 的一条母线，BC过底而圆心O ， D是圆 $O$ 上一点．已知 $A B = B C = 5, C D = 3$ ，

(1)、求该圆柱的表面积；

(2)、求 $△ A C D$ 的三边绕母线AB所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积 $V$ ．

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (x, 3), \vec{c} = (y, 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的大小．

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13、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{Z}$ 是 $Z$ 的共轭复数．

(1)、若 $(1 + 2 i) \bar{Z} = 4 + 4 i - i^{2021}$ ，求复数 $Z$ 和 $| z |$ ；

(2)、若复数 $z_{1} = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值．

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14、若 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $1 \leq | z + 1 + i | \leq \sqrt{2}$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为.

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15、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 中，已知 $\vec{a} = (4, - 3), | \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为，向量 $\vec{b}$ 的坐标为.

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16、在正四面体ABCD中，若 $A B = 2, M$ 为BC的中点，下列结论正确的是（）

A、正四面体外接球的表面积为 $6 π$ B、正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ C、如果点 $P$ 在线段DM上，则 $(A P + C P)^{2}$ 的最小值为 $4 + \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、正四面体ABCD内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD上，上底圆面与面ABD、面ABC、面ACD均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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17、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为a，b，c ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = \sqrt{10}, b = 2, c = 3$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}, B = 4 5^{°}$ ，则 $A = 6 0^{°}$ D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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18、已知 $i$ 是虚数单位，在复平面内，下列说法正确的是（）

A、 $- i^{2} = 1$ B、 $(- i)^{2} = 1$ C、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$ D、若复数 $z$ 满足 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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19、窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内．如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上，下边与正八边形的上、下边平行，边长都是4．如图2，A，B是中间正方形的两个相邻的顶点， $P$ 是外框正八边形上的一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值是（）

A、 $16 + 8 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2} + 8$ C、 $8 \sqrt{2} + 8$ D、 $16 \sqrt{2} + 16$

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20、已知圆锥的底面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $9 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$

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