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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} - 1| = 2$ ，求 $|z_{1} - z|$ 的最值．

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} =2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是．

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3、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是空间中两个不共线的向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $A, B, D$ 三点共线，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $- 4$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B} = 2 \sqrt{6}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 6$ .

(1)、求证： $a + b = \frac{\sqrt{2}}{2} a b$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} B M$ 与底面 $A B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} B M$ ；

(2)、证明： $l ∥$ 平面 $A_{1} M C$ ．

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (1, - 2)$

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $k$ 的取值范围.

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8、下列结论正确的是（）

A、在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，直线BD₁与B₁C是异面直线 B、不共面的四点可以确定4个平面 C、圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍 D、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

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9、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 为实数 B、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $|z_{1} - 2 + i|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ C、 $|z_{2} \bar{z_{1}}| = |z_{2} z_{1}|$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$

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10、已知点G为三角形ABC的重心，且 $|\vec{G A} + \vec{G B}| = |\vec{G A} - \vec{G B}|$ ，当 $∠ C$ 取最大值时， $\cos C =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11、已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，则该三棱柱的侧棱长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知 $(3 + i) z = i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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13、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立．

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元，求8局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D$ ⊥ $A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A P = 3$ ， $A B = 1$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A D$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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15、口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ ，期望 $E (X) =$ ．

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16、若命题 $\exists x \in (0, + \infty), x^{2} + a x + 1 < 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、点E到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、若 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ ，则F是棱AD的中点 C、若 $E F ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，则F是AC上靠近C的三等分点 D、若F在棱AB上运动，则点F到直线 $B_{1} E$ 的距离最小值为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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18、如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ ，用 $X$ 表示小球落入格子的号码，则下列正确的是（）

A、 $P (X = 4) = \frac{1}{4}$ B、 $P (X = k) \leq P (X = 3)$ $(k = 1, 2, 3, 4, 5)$ C、 $E (X) = 2$ D、 $D (X) = 1$

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19、设函数 $f (x) = (x - a - b) (ln x - 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{8}{e}$ B、 $8e$ C、 $9e$ D、 $\frac{9}{e}$

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = 90^{°} ， ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60^{°}$ ， $A B = 1, A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则棱 $A_{1} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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