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相关试卷

1、已知指数函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(- 1, \frac{1}{3})$ .

(1)、若 $f (a) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x - 1) > f (- x)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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2、函数 $y = \frac{2}{x + 1}$ 在 $[2, 3]$ 上的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3、已知集合 $A = \{x | x - 2 > 0\}, B = \{x | 2^{x} - 2 \geq 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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4、如图（1），平面四边形 $A B C D$ 由正三角形 $A B D$ 和等腰直角三角形 $B C D$ 组成，其中 $B D = 2$ ， $∠ B D C =90 °$ ．现将三角形 $A B D$ 绕着 $B D$ 所在直线翻折到三角形 $P B D$ 位置（如图（2）），且满足平面 $P B D ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ \vec{P D} (λ \in (\frac{1}{2}, 1))$ ，当平面 $B C Q$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{31}}{31}$ 时，求 $λ$ 的值．

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5、如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $C C_{1} = 3$ ， $C D = 2$ ，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = 60 °$ .
（1）设 $\overset{⃑}{C D} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{C C_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，试用 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ 表示 $\overset{⃑}{A_{1} C}$ ；
（2）已知 $O$ 为四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心（体对角线中点），求 $O C$ 的长.

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6、已知 $\vec{a} = (3, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 2)$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、当 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ 时，求实数k的值．

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7、某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为 $α$ 、 $β$ ，则 $tan α + tan β$ 的最小值为.

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8、如图，某圆柱体的高为 $1$ ， $A B C D$ 是该圆柱体的轴截面.已知从点 $B$ 出发沿着圆柱体的侧面到点 $D$ 的路径中，最短路径的长度为 $5 \sqrt{2}$ ，则该圆柱体的侧面积是.

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 3, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上投影向量的坐标是．

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10、.如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使点 $A$ ， $C$ 之间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，若 $P, Q$ 分别为直线 $B D, C A$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、无论P运动到哪， $∠ A P D$ 都是锐角 B、线段 $P Q$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ D、当 $P, Q$ 分别为线段 $B D, C A$ 的中点时， $P Q$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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11、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足 $A B = B C = A D = B D = C D = \sqrt{2} dm$ ，二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该足球的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{42} π}{27} {dm}^{3}$ B、 $\frac{35 \sqrt{2} π}{27} {dm}^{3}$ C、 $\frac{14 π}{27} {dm}^{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2} π}{27} {dm}^{3}$

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12、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $A D_{1} //$ 平面 $B O C_{1}$ B、 $B D ⊥$ 平面 $C O C_{1}$ C、 $C_{1} O$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、三棱锥 $C - B O C_{1}$ 的体积为 $\frac{2}{3}$

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13、如图：已知正四面体 $A B C D$ 中E在棱 $C D$ 上， $E C = 2 D E$ ， G为 $△ A B C$ 的重心，则异面直线 $E G$ 与 $B D$ 所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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14、已知直线 $m, n$ 与平面 $α, β, γ$ ，则能使 $α ⊥ β$ 成立的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $m // α$ ， $m // β$ C、 $m // α$ ， $m ⊥ β$ D、 $m ⊥ n$ ， $α \cap β = m$ ， $n \subset β$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数， $f (1) = \frac{5}{2}$

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 (2 \leq x \leq 3)$ 的值域.

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16、集合 $A = \{x | (x - a) (x - 2) < 0\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ .

(1)、 $R$ 是实数集，若 $a = - 3$ ，求 $(∁_{R} A) \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ x (x - 2), x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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18、下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x} = - [(- x) + \frac{1}{- x}] \leq - 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 取等，解得 $x = - 1$ 或 $1$ ，又由 $x < 0$ ，所以 $x = - 1$ ，故 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最大值是 $- 2$ . B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{2}{x - 1} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{2}{x - 1}}$ ，当且仅当 $x = \frac{2}{x - 1}$ 取取等，解得 $x = - 1$ 或 $2$ ，又由 $x > 1$ ，所以 $x = 2$ ，故 $x > 1$ 时， $x + \frac{2}{x - 1}$ 的最小值为 $4$ . C、由于 $x^{2} + \frac{9}{x^{2} + 4} = x^{2} + 4 + \frac{9}{x^{2} + 4} - 4 \geq 2 \sqrt{(x^{2} + 4) \cdot \frac{9}{x^{2} + 4}} - 4 = 2$ ，当且仅当 $x^{2} + 4 = \frac{9}{x^{2} + 4}$ 取等，故 $x^{2} + \frac{9}{x^{2} + 4}$ 的最小值是 $2$ . D、当 $x, y > 0$ ，且 $x + 4 y = 2$ 时，由于 $2 = x + 4 y \geq 2 \sqrt{x \cdot 4 y} = 4 \sqrt{x y}$ ， $∴$ $\sqrt{x y} \leq \frac{1}{2}$ ，又 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = \frac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$ ，当且仅当 $x = 4 y$ ， $x = y$ 取等，故当 $x, y > 0$ ，且 $2 = x + 4 y$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $4$ .

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19、下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中， $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b < 0$

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20、若 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 a x + a, x < 0 \\ (a - 3) x + 1, x \geq 0 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则（）

A、 $0 \leq a \leq 3$ B、 $0 \leq a < 3$ C、 $1 \leq a \leq 3$ D、 $1 \leq a < 3$

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