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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为a，b，c，且 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ ，则此三角形的最大角与最小角之和为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A B = \sqrt{6}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B O} + \vec{C B} \cdot \vec{B O} =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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3、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，其底面 $A B C D$ 水平放置时的斜二测画法直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为平行四边形，如图所示，已知 $A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'} = 3$ ， $A^{'} D^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、12

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4、已知平面向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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5、某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（）

A、25 B、30 C、35 D、50

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6、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + \sqrt{3} i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{a x}}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $x_{1} + x_{2} = 4$ 且 $0 < x_{1} < 2$ ，比较 $f (x_{1})$ 与 $f (x_{2})$ 的大小，并说明理由

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8、有 $n^{2} (n \geq 4)$ 个正数，排成n行n列的数表：其中 $a_{i j}$ 表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知 $a_{24} = 1$ ， $a_{42} = \frac{1}{8}$ ， $a_{43} = \frac{3}{16}$ .
$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \dots & a_{3 n} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & \dots & a_{4 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & a_{n 4} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

(1)、求公比.

(2)、求 $a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}$ .

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9、如图，P为圆锥的顶点， $A C$ 为圆锥底面的直径， $△ P A C$ 为等边三角形，O是圆锥底面的圆心． $△ A B D$ 为底面圆O的内接正三角形，且边长为 $2 \sqrt{3}$ ，点E为线段 $P C$ 中点．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、M为底面圆O的劣弧 $A B$ 上一点，且 $∠ A C M = 30 °$ ．求平面 $A M E$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值．

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $4 \sin B - 4 \sin C$ 的取值范围．

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11、已知四面体 $A - B C D$ ，其中 $A D = B C = 2$ ， $C D = A B = \sqrt{5}$ ， $A C = B D = \sqrt{7}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为；四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} S_{n + 1} + S_{n + 1} = 3$ ， $a_{1} = α (0 < α < 1)$ ，则（）

A、当 $0 < α < \frac{\sqrt{13} - 1}{4}$ 时， $a_{2} > a_{1}$ B、 $a_{3} > a_{2}$ C、数列 $\{S_{2 n - 1}\}$ 单调递增， $\{S_{2 n}\}$ 单调递减 D、当 $α = \frac{3}{4}$ 时，恒有 $\sum_{k = 1}^{n} |S_{k} - 1| < \frac{5}{4}$

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13、已知 $x \geq 1$ ， $y > 1$ ，且 $x y = 4$ ，则（）

A、 $1 \leq x \leq 4$ ， $1 < y < 4$ B、 $4 \leq x + y \leq 5$ C、 $\frac{y}{x}$ 最大值为4 D、 $4 x + y^{2}$ 的最小值为12

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14、如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍， $A P ⊥ A Q$ ，则 $P Q =$ （）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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15、已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{k - 5} = 1$ ，则该双曲线的焦距是（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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16、如图，在正四面体 $A - B C D$ 中，棱长为 $2, E$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、已知 $F$ 为棱 $B C$ 上一点（不含端点）， $C F = x, M$ 为线段 $A F$ 上一动点， $N$ 为截面 $A B E$ 上一动点
（i）若存在 $M, N$ 使得平面 $F M N$ $/ /$ $B D$ ，求 $x$ 范围；
（ii）设 $C M + M N$ 的最小值为关于 $x$ 的函数 $f (x)$ ，求 $f (x)$ 值域.

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17、如图1，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起至 $△ B P D$ （如图2），且点 $E$ 为 $A P$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B P ⊥$ 平面 $B D E$ ：

(2)、若 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 9$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值.

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18、高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组 $[0, 20)$ ，第二组 $[20, 40)$ ，第三组 $[40, 60)$ ，第四组 $[60, 80)$ ，第五组 $[80, 100]$ ，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)、试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；

(2)、已知100名学生落在第二组 $[20, 40)$ 的平均成绩是32，方差为7，落在第三组 $[40, 60)$ 的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ ；

(3)、已知年级在第二组 $[20, 40)$ 和第五组 $[80, 100]$ 两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组 $[80, 100]$ 的概率．

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且 $2 A E = E B$ ．

(1)、若点F在棱PC上，是否存在实数 $λ$ 满足 $P F = λ F C$ ，使得 $B F //$ 平面PDE？若存在，请求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(2)、在第（1）问的条件下，当 $B F //$ 平面PDE时，求三棱锥 $P - D E F$ 的体积．

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20、已知函数 $f (x) = a \sin (π - x) \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求a的值和函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， AD为BC边上的中线，设 $∠ B A D = α$ ， $f (\frac{3}{4} α) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，请直接写出 $α$ 的值和BC的长.

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