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相关试卷

1、若 ${(x + 2)}^{n} = x^{n} + \dots + a x^{3} + b x^{2} + c x + 2^{n}$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 3$ ），且 $a : b = 3 : 2,$ 则 $n$ =.

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2、在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $∠ A B C =$ ．（结果用反三角函数值表示）

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3、一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是．

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4、某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
人数
36
72
64
172

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5、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $|f^{'} (x)| \leq 1$ 对任意 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的“一阶有界函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = e^{x}$ 是否为 $R$ 上的“一阶有界函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的“一阶有界函数”，且 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，设 $A$ ， $B$ 为函数 $f (x)$ 图象上相异的两点，直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，试判断“ $0 < k \leq 1$ ”是否正确，并说明理由；

(3)、若函数 $h (x) = e^{x} + a x^{3} - e x^{2} - (a - 1) x$ 为区间 $[0, 1]$ 上的“一阶有界函数”，求 $a$ 的取值范围．

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6、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3, 1)$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $P$ 的 $M, N$ 两点，且直线 $P M, P N$ 均不与 $x$ 轴垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M N = \sqrt{10}$ ，求 $M N$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M //$ 平面 $P C D$ ?若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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8、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sin^{2} x - \cos^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos α + \cos (α - \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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9、某学校食堂有 $A, B$ 两家餐厅，张同学第1天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ．从第2天起，如果前一天选择 $A$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；如果前一天选择 $B$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设他第 $n$ 天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值及 $P_{n + 1}$ 关于 $P_{n}$ 的表达式；

(2)、证明数列 $\{P_{n} - \frac{2}{3}\}$ 是等比数列，并求出 $\{P_{n}\}$ 的通项公式．

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10、函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x - 2 \ln x - \ln a (x > 0)$ 满足 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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11、如图，半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x < 0)$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > 0$ ， $b > c > 0$ .“果圆”与x轴的交点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得 $∠ A_{1} P A_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围为.

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为a、b、c， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点，满足 $B D = 1$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$ ．则 $4 a + c$ 的最小值为．

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13、设正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $S_{9} = S_{4} + q^{4} S_{5}$ B、若 $T_{2025} = T_{2020}$ ，则 $a_{2023} = 1$ C、若 $a_{1} a_{9} = 4$ ，则当 $a_{4}^{2} + a_{6}^{2}$ 取得最小值时， $a_{1} = \sqrt{2}$ D、若 ${(a_{n + 1})}^{n} > T_{n}^{2}$ ，则 $a_{1} < 1$

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14、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若复数 $z_{2}$ 满足 $z_{2} = \frac{5 i}{2 - i} + 5 i$ ，则 $z_{2}$ 在复平面对应的点是 $(- 1, 7)$ D、若 $z_{1} = - 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p = 8$

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15、椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，若椭圆上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $y = 3 x + m$ 对称，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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16、已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，点 $P$ 是圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $6 - \frac{\sqrt{10}}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = \sin^{4} ω x + \cos^{4} ω x - \frac{5}{8}$ 在 $(0, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $[\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ C、 $(\frac{8}{3}, \frac{16}{3}]$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{16}{3})$

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18、某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）

A、 $\frac{6}{25}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{2}{5}$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，若 $b_{n} = \frac{2}{n (a_{n} + 1)}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则（）

A、 $T_{n} < \frac{1}{2}$ B、 $T_{n} < 1$ C、 $T_{n} < 2$ D、 $T_{n} < \frac{1}{4}$

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20、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A E = 2 E B$ ， $D F = F C$ ，若 $\vec{C B} = \vec{m}$ ， $\vec{C E} = \vec{n}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{3}{2} \vec{n}$

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类别	老年教师	中年教师	青年教师	合计
人数	36	72	64	172