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相关试卷

1、马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $D$ 为棚顶， $O$ 是棚底地面的中心， $A E$ 为棚底直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $D O = 18$ 米，从支柱上的 $P$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $P A 、 P B 、 P C 、 P E$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $E$ 点沿着绳子 $P E$ 爬到 $P$ 点，再沿着 $P D$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $P A 、 P B 、 P C$ 中的某一根绳子上.

(1)、当 $P$ 点取在距离 $O$ 点 $3 \sqrt{6}$ 米处时，证明拉绳 $P A$ 所在直线和平面 $P B C$ 垂直；

(2)、经验表明当拉绳 $P E$ 所在直线和平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $P$ 点取在什么位置.

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2、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $E (\sqrt{2} ， 0), F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，则满足 $| P F | = \sqrt{2} | P E |$ 的动点P的轨迹记为圆 $D$ .

(1)、求圆 $D$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $C (4, - 2)$ 三点，点 $P$ 在圆 $D$ 上运动，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值与最小值之差.

(3)、直线 $y = k (x + 1)$ 与圆 $D$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $k_{M Q} + k_{N Q} = 0$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由；

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3、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D // B C$ ， $A F // B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ .

(1)、已知点G为 $A F$ 上一点， $A G = A D$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知点F到平面 $D C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $F D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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4、空间直角坐标系中，分别以 $\vec{a} = (3, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3, 1)$ 为邻边作一个平行四边形.

(1)、分别求这个平行四边形两条对角线的长；

(2)、求这个平行四边形的面积.

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5、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点Q为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ．以 $P Q$ 为直径的圆的圆心为点 $Q^{'}$ ，设圆Q与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 左边），则直线PA，PB的方程分别为，．

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6、如图，在四面体ABCD中， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，若 $A B = 3$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，则平面ABD与平面CBD的夹角为．

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7、已知直线 $l : m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 恒有两个不同的公共点 $A, B$ ，则下列叙述正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ C、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ D、当 $r = 4$ 时，圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离为2的点恰好有三个，则 $m = \frac{3}{4}$

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8、如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上．由椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ ．已知 $B F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|F_{1} B| = \frac{5}{3}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ．若透明窗 $D E$ 所在的直线与截口 $B A C$ 所在的椭圆交于一点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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9、由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 y$ 围成的图形的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π + 3$ D、 $3 π + 2$

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10、如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且 $|A B| = 2$ ， P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）

A、圆 B、射线 C、长轴为4的椭圆 D、长轴为2的椭圆

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11、四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， $\vec{B Q} = \vec{Q C}$ ，则 $\vec{P Q}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、已知定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M A| = 2 |M B|$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作两条互相垂直的直线 $l$ 与 $m$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，直线 $m$ 交曲线 $C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，求四边形 $E G F H$ 面积的最大值.

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面ABC上的投影为AC的中点D，且 $A B = 2$ ．

(1)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线DE与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ？若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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14、已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, 2)$ .

(1)、求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)、求四边形ABCD的面积.

(3)、求 $△ A B C$ 边AB上的高所在直线方程.

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15、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

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16、下列说法中，正确的有（）

A、直线 $3 x - y - 2 = 0$ 在y轴上的截距为-2 B、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° C、直线 $m x + y + 3 = 0$ (m∈R)必过定点(0，-3) D、点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $A M = M B, C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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18、对于定义在实数集 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，给出如下的三个定义：
①记 $f^{(1)} (x) = f (x)$ ， $f^{(2)} (x) = f (f (x))$ ， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x)))$ ， $\dots$ ， $f^{(n + 1)} (x) = f (f^{(n)} (x))$ ，其中 $n = 1, 2, 3, \dots$ .
②对任意的区间 $A \subseteq R$ ，记集合 $f^{(n)} (A) = \{f^{(n)} (x) ∣ x \in A\}$ ，并规定 $f^{(n)} (\emptyset) = \emptyset$ .
例如：若 $f (x) = x + 1$ ，则 $f^{(2)} ([1, 2]) = [3, 4]$ ；
③若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足对任意的区间 $I \subseteq R$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $f^{(k)} (I) \cap I \neq \emptyset$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

(1)、若函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ ，求 $f^{(2)} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = 4 x + 3$ ，求 $f^{(2)} ([- 1, 0])$ 并判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 0]$ 上的“2阶交汇函数”；

(3)、设 $a \in (0, 1)$ ，若 $f (x) = \{\begin{cases} x + (1 - a), x \leq a \\ x - a, x > a \end{cases}$ ，试证明对任意的区间 $I \subseteq (0, 1]$ ，总存在正整数 $k$ ，使得 $f (x)$ 为 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2 \times 3^{x}}{3^{x - 1} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) - m^{2} - 5 m > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需另外增加成本100元，公司每月生产量为 $x$ （单位：台），已知营业额 $R$ （单位：元）满足函数： $R = \{\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} - 15000, 0 \leq x \leq 200 \\ 170000 - \frac{25000000}{x}, x > 200 \end{array}$

(1)、将每月投入的总成本 $Q$ 表示为月产量 $x$ 的函数；

(2)、将每月利润 $P$ 表示为月产量 $x$ 的函数（利润=营业额-总成本）；

(3)、当月产量 $x$ 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？

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