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相关试卷

1、如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2} = 2 {(\vec{A C})}^{2}$ B、 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的投影是线段 $B D$ 的中点 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于 $45^{\circ}$ D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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2、（多选）下列命题中，真命题的是（）

A、数据 $12 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 23 ， 27 ， 30$ 的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量 $y$ 与 $x$ 成负相关 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、在线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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3、已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{3 a + 1}{a} = 3^{a} - a$ ， $\frac{4 b + 1}{b} = 4^{b} - b$ ， $\frac{5 c + 1}{c} = 5^{c} - c$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 4, a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{8} = 16$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为

A、2 B、4 C、8 D、16

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5、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，侧面 $P A D$ 为等边三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内运动，且满足 $M P = M C$ ，则点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内的轨迹一定是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知 $△ A B C$ 满足 $| \vec{B C} | (\vec{B A} \cdot \vec{A C}) = | \vec{B A} | (\vec{B C} \cdot \vec{C A})$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 18 < 0\} ， B = \{- 2, 0, 2, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2, 6\}$

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8、若存在 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的次不动点.已知函数 $f (x) = a - a |2 x - 1|$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $\frac{2}{3}$ 是否为函数 $f (x)$ 的次不动点，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个次不动点 $x_{1}$ ， $x_{2}$
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）若对任意 $x \in R$ ， $f (f (x)) \leq f (f (x_{3}))$ ，且 $x_{3} < \frac{1}{2}$ ， $P (x_{1}, f (f (x_{1}))), Q (x_{2}, f (f (x_{2}))), R (x_{3}, 0)$ ，求 $△ P Q R$ 面积的取值范围．

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9、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 3^{x} + 3^{- x} + \log_{2} \frac{2 - x}{2 + x}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $m$ 的不等式 $g (m^{2} - 1) < g (m + 1)$ 的解集；

(3)、存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in [0, a] (0 < a < 2)$ 满足 $5 |g (x_{1}) - f (x_{2})| < 3 f (x_{3})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求方程 $g (x) = 1$ 在区间 $[0, π]$ 上所有实根的和.

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11、如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米.

(1)、若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时 $x$ ， $y$ 的值．

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12、已知 $\tan α = 2$ ， $α$ 为锐角．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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13、以 $\max \{a, b, c\} (a, b, c \in R)$ 表示集合 $\{a, b, c\}$ 中最大的数，设 $0 < x < y < z < 1$ ，已知 $y \geq 3 x$ 或 $3 x + y \leq 1$ ，则 $\max \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最小值为.

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14、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 有两个实数根，一个根比 $1$ 小，另一个根比 $1$ 大，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15、已知扇形的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的弧长为.

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16、已知 $f (x) = \sin 3 x - \sin 2 x$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的两个零点，则（）

A、 $\sin x_{1} \cdot \sin x_{2} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\cos x_{1} \cdot \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$ C、 $\sin x_{1} + \sin x_{2} < \frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

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17、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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18、已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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19、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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20、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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