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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - ln x$ 在区间 $(1, 4)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（ $π$ 取 $3$ ）

A、8cm B、12cm C、16cm D、24cm

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3、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4、已知集合 $A = {x | - 6 < x^{2} < 6}$ ，集合 $B = \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且点 $A (4, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $∠ P A Q$ 的平分线与 $x$ 轴垂直，求证： $l$ 的倾斜角为定值.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a (2 - cos B) = b (1 + cos A)$ .

(1)、证明： $b + c = 2 a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ，证明 $△ A B C$ 为等边三角形.

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7、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上的动点，点 $A (1, - 1)$ ，则 $\frac{|P F|}{|P A|}$ 取最小值时，直线 $P A$ 的斜率为.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} + 1, x \leq 1, \\ - {log}_{2} (x + 1), x > 1, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2}))$ 的值为.

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且满足 $B P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B P ⊥ B_{1} D$ B、点 $P$ 的轨迹长度为 $π$ C、线段 $B P$ 长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知函数 $f (x) = cos x - sin (cos x) - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上为增函数 D、 $f (x) < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、已知 $A$ ， $B$ 为随机事件，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.2$ C、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.7$ D、若 $P (B ∣ A) = 0.5$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = 0.3$

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12、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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13、若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x + b y - 2 = 0$ 对称，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{5}$

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14、已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{14}{3}, \frac{20}{3})$ B、 $[4, \frac{16}{3})$ C、 $[4, \frac{22}{3}]$ D、 $[4, \frac{22}{3})$

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则“ $a_{5} = 2$ ”是“ $a_{9} = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - a x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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17、已知圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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18、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $|a + b i| =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{29}$

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19、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 > 0\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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20、已知 $N (N \geq 3)$ 项数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ ，对于给定 $i (i = 1, 2, \dots, N)$ ，定义变换 $f_{i}$ ：将数列 $A$ 中的项 $a_{i}$ 替换为 $t$ ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 $f_{i} (A)$ ．其中，当 $i = 1$ 时， $t = \frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ ；当 $2 \leq i \leq N - 1$ 时， $t = \frac{a_{i - 1} + a_{i} + a_{i + 1}}{3}$ ；当 $i = N$ 时， $t = \frac{a_{N - 1} + a_{N}}{2}$ ．若将数列 $f_{i} (A)$ 再进行上述变换 $f_{j} (j = 1, 2, \dots, N)$ ，记得到的新数列为 $f_{j} f_{i} (A), \dots$ ，重复操作，得到数列 $f_{k} \dots f_{j} f_{i} (A) (k = 1, 2, \dots, N)$ ，并称 $f_{i}$ 为第一次 $f$ 变换， $f_{j}$ 为第二次 $f$ 变换，⋯．

(1)、若数列 $A$ ： $1, - 1, 3, - 4$ ，求数列 $f_{2} (A)$ 和 $f_{1} f_{2} f_{2} (A)$ ；

(2)、设 $A$ 为递增数列，对 $A$ 进行有限次 $f$ 变换后得到数列 $B$ ．证明： $B$ 为递增数列；

(3)、当第 $m (m \in N^{*})$ 次 $f$ 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 $ω_{m} = 1$ ；否则 $ω_{m} = 0$ ．对于给定的 $N$ 项数列 $A$ ，进行2025次 $f$ 变换，证明： $ω_{1} + ω_{2} + \dots + ω_{2025} \leq N - 1$ ．

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