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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}, | \vec{b} | = 2$ ，若对任意 $x \in R$ ，恒有 $| \vec{b} + x \vec{a} | \geq | \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} |$ ，则函数 $| t \vec{b} - \vec{a} | (t \in R)$ 的最小值为．

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2、已知 $△ A B O$ 的面积为4，右图是 $△ A B O$ 的直观图，已知 $O^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} ∥ y^{'}$ 轴，过 $A^{'}$ 作 $A^{'} C^{'} ⊥ x^{'}$ 轴于 $C^{'}$ ，则 $A^{'} C^{'}$ 的长为．

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3、在 $△ A B C$ 中，下列说法正确的有（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n B > c o s A$ C、若 $a^{2} t a n B = b^{2} t a n A$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，且 $A B = 3, A C = 5, c o s C = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ 或 $\frac{60 \sqrt{3}}{49}$

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4、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则（）

A、 $\bar{z} = - 1 - i$ B、 $| z | = \sqrt{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = 2$ D、 $z^{2} = 2 - 2 i$

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5、小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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6、如图所示，已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线与 $A B, A C$ 两边分别交于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{x y}{x + y}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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7、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、 $π$

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8、向量 $\vec{a} = (3, 1)$ 在向量 $\vec{b} = (2, - 1)$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(1, - \frac{1}{2})$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(3, 1)$

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9、下列说法错误的是（）

A、经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C、若 $a, b$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，且 $a \subset α, b \subset β$ ，则 $a, b$ 是异面直线 D、若直线 $a$ 不平行于平面 $α$ ，且 $a ⊄ α$ ，则 $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = \frac{π}{3}, A C = 7, B C = 8$ ，则 $A B =$ （）

A、3 B、4 C、3或5 D、4或5

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11、已知向量 $\vec{a} = (4, k), \vec{b} = (2, - 1), \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 8$ D、8

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12、复数 $z = 3 - 5 i$ 的虚部是（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $5 i$ D、 $- 5 i$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{6}{x}$ ， $g (x) = x^{2} + 1$ ，

(1)、求 $f [g (x)]$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的不等式 $f [g (x)] \geq k - 7 x^{2}$ 的解集为 $R$ ，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $f [g (x)] > \frac{a}{x}$ 的解集中的正整数解恰有3个，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、在锐角三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} (a c o s C + c c o s A) = 2 b s i n B$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围．

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15、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长都为2， $D$ 和 $E$ 分别是 $B B_{1}$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D E ∥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，点 $B$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $D - A B C_{1}$ 的体积．

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $A C$ 上， $\vec{P C} = 2 \vec{A P}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{B C} | = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $\vec{B P}$ 的模；

(2)、求向量 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B P}$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在边 $A B$ 上，求 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的范围．

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17、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $| z_{1} - 1 | = 2$ ，求 $| z_{1} - z |$ 的最值．

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18、如图所示，为了测量某座山的山顶 $A$ 到山脚某处 $B$ 的距离（ $A B$ 垂直于水平面），研究人员在距 $D$ 研究所 $200 m$ 处的观测点 $C$ 处测得山顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，山脚 $B$ 的俯角为 $15 °$ ．若该研究员还测得 $B$ 到 $C$ 处的距离比到 $D$ 处的距离多 $80 m$ ，且 $∠ B C D = 60 °$ ，则 $A B =$ ．

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19、已知圆锥的底面圆周在球 $O$ 的球面上，顶点为球心 $O$ ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球 $O$ 的表面积为．

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20、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、记 $C_{1} D_{1}$ 的中点为 $N$ ， $C C_{1}$ 上存在一点 $P$ ，使得面 $N P B_{1} ∥$ 面 $B E A_{1}$ B、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{3}$ C、三棱锥 $B_{1} - D_{1} E F$ 体积的最小值为 $\frac{1}{3}$ D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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