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相关试卷

1、设函数 $f (x) = x \ln x - a (x^{2} - 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知公差不为零的正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 1) e^{x - 2}$ ，且 $f^{'} (2) = 4$ .

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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4、已知在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 $\frac{2}{5}$ .

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项；

(3)、求展开式中的有理项.

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5、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{4} f (3 x - 4) > e^{2 x} f (x)$ 的解集为.

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6、设 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ ．

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7、对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 既没有最大值也没有最小值 C、若方程 $f (| x |) = k$ 有4个不等的实数根，则 $k > e$ D、设 $g (x) = | f (x) | - 2 k + 1$ 有3个不同的零点，则 $k > \frac{e + 1}{2}$

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8、现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（）

A、五位学生去实习的不同安排方案有125种 B、若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C、若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D、若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种

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9、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各项系数之和为 $1$ B、二项式系数之和为 $32$ C、展开式中二项式系数最大的项是第 $4$ 项 D、展开式中第 $5$ 项为常数项

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10、中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{30}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11、已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{3 x - 4}$ ，则 $C_{7}^{x} =$ （）

A、7 B、21 C、35 D、42

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12、已知（i，j，k)是 1，2，3的一个排列，对函数 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x),$ 对于任意x∈I，都有 $f_{1} (x) \leq f_{i} (x)$ 且 $f_{1} (x) + f_{2} (x)$ $\leq f_{i} (x) + f_{j} (x),$ ，则称（i，j，k)是关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的一个I排列，关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的I排列总数记为n_I.

(1)、对 $I = [3, + \infty), f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 0, f_{3} (x) = x^{2} + 1,$ 判断（3，1，2)是否为I排列?

(2)、对 $I = (0, + \infty) f_{1} (x) = x - 1, f_{2} (x) = x + m, f_{3} (x) = x^{2}$ 满足条件的 np=6，求m的取值范围?

(3)、对x∈[0，+∞)，且对任意x∈[0，+∞)，0<F（x)<1，令 $I = [a, + \infty), f_{1} (x) = F (x),$ $f_{2} (x) = \frac{1}{2} (F (x + a) + F (x - a)), f_{3} (x) = 1 - e^{- x},$ 证明：若F（x)严格减，则存在a>0，使 $n_{I} \geq 4$ ；若F（x)严格增，则存在a∈（0，1)， $n_{I} \neq 2$ ；

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13、已知双曲线 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1,$ P为 $Γ$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点.

(1)、求点（2，0)到 $Γ$ 渐近线的距离；

(2)、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 1,$ 求△PF₁F₂的面积；

(3)、设 $Ω : x^{2} - y^{2} = 1,$ 其中 ${\begin{matrix} x < 0 \\ y \leq - 1 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{cases} x ＞ 0 \\ y \geq - 1 \end{cases}$ ，过点F₂的直线l交Ω于P、Q两点（分别位于一、四象限)，过点F₂直线m交Ω于M、N两点（分别位于三、四象限)，是否存在正数λ，对于任意的l，都存在唯一的m，使|MN|=λ|PQ|成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由.

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14、已知a∈R，函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3, g (x) = 4 x + \frac{1}{x^{2}}$

(1)、已知f（1）=4，求 $f (x) + \frac{1}{x^{2}} > g (x)$ 的解集；

(2)、a≠0，l₁是f（x)在点（0，3)处的切线，l₂是过点（0，3)且垂直于l₁的直线，g（x)与l₁、l₂在第一象限内均无公共点，求a的取值范围。

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15、如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PH⊥底面，AH=1，HD=4，AB=2.

(1)、证明：HC⊥PB；

(2)、若四棱锥体积 $V_{P - A B C D} = \frac{10 \sqrt{5}}{3},$ 求二面角C-PB-H的大小

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16、某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：
某颗粒物密度
101.02
87.02
57.46
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
51.84
53.2
9.16
6.6
4.4
3.31
3.35
3.86

(1)、为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少?

(2)、为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在（-1，0)，（0，1)，（1，2)哪个区间内?（直接写结论)

(3)、2023 年前 9 年的年份（x)的平均数为 2018，y（颗粒物密度)关于x（年份)的回归方程拟采用 $y = 106.544 e^{- 0.461 (x - 2014)},$ 或y=a（x-2014)+83.743.已知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.

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17、如图，在一个空间直角坐标系中，存在一个正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，A为坐标原点，将该正方体绕体对角线AC₁为旋转轴旋转一周，点C将经过（ )个卦限

A、1 B、3 C、4 D、7

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18、对于任意两个复数z，w，如果满足“z-w∈R”或“z- $w$ ∈R”，那么就称z与w伴随，如果z与w伴随，则w-i与z+i伴随的充要条件是（ )

A、Rez+ Rew=0 B、Rez-Rew=0 C、Imz+ Imw=0 D、Imz-Imw=0

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19、已知事件A、事件B为独立随机事件，事件C表示为事件A、B至少有一件发生，则 $C$ =（ )

A、A∩B B、A∪B C、 $A \cap B$ D、 $A \cup B$

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20、 a为不为1的任意实数，则 $a \cdot \sqrt[3]{a} =$ （）

A、 $a^{\frac{3}{2}}$ B、 $a^{\frac{4}{3}}$ C、 $a^{\frac{5}{2}}$ D、 $a^{\frac{5}{3}}$

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某颗粒物密度	101.02	87.02	57.46	21.85	11.76	8.86	5.03	4.63	3.86
二氧化硫密度	119.47	51.84	53.2	9.16	6.6	4.4	3.31	3.35	3.86