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相关试卷

1、已知实数 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，则 $x + \frac{y}{2}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ ， $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1)$ ， $(2, 3)$ D、 $(2, 3)$ ， $(3, + \infty)$

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3、已知命题 $p$ ： $a > b > c > 0$ ，命题 $q$ ： $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知a，b为正实数，则 $\sqrt{\frac{a^{3} \times b^{- 2}}{a^{- 1} \times b^{4}}}$ 可化简为（）

A、 $\frac{b^{3}}{a^{2}}$ B、 $\frac{a^{2}}{b^{3}}$ C、 $a^{2} b^{3}$ D、 $\frac{1}{a^{2} b^{3}}$

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5、已知集合 $S = \{x \in Z ||x| \leq 2\}$ ， $T = \{y |y \geq - 2\}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} \in S$ B、 $S \cap T = S$ C、 $\{- 1\} \in T$ D、 $S \cup T = S$

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6、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 5 x + 2 < 0$

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7、已知圆O经过 $A (2 \sqrt{2}, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (- \sqrt{2}, \sqrt{6})$ 三点．

(1)、求圆O的标准方程；

(2)、若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足 $\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{P H}$ ，求点Q的轨迹 $C_{1}$ 的方程；

(3)、设 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ，记M为在（2）的条件下得到的曲线 $C_{1}$ 上的动点，以线段 $M F_{1}$ 为直径作圆 $C_{2}$ ，请判断圆 $C_{2}$ 与圆O的位置关系，并说明理由．

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8、圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 关于直线 $y = 2 x - 1$ 的对称圆的方程为.

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9、某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线，设其焦点为 $M, N$ ，若 $P$ 为其图象上任意一点，则（）

A、 $y = - x$ 是它的一条对称轴 B、它的离心率为 $\sqrt{2}$ C、点 $(2, 2)$ 是它的一个焦点 D、 $||P M| - |P N|| = 2 \sqrt{2}$

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10、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的两个焦点， P 为 C 上一点，且△ $P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{2}{3} ，$ 若 P 在第一象限，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ = （）

A、 $\frac{25}{9}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{12}{5}$

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11、已知直线 $l : m x + y - m + 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则当 $|A B|$ 取最小值时， $m =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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12、双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $2 x \pm y = 0$ B、 $x \pm 2 y = 0$ C、 $4 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 4 y = 0$

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13、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，化简 $\vec{A B} + \vec{B D} - \vec{A C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{C_{1} B}$ B、 $\vec{B C_{1}}$ C、 $\vec{C_{1} D}$ D、 $\vec{D C_{1}}$

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14、直线 $x + y - 6 = 0$ 的倾斜角是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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15、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点 $C (\frac{1}{2}, y_{0}) (y_{0} < 0)$ 到焦点 $F$ 的距离为1，直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，已知 $O A ⊥ O B$ ：
（i）作 $O D ⊥ A B$ 垂足为 $D$ ，则是否存在定点 $Q$ ，使 $|D Q|$ 为定值？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）若 $Γ$ 在 $C$ 处的切线 $g$ 恰好平分直线 $A C$ 与 $B C$ 的夹角，求 $l$ 的方程.

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16、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ，且 $A B C D$ 与 $C D D_{1} C_{1}$ 是两个全等的等腰梯形，满足 $C D = 2 A B = 4, B C = \sqrt{5}$ .点 $E$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上，满足 $B_{1} C_{1} = 3 B_{1} E$ ，连接 $A_{1} C_{1}, D_{1} E$ 交于点 $F$ ，点 $G$ 为 $A C_{1}$ 的中点，连接 $F G$ .

(1)、证明： $F G / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求 $F G$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A C_{1}$ 上（不含端点）是否存在一点 $P$ ，使得平面 $D P D_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求出 $A P$ 的长；若不存在，请说明理由.

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17、点 $M$ 是圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 上的动点， $F_{2}$ 是点 $F_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，线段 $M F_{2}$ 的中垂线交线段 $M F_{1}$ 于点 $P$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .过 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于 $G, H$ 两点，设直线 $F_{2} G, F_{2} H$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $R, Q$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $R Q$ 过定点.

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18、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中 $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 120^{\circ}$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2, A A^{'} = 4$ ，点 $M$ 为 $D D^{'}$ 的中点.

(1)、求 $B M$ 的长；

(2)、已知 $E$ 为 $C C^{'}$ 上的动点，若 $A E ⊥ B M$ ，求 $C E$ 的长.

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19、已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上，且点 $A (1, 5), B (4, 2)$ 在圆 $M$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若斜率为2的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $D, E$ 两点，且 $|D E| = 4$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 以 $F_{2}$ 为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点 $A$ ，记 $λ = \frac{sin ∠ A F_{2} F_{1}}{sin ∠ F_{1} A F_{2}}$ ，若 $λ > \frac{7}{4}$ ，则椭圆的离心率取值范围是．

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