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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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2、（多选）以下四个命题中，是真命题的有（）

A、∀x∈R，x²－x＋1>0 B、“ $x > 2$ ”是“ $2 < x < 4$ ”的充分不必要条件 C、若命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ，则 $p$ 的否定为： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x} + f (x)$ ，其中 $g (x)$ 是奇函数且在 $R$ 上单调递减， $f (\log_{\frac{1}{2}} x) < f (2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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4、已知圆柱的高为2，侧面积为 $4 π$ ，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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5、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ，公差不为 $0$ .若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 前 $6$ 项的和为（）

A、 $- 3$ B、 $- 24$ C、 $3$ D、 $24$

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6、已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = x + 2 i$ （ $x \in R$ ），若 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 2$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{|x + 1|} - 1, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{cases}$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间（不需要说明理由）；

(2)、关于 $x$ 的方程 $|f (x)| = m$ 有四个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (| f (x) |) = n (n \neq 1)$ 的所有根中有两个正根分别为 $a$ ， $b$ ，证明： $a + b > 2$ ．

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R^{+}$ ，对任意的 $a, b \in R^{+}$ ，都有 $f (a) + f (b) = f (a b)$ ．当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、求 $f (1)$ 的值，并证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、对于任意的 $x \in [2, 3]$ ，不等式 $f (4^{x} - 5) \geq f (m \cdot 2^{x})$ 恒成立，试求常数 $m$ 的取值范围．

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9、已知角 $α$ 顶点为原点且始边在 $x$ 轴非负半轴，终边上有一点 $P (x, y)$ 且点 $P$ 不与坐标原点 $O$ 重合.

(1)、若点 $P$ 坐标是 $(m, \sqrt{3})$ 且 $\cos α = \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若角 $α$ 满足 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)$
①求 $\sin α - \cos α$ 的值；
②求 $\frac{3 \sin α \cos α}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 3) x + 2 a, x < 1 \\ a x^{2} + (a + 1) x, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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11、若扇形的圆心角是 $108^{°}$ ，弧长为 $3 π$ ，则扇形的半径为.

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12、已知函数 $f (x) = lg (m x^{2} - m x + 3)$ ，则下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 3)$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ B、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $m \in (0, 12)$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则 $m \in [12, + \infty)$ D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上单调递增，则 $m \in (0, 12]$

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13、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x], x \in R$ ，则对函数 $f (x)$ 描述正确的是

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 不是周期函数

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14、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x^{2} + 2}{x}, 3 < x \leq 4 \end{array}$ ， $g (x) = a x + 1$ ，若任给 $x_{1} \in [2, 4]$ ，存在 $x_{2} \in [- 2, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{7}{2}] \cup [\frac{7}{4}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup [\frac{7}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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15、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与半椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (x \leq 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是半椭圆 $C_{2}$ 上一动点.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $C, D$ ，记 $C D$ 的中点为 $E$ .
（i）证明 $P E ⊥ y$ 轴；
（ii）求 $△ P C D$ 面积的取值范围.

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16、某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性.

(1)、从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少?

(2)、如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取 $ζ$ 份才可以找出所有漏诊卷，写出 $ζ$ 的分布列并计算 $E (ζ)$ .

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A P ⊥$ 平面 $B C P$ ；

(2)、已知平面 $α$ 经过直线 $P C$ ，且 $A B / / α$ ，直线 $P D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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18、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ ，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .

(1)、求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角C大小；

(2)、求证： $a + b \leq 2 c$ .

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20、已知点M为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点， $4 |M O| = 4 |M F| = 7 |O F|$ ，则双曲线C的离心率为；若 $M F, M O$ 分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$ ．

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