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相关试卷

1、已知直线 $l : (2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 垂直，则 $m = \frac{1}{3}$ C、当点 $Q (3, 4)$ 到直线 $l$ 的距离取到最大时，此时 $m = \frac{4}{7}$ D、直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 16 = 0$ 所截得的最短弦长为1

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2、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上（含端点），则下列命题正确的是（）

A、 $M N$ 长的最小值为 $1$ B、三棱锥 $M - B N C$ 的体积为定值 C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、当点 $M$ 、 $N$ 为线段中点时，则 $△ M B N$ 为等腰三角形

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3、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为（）

A、－5 B、－4 C、－3 D、－2

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4、过点 $(3, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $θ$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{13}$

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5、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 3 \vec{M A}, N$ 为 $B C$ 的点，且 $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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6、已知圆的标准方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- 2, - 1)$

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7、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点， $N$ 是 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明：直线 $M N ⊥ B C$ ；

(3)、求平面 $M N A$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值．

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8、已知点 $P (2, \frac{3}{2})$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 过点 $P$ 的最短弦所在的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为原点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $a$ 的值．

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9、已知直线 $l_{1}$ ： $x + 3 y + 5 = 0$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (3, 1)$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离；

(3)、若 $l_{2}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|M A| \cdot |M B|$ 的最小值．

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10、已知空间三点 $A (- 2, 0, 1)$ ， $B (- 1, 0, 1)$ ， $C (- 3, 1, 2)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b})$ 与 $(\vec{a} - k \vec{b})$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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11、点 $N$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 为 $N F$ 的中点，若 $|O M| = 4$ ，则 $|N F| =$ ．

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12、直线 $2 x + 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角为．

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13、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$

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14、已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{1} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ C、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1, - \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2 a)}^{2} + y^{2} = 9$ 有两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, + \infty)$ D、 $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

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16、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{O F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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17、经过点 $M (1, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，则切线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x - y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，若 $|P F_{1}| = 2$ ，则 $|P F_{2}|$ 为（）

A、1 B、4 C、6 D、7

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19、已知直线 $l_{1}$ ： $x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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20、已知直线过 $A (0, - 1)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，则该直线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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