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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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2、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是30°，线段 $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为60°，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是．

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3、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1 - n, 1)$ ， $m > 0, n > 0$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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4、在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D B = 4$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面ABC，且 $D B ⊥ A B$ ，则（）．

A、 $D B ⊥ A C$ B、平面 $D A B ⊥$ 平面ABC C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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5、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，给出下列结论，其中正确结论有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值 C、把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象. D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上是增函数

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6、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B$ 所成的角是（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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9、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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10、已知点 $P (2, \sqrt{3})$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上的一点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的直线l交椭圆C于A，B两点，求 $△ P A B$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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11、一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；

(1)、从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；

(2)、从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；

(3)、从中任取5个球，其中红球 $m$ 个，白球 $n$ 个（ $m$ ， $n \in N$ ），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 8 x + \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [- 2, 4]$ ，求 $f (x)$ 的最大值与最小值．

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13、若不等式 $\ln a + b - a e^{b - 1} \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为．

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14、一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影，核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）

A、48种 B、72种 C、144种 D、216种

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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16、已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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17、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b + c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{3}$ 时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求 $\vec{G B} \cdot \vec{G C}$ 的最大值；
（ⅱ）求 $|\frac{cos B}{sin C} \vec{A B} + \frac{cos C}{sin B} \vec{A C}|$ 值．

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18、学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
$sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)],$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)],$
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)],$
$cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)] .$

(1)、证明： $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$

(2)、应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知 $cos (α + β) cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ，求 ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β$ 的值；
（ii）若 $α + β + γ = π$ ，求 $cos α + 2 cos β cos γ + 2 cos α cos β cos γ$ 的最大值.

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19、在锐角三角形 $A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围；

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20、已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平面内的两个向量， $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$

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