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相关试卷

1、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, 2, 2)$ ， $A (1, 0, - 1)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (3, 1, - 2)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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2、点 $P$ 在抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上，若点 $P$ 到点 $(0, 2)$ 的距离为5，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，已知 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{3} + a_{6} = a_{10}$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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4、定义：对于函数 $f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在闭区间 $[a, b] \subseteq D$ 和常数 $c$ ，使得对 $\forall x \in [a, b]$ ，都有 $f (x) = c$ ，且对 $\forall x \in D$ ，当 $x \notin [a, b]$ 时， $f (x) > c$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“凹平函数”.

(1)、若函数 $g (x) = |x - 1| + |x - 2|$
（i）证明： $g (x)$ 是 $R$ 上的“凹平函数”；
（ii）对于 $\forall m > 0$ ， $n > 0$ ，且满足 $m + n = 1$ ，若 $\frac{4}{2 m + n} + \frac{16}{n + 2} \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若函数 $h (x) = s \cdot 2^{x} + \sqrt{4^{x + 1} - 2^{x + 1} + t}$ 是 $[- 3, + \infty)$ 上的“凹平函数”，求实数 $s$ ， $t$ 的值.

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5、若命题“对任意 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ，函数 $y = \sin x + \tan x$ 的值恒小于 $m$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为．

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6、已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象是如图所示的曲线 $A B C$ ，若 $g (f (x) + 2) = 2$ ，则 $x$ 的值可能为（）
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$f (x)$
0
2
1
2
0
3
1

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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7、函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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8、已知集合 $A = \{x ||x - 2| \leq 5\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x - 6 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(- 3, - 1) \cup (6, 7)$ C、 $[- 3, - 1) \cup (6, 7]$ D、 $[- 3, 7]$

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9、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 12 < 0\}$ ， $B = \{x | 2 a - 1 < x \leq a + 7\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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10、某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠 $10 %$ ；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠 $20 %$ .某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为元.

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11、已知 $x^{3} - y^{3} < 2^{- x} - 2^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (y - x + 1) > 0$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $ln |x - y + 1| > 0$ D、 $2^{x - y} < 1$

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12、在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为 $a$ 千克，且该湖泊中的蓝藻每天以 $8 %$ 的增长率呈指数增长，经过 $n$ 天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于 $3 a$ 千克，则 $n$ 的最小值是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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13、若不等式 $(a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $4 a + b$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a + 3$ 有两个不相等的正零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (6, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 6) \cup (2, + \infty)$ C、 $(6, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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15、已知 $a = {1.5}^{0.9}, b = {0.9}^{0.1}, c = {log}_{3} 2 \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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16、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17、函数 $f (x) = ln (x + 5) + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(- 5, + \infty)$ B、 $(- 5, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $[- 5, + \infty)$ D、 $[- 5, 1) \cup (1, + \infty)$

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18、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 0, 2\}, B = \{- 1, 2, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1, 0, 2, 5\}$ B、 $\{- 3, 0, 5\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{2\}$

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离；

(2)、若 $F$ 是线段 $B C$ 上的动点（包括端点 $B$ 和 $C$ ），求 $E F$ 与平面 $A D_{1} E$ 的夹角正弦值的最大值；

(3)、若 $F$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内的动点（包括侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界），且平面 $A D_{1} E$ 与平面 $F D_{1} E$ 垂直，判断 $F$ 点的轨迹，并求出轨迹长度．

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20、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．点M是椭圆C上一点，满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 8$ ， O为坐标原点．

(1)、求C的方程；

(2)、设 $T (8, 0)$ ，若C上的一点N与点M不关于x轴对称，且满足 $∠ M T O = ∠ N T O$ ．
（ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个点；
（ⅱ）求 $△ M T N$ 面积的取值范围．

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$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$f (x)$	0	2	1	2	0	3	1