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相关试卷

1、已知 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{4}) =$ （　　）

A、 $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$ B、 $- \frac{31 \sqrt{2}}{50}$ C、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{50}$ D、 $\frac{31 \sqrt{2}}{50}$

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2、已知集合 $A = \{x |1 + \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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3、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A$ 处的切线为 $l$ ，两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $l$ 上的射影分别为 $P$ ， $Q .$ 我们常常把过切点 $A$ 且与切线 $l$ 垂直的直线叫做法线，它平分 $∠ F_{1} A F_{2}$ ，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记 $|P F_{1}| = d_{1}$ ， $|Q F_{2}| = d_{2}$ ，当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，记 $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ P A F_{1}$ ， $△ Q A F_{2}$ 的面积分别为 $S_{0}$ ， $S_{1}$ ， $S_{2} .$ 若 $∠ F_{1} A F_{2} = θ$ ．

(1)、求证： $S_{0} = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ；

(2)、试探究 $d_{1} d_{2}$ 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；

(3)、当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，是否存在常数 $λ \in R$ ，使得 $S_{1} S_{2} = λ S_{0}^{2}$ 恒成立？并给出证明或解释．

(4)、若椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且当 $θ = 60 °$ 时，四边形 $P F_{1} F_{2} Q$ 的面积 $8 \sqrt{3}$ ，求椭圆 $E$ 的方程．

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4、某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形 $A B C D E .$ 根据自行车比赛的需要，需预留出 $A C$ ， $A D$ 两条服务通道 $($ 不考虑宽度 $)$ ， $D C$ ， $C B$ ， $B A$ ， $A E$ ， $E D$ 为赛道， $∠ A B C = ∠ A E D = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $B C = 2 \sqrt{6} (km)$ ， $C D = 8 (km) .$ 注： $km$ 为千米．

(1)、若 $c o s ∠ C A D = \frac{3}{5}$ ，求服务通道 $A D$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求折线赛道 $A E D$ 的最大值 $($ 即 $A E + E D$ 最大 $) . ($ 结果保留根号 $)$

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5、在四面体 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A C = B C = 2, P A ⊥$ 底面 $A B C, M$ 、 $N$ 、 $Q$ 分别是 $P B 、 P A 、 B N$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P C$ 上，且 $P E = 3 E C$ ．

(1)、求证： $E Q / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $M A C$ 与平面 $A C B$ 的夹角的大小．

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6、已知函数 $f (x) = {c o s}^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} s i n ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，则（）

A、 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6 ω})$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有一个极值点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3}, 2)$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, 1)$

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7、下列命题正确的是（）

A、 $∃ a, b ∈R$ ， $|a −2| + {(b +1)}^{2} ≤0$ B、若 $a, b >0$ ，且 $a b = a + b +3$ ，则 $a b$ 的最小值是9 C、 $a ≥ b >−1$ ，则 $\frac{a}{1+ a} ≥ \frac{b}{1+ b}$ D、 $a b ≠0$ 是 $a^{2} + b^{2} ≠0$ 的充要条件

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8、定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (- 1) = - \frac{1}{3}$ ，对于任意的实数 $x$ 均有 $\ln 3 \cdot f (x) < f^{'} (x)$ 成立，且 $y = f (x - \frac{1}{2}) + 1$ 的图像关于点（ $\frac{1}{2}$ ， 1）对称，则不等式 $f (x) - 3^{x - 2} > 0$ 的解集为（）

A、（1，+∞） B、（ $-$ 1，+∞） C、（ $-$ ∞， $-$ 1） D、（ $-$ ∞，1）

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9、若 $x = a + lg 2$ ， $y = a + \frac{1}{2} lg 2$ ， $z = a + 2 lg 2$ 成等比数列，则公比为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $3$

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10、“ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = {(x + a)}^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要

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11、复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $-$ $\frac{3}{10}$ B、 $-$ $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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12、如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面SFD；

(2)、当F是边BC的中点时，二面角 $D - S E - F$ 的大小；

(3)、若 $B F > 1$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值.

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13、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2024}$ 均为正实数，则 $x_{1} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{4}}{x_{1} x_{2} x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{2024}}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2023}} + \frac{4}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2024}}$ 的最小值为.

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14、已知 $sin θ, cos θ$ 是方程 $x^{2} - 2 sin α \cdot x + {sin}^{2} β = 0$ 的两个实根， $\cos 2 α \neq 0$ ，则 $\frac{\cos 2 β}{\cos 2 α} =$ ．

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15、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，其外接球的球心为 $O$ ．点 $E$ 满足 $\overset{⃑}{A E} = λ \overset{⃑}{A B}$ $(0 < λ < 1)$ ，过点 $E$ 作平面 $α$ 平行于 $A C$ 和 $B D$ ，设 $α$ 分别与该正四面体的棱 $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 相交于点 $F$ ， $G$ ， $H$ ，则（）

A、四边形 $E F G H$ 的周长为定值 B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 为正方形 C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $α$ 截球 $O$ 所得截面的周长为 $\frac{13}{4} π$ D、四棱锥 $A - E F G H$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3} \sqrt{2}$

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16、已知在一次随机试验 $E$ 中，定义两个随机事件 $A$ 和 $B$ ，若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{3}{4}$ B、若 $A$ 、 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{1}{2}$ C、 $0 \leq P (A B) \leq \frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{3} \leq P (A + B) \leq \frac{7}{12}$

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17、已知函数 $f (x) = e x + π, g (x) = {(\frac{π}{e})}^{x}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π}, eπ)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π}, eπ), f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π}, + \infty)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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18、下列命题中，错误的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x < 1)$ 的最大值为 $- 1$ B、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $x = 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个实数根”的充要条件是“ $a + b + c = 0$ ” D、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ 都不为0，不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 的解集为 $M$ ，不等式 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集为 $N$ ，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“ $M = N$ ”的充要条件

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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