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相关试卷

1、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - n x - 3$ 在区间 $[2, 3]$ 上不单调，求实数 $n$ 的取值范围.

(3)、若 $a \geq 0$ ，求不等式 $a f (x) - (2 a + 1) x + 2 < 0$ 的解集.

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2、全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0\}$ ，非空集合 $B = \{x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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3、若角 $α$ 满足 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)$

(1)、求 $\sin α - \cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{3 \sin α \cos α}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}$ 的值.

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4、若函数 $f (x)$ 的自变量取值范围为 $[a, b]$ 时，函数值的取值范围恰好是 $[\frac{2}{b}, \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“和谐区间”.
（1）函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ “和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{1}{{log}_{2} x}$ ，则 $f (x)$ 的“和谐区间”为.

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5、下列说法不正确的有（）

A、已知函数 $f (x) = a^{x - 3} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(3, 1)$ . B、若 $x \in (0, π),$ 则 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 有最小值2 C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ . D、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$ 在定义域上是增函数.

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）都有 $[x_{2}^{2} f (x_{1}) - x_{1}^{2} f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ .记 $a = f (1)$ ， $b = \frac{f (2)}{4}$ ， $c = \frac{f (- 3)}{9}$ ，则（）

A、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为奇函数 B、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为偶函数 C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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7、函数 $f (x) = \log_{\frac{3}{4}} (- x^{2} + x + 2)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- 1, \frac{1}{2})$

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8、已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (a > b)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致是（       ）


A、    B、    C、    D、

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9、已知 $\sin (\frac{2 π}{5} - x) = \frac{1}{3},$ 则 $\cos (\frac{π}{10} + x) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10、函数 $f (x) = 2^{x} + x$ 的零点所在区间为（　　）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 3, a^{2}\}, 4 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $\frac{1}{15} \leq T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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13、下列说法正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3, - 3)$ C、直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 的方向向量可以是 $\vec{n} = (4, - 3)$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，其中P为平面 $A B C$ 上的一点， $O$ 是平面 $A B C$ 外一点，则有 $x + y = \frac{2}{3}$

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为6，离心率 $\sqrt{3}$ ．过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$

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15、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M D_{1}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ （D和A重复了）

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16、现定义一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数 $x, y$ ，都有 $x \oplus y = {log}_{a} (a^{x} + a^{y}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $3 \oplus 3$ ；

(2)、证明： $\forall x, y, z \in R$ 都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z);$

(3)、设 $f (x) = x \oplus (x - 1)$ ，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： $年平均盈利额 = \frac{总盈利额}{年数}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19、已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{2^{x} - b}{2^{x} + a}$ 是奇函数.

(1)、求a，b的值；

(2)、直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意 $x \in (- 1, 1)$ ，求使 $f (x)$ 满足不等式 $f (1 - m) + f (1 - m^{2}) < 0$ 的实数m的取值范围.

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20、平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1, 2)$

(1)、求sinα和tanα的值

(2)、若 $f (α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + α) \tan (π + α) + 2 \cos (π - α)}{\sin α + \cos (- α)}$ ，化简并求值

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