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相关试卷

1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且公比 $q > 0$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = \frac{19}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = \frac{3}{2}$ B、 $S_{4} < 8$ C、 $\{\log_{2} a_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列

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2、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $l$ 为 $C$ 的一条渐近线，若双曲线 $C$ 的左焦点 $F (- c, 0)$ 关于直线 $l$ 的对称点在圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x) = f (x - y) f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) + f (x) > 2 f (x + 1)$

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4、已知各项为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n}^{2} - 2 S_{n} = S_{n - 1}^{2} + 2 S_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则 $S_{2026} =$ （）

A、4052 B、4051 C、2027 D、2026

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5、已知二项式 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中所有项的系数和为32，若 $ξ \sim N (μ, 4)$ 且 $P (ξ < a) = P (ξ > 3)$ ，则 $μ$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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6、函数 $f (x) = \frac{\sin 4 x}{1 + 3^{|x|}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、设集合 $A = \{x \in N |0 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 x - 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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8、已知复数 $z = 1 - i$ ，则复数 $\frac{1}{z^{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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9、已知函数 $h (x) = m \ln x + e^{- x} ， (m \in R)$

(1)、若函数 $h (x)$ 为增函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知实数 $p, q \in (0, + \infty)$ ，且 $p < q$ ．
（i）证明： $p (e^{p + 1} - e^{q + 1}) > e^{p + q} (p - q)$ ；
（ii）若 $p$ 与 $q$ 是函数 $h (x)$ 的两个极值点，证明： $0 < h (p) - h (q) < 1$ ．

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10、已知 $n \in N^{*}$ ，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ ，正项等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为5，且 $b_{1}, b_{3} - 1, b_{6}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设 $p_{n} = (b_{n} - 3 n) 3^{n}$ ， $T_{i j} = \{\begin{array}{l} \sum_{k = i}^{j} p_{k}, i < j \\ p_{i}, i = j \end{array}$ ， $(i, j \in N^{*})$ ．求证：若 $m, r, s, t \in N^{*}$ ，满足 $m \leq r, s \leq t$ ，且有序实数对 $(m, r) \neq (s, t)$ ，则 $T_{m r} \neq T_{s t}$ ．

(3)、设 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}, H = \{t |t =| a_{i} - a_{j} ∣, i, j \in A_{n}\}$ ，求集合 $H$ 的所有元素之和 $M$ ．

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，短轴长为4

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点，若点 $P (- 4, 0)$ ，且点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点在直线 $P N$ 上，求直线 $l$ 的方程．

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12、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $A B = 2 A D = 4$ ， $D D_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A D ⊥ B D$ ， $Q$ ， $H$ 分别为 $A A_{1}$ ， $D_{1} B$ 的中点．

(1)、求直线 $Q H$ 与平面 $H B C$ 所成角的正弦值；

(2)、求平面 $Q B H$ 与平面 $H B C$ 的夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $Q - H B C$ 的体积 $V$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2 a + 3 c}{3 a + 3 b} = \frac{b - a}{c}$ ．

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、已知 $a \cos C = c \cos A$ ．
（i）若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{6} b = 4 a$ ，求 $b, c$ 的值；
（ii）求 $cos (4 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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14、已知 $f (x) = \{\begin{cases} {(x - b)}^{2}, x > b \\ \frac{1}{x - b}, x < b \end{cases}$ $(b \in R)$ ，若存在实数 $a$ ，满足有且仅有三个不同的实数 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 使得下列关于 $x$ 的方程 $a b + b f (x) = |b^{2} - 3 b| + 1$ 在 $b$ 等于 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 时均无解．则 $a$ 的取值范围是．

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15、已知梯形 $A B C D$ 面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $\vec{A B} = 3 \vec{D C}$ ， $\frac{\vec{D A}}{|\vec{D A}|} \cdot \frac{\vec{D C}}{|\vec{D C}|} = - \frac{1}{2}$ ， $E$ 为 $D C$ 上靠近点 $C$ 的四等分点， $G$ 为线段 $B E$ 上一点，且满足 $\vec{A G} = \frac{1}{2} \vec{A B} + λ \vec{A D} (λ \in R)$ ，则 $λ =$ ． $|A G|$ 的最小值为．

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16、甲、乙两队参加知识竞赛，每队 $3$ 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 $3$ 人答对的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人正确与否相互之间没有影响．用 $ξ$ 表示甲队的总得分，则随机变量 $ξ$ 的数学期望为；用 $A$ 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 $3$ ”这一事件，用 $B$ 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则 $P (A B) =$ ．

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17、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上到直线 $y = x + m$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点有且仅有4个，则实数 $m$ 的取值范围为．

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18、在 ${(\frac{1}{3 x^{2}} + x)}^{6}$ 的展开式中， $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数为．（用数字作答）

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19、已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如下图，记 $h (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ ，则函数 $h (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{π}{4}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- \sqrt{3}, 1]$

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20、已知 $n \in N^{*}$ ，各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $G_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{2} G_{n} = 1$ 成立，则 $a_{6} =$ （）

A、 $\frac{1}{30}$ B、 $\frac{1}{42}$ C、 $\frac{1}{56}$ D、 $\frac{1}{72}$

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