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相关试卷

1、函数 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2、下列函数中，为偶函数的是

A、 $f (x) = x^{2} + x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = |x + 1|$ C、 $f (x) = x^{2} + x^{- 2}$ D、 $f (x) = x^{2} + |x|, - 2 \leq x < 2$

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3、已知命题 $p : \forall x > 0, x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 3 x + 2 < 0$ B、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x > 0, x^{2} - 3 x + 2 < 0$ D、 $\exists x > 0, x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (x - 4)$ .

(1)、作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、写出 $f (x)$ 的单调递增区间和单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 5, \frac{1}{2}]$ 上的最值.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} a x - 1, x \geq 0 \\ \frac{1}{x}, x < 0 \end{cases}$ ，且 $f (2) = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (m) = m$ ，求实数 $m$ 的值.

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6、已知集合 $A = {x | 3 \leq x \leq 7}$ ， $B = {x | 5 < x < 11}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ， $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、如果 $C = {x | x - 2 a < 0}$ ，且满足 $A \subseteq C$ ，求 $a$ 的取值范围．

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7、定义在 $[0, 4]$ 上的函数 $f (x)$ 为增函数，满足： $f (a^{2}) < f (2 a + 3)$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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8、下列说法中正确为（）

A、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 3$ ，若 $\forall x \in R$ ，有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 成立，则实数 $a$ 的值为4 B、函数 $f (x) = |x|$ 与函数 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 是同一个函数 C、若 $1 < a < 2$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $- 1 < a + 2 b < 2$ D、若函数 $f (x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ，且 $f (m) = 4$ ，则实数 $m$ 的值为 $\pm \sqrt{6}$

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9、下列命题中，正确的有（）

A、 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是4 B、“ $a > 1$ ”是 $a^{2} > a$ 的充分不必要条件 C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a, b$ 是正数，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9

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10、已知 $p : 1 < x < 3, q : m < x < m + 1$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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11、函数 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2} - 5} (x^{2} > 5)$ 的最小值为（）

A、2 B、5 C、6 D、7

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12、以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，短轴长为2.

(1)、求 $C$ 及 $C$ 的辅助圆的方程.

(2)、已知与 $y$ 轴平行，且不经过原点 $O$ 的直线 $D E$ 与 $C$ 及 $C$ 的辅助圆分别交于 $D, E$ 两点（ $D, E$ 均在同一个象限），过 $E$ 作 $C$ 的辅助圆的切线与 $x$ 轴交于点 $F$ ，且直线 $O D$ 的斜率为 $k$ ，记 $△ O E F$ 的面积为 $S$ ，证明： $S = 4 |k|$ .

(3)、已知斜率不为0，且不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，判断在 $C$ 的辅助圆上是否存在点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 是平行四边形.若存在，求 $△ O A B$ 面积的最大值；若不存在，说明理由.

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13、如图1所示，在梯形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A D ， B C = 6 ， A D = 12 ， A E = B E = 4$ 把 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，得到四棱锥 $A - B C D E$ ，如图2所示．

(1)、若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，证明： $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ．

(2)、若平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A, B, C, D$ 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面 $B C D E$ 内．

(3)、若平面 $A D E$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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14、某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100), [100, 120]$ 六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在 $[20, 40)$ 内的人数是答对题数在 $[0, 20)$ 内的人数的5倍．

(1)、求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、设成绩在前 $25 %$ 的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率．

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15、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 已知 $b = 5, c = 6, 2 b \sin B + 2 c \sin C - 2 a \sin A = 3 b \sin C$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\cos (B - C)$ ．

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16、已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = - \frac{1}{3} x$ 上，且圆 $M$ 过 $(2, 1)$ 和 $(1, 0)$ 两点.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、求圆 $M$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 5$ 的公共弦长.

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17、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2}, A C = 2 \sqrt{2}, A B = 3, ∠ B A A_{1} = ∠ B A C = \frac{π}{4}, ∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}, △ A B C$ 的外心为 $O$ ，则 $A_{1} O$ 的长为.

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18、已知椭圆C的两焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P，Q为椭圆C上的动点， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10，则 $|Q F_{1}|$ 的最大值为．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x} - 1, x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (8)) =$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 为奇函数，其图象与直线 $y = 2$ 的其中两个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, |x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、曲线 $y = g (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ B、曲线 $y = g (x)$ 的一个对称中心为点 $(\frac{π}{6}, 0)$ C、函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$

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