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相关试卷

1、从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件 $A :$ 至少抽到一名女生，事件 $B :$ 恰好抽到一名男生，则 $P (B | A) =$ ．

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2、点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $△ P O F$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|P F| =$ ．

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3、某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布 $N (65, {2.2}^{2})$ ，记作 $X \sim N (65, {2.2}^{2})$ ．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为．（结果精确到0.001）；
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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4、已知函数 $y = \{\begin{array}{l} x (x - b), x \geq 0 \\ x (b x + 1), x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $b =$ ．

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5、若直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 与直线 $3 x - y = 0$ 平行，则实数a的值为．

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6、在 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为．

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7、不等式 $|x - 2| > 1$ 的解集为．

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8、已知集合 $A = \{3 a\}$ ， $B = \{9, a^{2}\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a =$ ．

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点．过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $x$ 轴的上方），直线 $A M, B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P, Q$ ，试判断 $\frac{|O P|}{|O Q|}$ 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

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10、已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ ．

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11、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ，且 $A F = \frac{1}{3} D E$ ．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ ，求 $D E$ ．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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13、“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､ $5 \dots \dots$ 都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如 $(3, 5), (5, 7), (11, 13) \dots \dots$ 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=.

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14、现进行如下试验：从 $1, 2, 3, \dots, 10$ 中任选一个数，记为 $a_{1}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{1} - 1$ 中任选一个数，记为 $a_{2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{2} - 1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 $A_{i} =$ “试验过程中，数字 $i$ 被选到”， $p_{i}$ 表示事件 $A_{i}$ 发生的概率（ $i = 1, 2, 3, \dots, 10$ ），则（）

A、 $p_{9} = \frac{1}{10}$ B、 $p_{8} = \frac{1}{10} + \frac{1}{9} p_{10} + \frac{1}{8} p_{9}$ C、 $P (A_{8} ∣ A_{9}) = P (A_{8} ∣ A_{10})$ D、 $P (A_{i} A_{j}) = p_{i} \cdot p_{j} (i, j \in \{1, 2, \dots, 10\}$ 且 $i \neq j)$

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15、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d = 2$ ， $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、 $- 10$ D、 $- 8$

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17、 ${(\frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、60 B、120 C、160 D、240

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18、复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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19、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 3\}, B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ B、 $\{x |1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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20、单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有 $n$ （ $n \geq 2$ ）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第 $i$ 支球队的胜场数记为 $x_{i}$ ，负场数记为 $y_{i}$ ，（ $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ）．

(1)、当 $n = 6$ 时，求单循环赛的总比赛场数，并计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}$ 的值；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$ ；

(3)、现 $n$ 支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由．

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