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相关试卷

1、求下列各式的最值

(1)、已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = x (1 - 2 x)$ 的最大值

(2)、设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值

(3)、设正实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - z = 0$ ，当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，求 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} - \frac{2}{z}$ 的最大值．

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2、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = x |x - m|$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，画出 $f (x)$ 的图象，并写出 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $0 < m \leq 3$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最小值．

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3、已知 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ ， $x \in (- 2, 2)$ .

(1)、用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (a + 2) > f (2 a - 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 3}{x + 4} < 1}, B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$

(1)、求集合A；

(2)、 $(∁_{R} A) \cap B$ ．

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5、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是

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6、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}$ ，集合 $B = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ，命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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7、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a, x \geq 1 \\ - x, x < 1 \end{array}$ ，若 $f (2) = 9$ ，则实数a的值为．

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8、已知满足 $c < b < a,$ 且 $a + b + c = 0$ ，下列选项中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $c (b - a) > 0$ C、 $a b^{2} > c b^{2}$ D、 $a c (a - c) < 0$

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9、下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$

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10、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 2023$ 的交点个数（）

A、至少有1个 B、至多有1个 C、仅有1个 D、可能有无数多个

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11、已知集合 $N = {0, 1, 2}$ ，则满足条件 $A \subseteq N$ 的集合 $A$ 的个数有（）．

A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个

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12、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ， P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是 $Q P$ 中点．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分 $∠ A N B$ ？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图1，在边长为2的菱形ABCD中， $∠ B A D = 60^{°}, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ B E$ ，如图2．

(1)、求多面体 $A_{1} - B C D$ 的体积；

(2)、求二面角 $E - A_{1} D - B$ 的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B P$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B D}$ 的值；若不存请说明理由．

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14、已知两点 $P (2, - 5), Q (- 4, 3)$ ，直线 $l : 2 x - y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点P，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．

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15、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，沿对角线 $A C$ 将 $△ A B C$ 折起，使得 $B D = \sqrt{481}$ ，则 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是

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16、点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $l$ ： $2 x + y - 5 = 0$ 的距离为.

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17、如图，点 $M$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、当 $C M ⊥ A D_{1}$ 时，点 $M$ 一定在线段 $A_{1} D$ 上 B、当 $M$ 为 $A_{1} D$ 的中点时，三棱锥 $M - A B D$ 的外接球的表面积为 $2 π$ C、当点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上运动时， $| M A | + |M B_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $M B_{1}$ 与 $C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$

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18、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相交，则点 $(a, b)$ 在圆 $O$ 的外部 B、直线 $k x - y - 3 k + 1 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的最长弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上有4个不同的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为1，则有 $r > \sqrt{2} + 1$ D、若过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的切线只有一条，则切线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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19、已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l // n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l // n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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20、已知在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $B_{1} - B E F$ 的体积取最大值时，平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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