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相关试卷

1、若空间中三个点 $A (- 1, 0, 0), B (0, 1, - 1), C (- 2, - 1, 2)$ ，则直线 $A B$ 与直线 $A C$ 夹角的余弦值是（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、若直线 $2 x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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3、直线 $\sqrt{3} x + 3 y - m = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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4、如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥PADM的体积．

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5、直线 $l_{1}$ 经过 $A (3, m)$ ， $B (m - 1, 2)$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $C (1, 2)$ ， $D (- 2, m + 2)$ ．

(1)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求m的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求m的值．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $C$ 的短轴长为．

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7、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 $a$ ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $π a^{2}$ B、 $\frac{7}{3} π a^{2}$ C、 $\frac{11}{3} π a^{2}$ D、 $π a^{2}$ （D和A重复了）

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8、如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高 $l$ 为 $\frac{61}{24}$ 的圆柱，上、下两端均是半径 $r$ 为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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9、圆心坐标为 $(2, - 1)$ 的圆在直线 $x - y - 1 = 0$ 上截得的弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，那么这个圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ D、 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$

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10、已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，那么直线 $A_{1} C$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、设 $α$ ， $β$ 为两个平面，则 $α / / β$ 的充要条件是

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 2, 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 4, - 5, - 6)$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}⟩ = \frac{3 \sqrt{26}}{26}$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A D$ $∥$ $B C, P A = A D = C D = 2, B C = 3. E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ，设点 $G$ 是线段 $P B$ 上（含端点）的一动点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $C G$ 与平面 $A E F$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的范围；

(3)、若 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ ，判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由.

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右顶点分别是 $A, B$ ，点 $P (2, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，且直线 $P A, P B$ 的斜率之积为3.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T (\sqrt{2}, 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $D, E$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明 $\vec{O D} \cdot \vec{O E}$ 为定值，并求出该定值.

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15、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l : x - 3 y + 1 = 0$ 上，且过点 $(2, 4), (5, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是圆 $C$ 上的一点，求 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的取值范围；

(3)、已知直线 $n : a x + b y - a - 2 b = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ 的最小值.

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16、已知点 $P (- 1, 2)$ 是抛物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $M, N$ 为 $C$ 上异于 $P$ 的两动点，且 $P M ⊥ P N$ ，则 $|M F| + |N F|$ 的最小值为.

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17、一条光线从 $A (- 2, 3)$ 射出，经过 $x$ 轴反射后，与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 12 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的方程为.（写出一条即可）

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18、已知直线 $l$ 的方向向量为 $(2, m, 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(- 3, 2, 2)$ ，且 $l$ $//$ $α$ ，则 $m =$ .

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19、如图，已知 $a, b$ 是相互垂直的两条异面直线，直线 $A B$ 与直线 $a, b$ 相交且垂直，垂足为 $A, B$ ，且线段 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P, Q$ 分别位于直线 $a, b$ 上，若直线 $P Q$ 与 $A B$ 所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $P Q$ 的长度为定值4 B、三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值 C、点 $M$ 的轨迹是圆 D、直线 $M B$ 与 $A B$ 所成的角为定值

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20、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, - 2, 10)$ 关于 $O x y$ 平面的对称点为（）

A、 $(1, - 2, - 10)$ B、 $(- 1, 2, 10)$ C、 $(- 2, 1, - 10)$ D、 $(- 1, 2, - 10)$

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