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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a =$ （）

A、9或1 B、3 C、2 D、1

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2、有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）

A、81 B、64 C、27 D、24

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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4、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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12、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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13、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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14、寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 $60 %$ ，跳绳的概率为 $40 %$ ，在下雪天，他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $50 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $p_{n}$ ．

(1)、求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值，并证明 $\{p_{n} - \frac{6}{11}\}$ 是等比数列；

(2)、求小明寒假第 $n$ 天通过运动锻炼消耗能量的期望．

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15、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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17、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 $\bar{a b c d e}$ ，其中满足 $a > b > c < d < e$ 的五位数有n个，则在 $1 + {(1 + x)}^{1} + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（用数字作答）

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 短轴长为4，焦距为 $3$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 上的任意一点， $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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19、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 8 = 0$ ， $f (x - 2) - g^{'} (6 - x) - 8 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $g^{'} (4) = 0$ B、 $f (1) + f (3) = 16$ C、 $f (2023) = 8$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} f (n) = 160$

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20、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若． $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ （i为虚数单位），向量 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量 $\vec{O B}$ 重合，则（）

A、 $z_{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、点B在第二象限 C、 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2}$ D、 $|\frac{z_{2}}{z_{1}}| = 2$

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