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相关试卷

1、中心在原点，顶点在 $x$ 轴上，且一个焦点在直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 上的等轴双曲线的方程是（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 4$ C、 $y^{2} - x^{2} = 8$ D、 $x^{2} - y^{2} = 8$

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2、如图，已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} =$ （）

A、 $\vec{A^{'} C}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C^{'}}$ D、 $\vec{B^{'} D}$

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3、已知点 $A$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴的交点， $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，反向延长 $P H$ 至点 $M$ ，使得 $\vec{H M} = \sqrt{2} \vec{H P} .$

(1)、令点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程：

(2)、连接 $A M$ 交圆 $O$ 于点另外点 $B$ ，若 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A O M}} = \frac{3}{4},$ 求直线 $A M$ 的方程；

(3)、已知点 $Q (2, 0),$ 直线 $M Q$ 交曲线 $C$ 于另外一点 $N$ ，记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2},$ 求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值.

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4、抛物线 $y = x^{2} - 4 x + b$ 与坐标轴交于 $A, B, E$ 三点，圆 $C$ 过 $A, B, E$ 三点.

(1)、求b的取值范围：

(2)、当 $b = 1$ 时，求圆C的方程；

(3)、在（2）条件下，已知圆 $D : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4,$ 设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，它们分别与圆C和圆D相交，且直线 $l_{1}$ 被圆C截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标.

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5、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $CD$ ，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且 $B C = 1, P C = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、设 $△ P C D$ 的重心为 $G$ ，求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 3)$ ，点A为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、在椭圆 $C$ 上取一点N，且满足 $△ A M N$ 的面积为12，求点 $N$ 的坐标.

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7、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $S A B C$ 各顶点坐标分别为 $S (6, 4, 4), A (4, 4, 1), B (6, 6, 4), C (4, 6, 4)$ ，则该四面体外接球的表面积是.

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8、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y - 6 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1,$ 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是.

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9、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点F为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、当点E在棱 $B_{1} C_{1}$ 上，且 $B_{1} E = \frac{2}{3} B_{1} C_{1}$ 时，平面 $B D$ E截该正方体的外接球所得截面的面积为 $\frac{31}{11} π$ D、若点E到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分

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10、已知圆C方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + λ = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $λ$ 的取值范围为 $(- \infty, 5]$ B、若已知 $P (1, 0)$ 在圆内，则 $λ < - 3$ C、圆C关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称 D、圆C与圆D： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 5 = 0$ 恰有三条公切线，则 $λ = - 3$

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11、在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $M$ 为棱 $B C$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 上一点且 $A N = \frac{1}{2} N D$ ，则直线 $A M$ 和直线 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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12、设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式 $f (t - 1) + f (t^{2}) < f (0)$ .

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13、根据下列条件，求 $f (x)$ 的解析式．

(1)、已知 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} + 4 x + 1$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ；

(3)、已知 $f (x)$ 满足 $2 f (\frac{1}{x}) + f (x) = x (x \neq 0)$ ．

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14、已知 $a > 0, b > 0, c > 0$ ， $a^{2} - a b + 9 b^{2} - 5 c = 0$ ，当 $\frac{c}{a b}$ 最小时， $x^{2} - 3 x \geq a + b - \frac{1}{3} c$ 恒成立，则 $x$ 的取值集合是.

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15、已知 $f (\frac{x}{2} - 1) = x + 3$ ，则 $f (6)$ 的值为．

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16、若 $m, n$ 都为正实数，且 $m + n = 2$ ，则（）

A、 $m n$ 的最大值为11 B、 $n^{2} + 2 m < 3$ C、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为2 D、 $\frac{2}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值为9

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则不等式 $f (x + 5) > \frac{f (x^{2} - 25)}{x - 5}$ 的解集为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $(6, + \infty)$ D、 $(6, 10)$

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18、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(2, 4]$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, 4]$

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19、已知 $2 < a < 4$ ， $- 2 < b < - 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(3, 6)$

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20、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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