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相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ 、 $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, b_{1} = 6, a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} - a_{n}$ ，若 $a_{m} = b_{m}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3、如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C| = 3, |B C| = 4$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值（）

A、为定值 $6$ B、不为定值，有最大值 $6$ C、为定值 $10$ D、不为定值，有最小值 $10$

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4、已知 $M$ 为直线 $l : 2 x + 3 y + 1 = 0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{M P} = (2, - 4)$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $3 x - 2 y + 9 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 9 = 0$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{49}{13}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{49}{13}$

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5、设集合 $A$ 是至少有两个元素的实数集，集合 $F (A) = \{z| z = x y, x, y \in A$ 且 $x \neq y\}$ ，称集合 $F (A)$ 为集合 $A$ 的积集．

(1)、当 $A = \{1, 2, 4, 8, 32\}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $F (A)$ ；

(2)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个正实数构成的集合，求其积集 $F (A)$ 中元素个数的最小值；

(3)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个有理数构成的集合，积集 $F (A) = \{- 18, - 2, - \frac{3}{2}, - \frac{1}{6}, 1, 3\}$ ，求集合 $A$ 中的所有元素之和．

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6、已知函数 $f (x) = x |2 a - x| + b x, a \in R$ ．

(1)、当 $b = - 2$ 时，若函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 2$ 时，若存在实数 $a \in [0, 2]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 为奇函数．（e为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (4^{- x}) + f (4 - 5 \times 2^{- x}) \leq 0$ 的解集．

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8、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b - 4 a b = 0$ ．

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$ ；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值．

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9、计算：

(1)、 ${(1 \frac{7}{9})}^{0.5} + \sqrt{{(- 10)}^{2}} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt[6]{27} - π^{0} \times {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${log}_{5} 125 + lg \frac{1}{1000} + ln \sqrt{e} + 2^{{log}_{2} 3} + \frac{2}{3} {log}_{2} 3 \cdot {log}_{9} 8$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ - ln(x + 1), x < 0 \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a - 1 = 0 (a \in R)$ 有四个相异的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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11、在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度 $v$ （单位： $km / s$ ）和所携带的燃料的质量 $M$ （单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量 $m$ （单位：kg）的函数关系式近似满足 $2^{\frac{v}{a}} = b + \frac{M}{m}$ （ $a$ 为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时， $v$ 约等于 $2.9 km / s$ ，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时， $v$ 约等于 $5.8 km / s$ ，则常数 $b$ 的值为．

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12、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 5) x^{a}$ 的定义域是 $R$ ，则 $a =$ ．

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13、已知定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 4$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 4$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 4$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、不等式 $f (2) + f (x + 2) < f (x - 1) + 4$ 的解集为 $(- 5, - 2) \cup (- 2, - 1)$

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14、关于函数 $f (x) = ln \frac{x - 3}{x + 1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若函数 $g (x) = ln (x - 3) - ln (x + 1)$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

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15、已知命题 $p : \forall x \in R, a x^{2} - a x + 1 > 0$ ，则命题 $p$ 成立的一个充分条件可以是（）

A、 $a \in [0, 4)$ B、 $a = 4$ C、 $a \in (0, 4)$ D、 $a = 0$

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16、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + x + c (x \in R)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则 $\frac{a + 2}{c} + \frac{c + 2}{a}$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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17、已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = ln 3$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - x - 1$ 在区间 $[1, 1.5]$ 内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，
$x$
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
$f (x)$
$- 1$
0.875
$- 0.2969$
0.2246
$- 0.05151$
那么方程 $x^{3} - x - 1 = 0$ 的一个近似根（精确度为0.1）为（）

A、1 B、1.5 C、1.25 D、1.3125

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19、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 8 x}}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(4, 8)$ D、 $(- \infty, 4)$

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20、已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b)$ （其中a，b为常数，且 $b < a$ ），若 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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$x$	1	1.5	1.25	1.375	1.3125
$f (x)$	$- 1$	0.875	$- 0.2969$	0.2246	$- 0.05151$