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相关试卷

1、为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积 $x$ （单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 80)$ ，已知其中有一套房源的数据为点 $P (100, 220)$ ，且 $∑_{i = 1}^{80} y_{i} = 17280$ ，根据数据求得的线性经验回归方程为 $\hat{y} = 1.8 x + 45$ ，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.956$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r < 0$ B、数据点P对应的残差的绝对值为5 C、该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D、乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程 $\hat{y} = 2.5 \ln (x + 10) + 30$ ，其决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.872$ ，则甲机构选取的模型拟合效果更好

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A (2, 2 \sqrt{2})$ ，则焦点到准线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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3、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ B C D$ 中 $B C ⊥ B D$ 且 $B D = 2$ ．

(1)、若 $P$ 是 $A B$ 的中点，且 $C P ⊥ A D$ ，求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、在（1）的条件下求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积；

(3)、设二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $α$ ，求 $\cos α$ 的最小值．

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4、已知点 $M$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左､右焦点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，点 $N$ 在 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线上， $O$ 为原点，
$O N / / M F_{1}$ ， $|O N| = \frac{c}{4}$ ，其中 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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5、若 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = 2 \sqrt{2} - 1$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩$ 的值为.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 b \cos C + 3 c \cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(3, 3 \sqrt{2})$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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7、下列说法中不正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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8、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $|a| < 3$ 且 $|b| < 3$ ”是“ $a^{2} + b^{2} < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、复数 $z = i (1 - i)$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知集合 $A = \{x \in N |- 2 < x < \frac{16}{3}\}$ ，集合 $B = {- 1, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、定义：如果函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系.

(1)、判断函数 $f (x) = 4^{x} - 8$ 和 $g (x) = 2^{x + 1}$ 是否具有C关系；

(2)、若函数 $f (x) = \ln x - a x - 1$ 和 $g (x) = 1 - x^{2}$ 不具有C关系，求a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = x (e^{x} - 1)$ 和 $g (x) = x + m \sin x (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上具有C关系，求m的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + a e^{- x} (x \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，求方程 $f (x) = x$ 的解的个数；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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13、甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果独立．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

(2)、比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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14、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{x})}^{m} \leq {(\frac{1}{27})}^{x}$ 有正整数解，则实数m的最小值为．

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15、若 ${(x - \frac{a}{x})}^{8}$ 的二项展开式中 $x^{6}$ 的系数是 $- 16$ ，则实数 $a$ 的值是．

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16、甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件 $A_{i} (i = 0, 1, 2)$ 表示从甲罐中取出的2个球中含有 $i$ 个红球， $B$ 表示从乙罐中取出的球是红球，则（）

A、 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 两两互斥 B、 $P (B| A_{2}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、 $B$ 与 $A_{1}$ 不相互独立

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17、函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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18、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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19、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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