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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} (n \geq 3)$ ，定义：集合 $M = \{(a_{i}, a_{j}) ∣ i < j, \exists p, q$ ，使得 $a_{j} - a_{i} = \frac{1}{2} (a_{q} - a_{p})\}$ ，并记该集合的元素个数为 $|M|$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2^{n - 1} (1 \leq n \leq 3)$ ，则 $|M| = 2$ B、若 $a_{n} = 2 n - 1 (1 \leq n \leq 4)$ ，则 $|M| = 3$ C、存在数列 $\{a_{n}\}$ ，其中有一项 $a_{i} (2 \leq i \leq n - 1)$ 能使得 $(a_{1}, a_{i}) \in M$ 且 $(a_{i}, a_{n}) \in M$ D、若任取数列 $\{a_{n}\}$ 的两项 $a_{i}, a_{j} (i < j)$ ， $(a_{i}, a_{j})$ 恰好是 $M$ 元素的概率大于 $\frac{4}{5}$ ，则 $n > 8$

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2、抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $M = \{1, 2\}$ ，事件 $N = \{2, 3, 4\}$ ，则（）

A、 $M$ 与 $N$ 是互斥事件 B、 $M$ 与 $N$ 是相互独立事件 C、 $P (M ∣ N) = P (N ∣ M)$ D、 $P (\bar{M} N) + P (M \bar{N}) = \frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = sin x (cos x + a sin x)$ ，则存在实数 $a$ ，使得（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最大值为0

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 在第二象限且在双曲线的渐近线上， $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，线段 $P F_{2}$ 的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（）

A、 $4$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x ， y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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6、已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $tan θ =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[1, 4]$

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8、已知 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数， $\bar{z} \cdot i = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $-i$ C、1 D、 $- 1$

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9、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\} ， B = \{x |ln x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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10、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = \frac{1}{4}, S_{n} + \frac{1}{2^{n}} = a_{n} cos n π$ ．

(1)、求 $a_{3}$ 和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{|a_{n}|}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{8} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{4^{n}} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{2 k}} < \frac{1}{6}$ ．

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12、“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

20

女生
15

合计

100

(1)、根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $y = \frac{- 1}{x}$ 相交于点 $R (x_{0}, y_{0})$ ．

(1)、若 $y_{0} = - 2$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的准线方程；

(2)、记直线l： $y = k x + b$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别切于点M、N，当p变化时，求证： $△ R M N$ 的面积为定值，并求出该定值．

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14、某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 $x (mm)$
38
48
58
68
78
88
质量 $y (g)$
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290

(1)、若按照检测标准，合格产品的质量 $y (g)$ 与尺寸 $x (mm)$ 之间近似满足关系式 $y = c \cdot x^{d}$ （c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

(2)、已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为 $z = 2 y - 0.32 x$ ，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i} \cdot \ln y_{i}) = 75.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i}) = 24.6$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln y_{i}) = 18.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(\ln x_{i})}^{2} = 101.4$ .
（2）参考公式：对于样本 $(v_{i}, u_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，其回归直线 $u = \hat{b} \cdot v + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{1}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ ， $e \approx 2.7182$ .

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15、如图，正方形 $A B C D$ 和矩形 $A B E F$ 所在的平面互相垂直，点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 及其内部运动，点 $Q$ 在矩形 $A B E F$ 及其内部运动．设 $A B = 2$ ， $A F = \sqrt{2}$ ，若 $P A ⊥ P E$ ，当四面体 $P A Q E$ 体积最大时，则该四面体的内切球半径为．

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16、已知 $(2 x - 1) {(x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．（用数字作答）

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17、已知O为坐标原点，在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点E，F，使得 $△ O E F$ 是边长为4的正三角形，则 $p =$ ．

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18、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 中点， $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $M^{'}$ 分别为 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 在 $l$ 上的射影，且 $|A F| = 3 |B F|$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A^{'} B^{'}| = 2 |M^{'} F|$ C、 $A$ 、 $A^{'}$ 、 $M^{'}$ 、 $F$ 四点共圆 D、直线 $A B$ 的方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$

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19、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 2$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 122$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{8} + \frac{a_{4}}{16} + \frac{a_{5}}{32} = 1$

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20、（多选）已知 $f (2 x + 1) = x^{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 3) = 4$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{4}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (3) = 9$

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尺寸 $x (mm)$	38	48	58	68	78	88
质量 $y (g)$	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		20
女生	15
合计			100

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828