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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、空间中有相互垂直的两条异面直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，点 $A 、 B \in l_{1},_{} C 、 D \in l_{2}$ ，且 $A B = 4, C D = 1$ ，若 $D A ⊥ D B$ ，且 $A C = B C + 2$ ，则二面角 $D - A B - C$ 平面角的余弦值最小为.

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3、某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为 $x$ 元 $（ 8 \leq x \leq 11 ）$ 时，一年的销售量为 $（ 12 - x ）^{2}$ 万件，则每件产品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）

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4、有 $3$ 件商品的编号分别为 $i (i = 1, 2, 3)$ ，它们的售价（元） $S (i) \in \{5, 7, 8, 10, 11, 20\}$ ，且满足 $S (1) \leq S (2) \leq S (3)$ ，则这 $3$ 件商品售价的所有可能情况有种.

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5、已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $S_{△ A C D} = 2 S_{△ A B D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为.

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6、已知圆柱的底面积为 $9 π$ ，侧面积为 $18 π$ ，则该圆柱的体积为.

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7、已知函数 $y = a^{x + 1} - \log_{a} (x + 2) + 1_{} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为

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8、 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.

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9、若函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + 3 x + (2 - n)$ 是奇函数，则 $m + n$ =

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 ， x < 1, \\ f (x - 2) ， x \geq 1. \end{array}$ 则 $f (4)$ =.

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11、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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12、 $i$ 是虚数单位，则 $|1 + i| =$ ．

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13、设曲线 $C : x^{3} - x y - y^{3} = 1$ ．

(1)、求证： $C$ 关于直线 $y = - x$ 对称；

(2)、求证： $C$ 是某个函数的图象；

(3)、试求所有实数 $k$ 与 $m$ ，使得直线 $y = k x + m$ 在 $C$ 的上方．

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14、如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = A A_{1} = 1$ ；在直三棱柱 $A A_{1} A_{2} - B B_{1} B_{2}$ 中， $∠ A A_{1} A_{2} = 90^{\circ}$ ．直线 $B_{2} B_{1} ， B_{2} B$ 分别交平面 $A C C_{1} A_{1}$ 于点 $P, Q$ ．

(1)、求证： $B_{1} B / / P Q$ ；

(2)、若 $∠ A_{2} A A_{1} = ∠ B A C = α$ ，则
（i）当 $α = 45^{\circ}$ 时，求线段 $P Q$ 的长度；
（ii）当平面 $A B B_{2} A_{2}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角与 $α$ 互余时，求 $sin α$ 的值．

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15、抛物线 $C_{1} : x^{2} = 2 p_{1} y$ 与 $C_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ 的焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $A (4, m) (m > 0)$ 为 $C_{1}, C_{2}$ 的一个交点，且 $|A F_{2}| = 5$ ．

(1)、求 $p_{1}, p_{2}, m$ 的值；

(2)、 $P, Q$ 是 $C_{1}$ 上的两点，若四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ （按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 n - 1, n \in N^{*}$ ．

(1)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n} = a_{n} + n$ ，试判断 $\{b_{n}\}$ 是否是等比数列，并说明理由；

(2)、数列 $\{c_{n}\}$ 满足： $c_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos C (a cos B + b cos A) = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $C D = 2 ， B D = A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18、已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于； $A$ 为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点 $A$ 出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点 $A$ ，则爬行的最短距离为．

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $A C$ 的中垂线交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $△ A B M$ 的面积的最大值是．

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20、2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种．

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