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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ （异于 $O$ ）在抛物线 $E$ 上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，曲线 $E$ 在点 $A$ 处的切线为 $l$ ，且 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．下列说法正确的是（）

A、 $C$ 为OB的中点 B、 $△ A C F$ 可能为锐角三角形 C、若 $∠ C A F \leq 45^{°}$ ，则四边形ABCF的面积不小于 $\frac{3}{2}$ D、若 $l$ 与圆心在 $y$ 轴上的圆 $D$ 相切于点 $A$ ，且 $∠ D A F = 60^{°}$ ，则 $D (0, 5)$

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G，H，M，N分别是棱 $A B, B C, A_{1} B_{1}, B B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}, C C_{1}$ 的中点．下列说法正确的是（）

A、直线EF、MN、CD相交于同一点 B、GN和MH是异面直线 C、若点 $K$ 在直线 $A B_{1}$ 上，则 $C K / /$ 平面EFH D、E，F，G，H，M，N在同一个球面上

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3、某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．
成绩／分
5
6
7
8
9
10
人数
8
7
10
7
关于这40名学生的成绩，则（）

A、众数为9 B、极差为5 C、第30百分位数为6 D、平均数小于中位数

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4、将函数 $f (x) = \sin 2 x - \cos (x - \frac{π}{2}) (x > 0)$ 的零点从小到大排列构成数列 $\{x_{n}\}$ ，则 $\{x_{n}\}$ 的前8项和为（）

A、 $10 π$ B、 $14 π$ C、 $16 π$ D、 $18 π$

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5、已知双曲线 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上，且其中一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $a_{5} - a_{1} = 15, a_{4} - a_{2} = 6$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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7、5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（）

A、 $4^{5}$ B、 $5^{4}$ C、 $A_{5}^{4}$ D、 $C_{5}^{4}$

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2, 1), \vec{a} - \vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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9、已知 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a b \leq 1$ ”是“ $a + b = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $B = \{x |\sqrt{x} < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{x |0 < x < 4\}$

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11、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、 $- 1$

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12、如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面SFD；

(2)、当F是边BC的中点时，二面角 $D - S E - F$ 的大小；

(3)、若 $B F > 1$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值.

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13、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2024}$ 均为正实数，则 $x_{1} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{4}}{x_{1} x_{2} x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{2024}}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2023}} + \frac{4}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2024}}$ 的最小值为.

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14、已知 $sin θ, cos θ$ 是方程 $x^{2} - 2 sin α \cdot x + {sin}^{2} β = 0$ 的两个实根， $\cos 2 α \neq 0$ ，则 $\frac{\cos 2 β}{\cos 2 α} =$ ．

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15、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，其外接球的球心为 $O$ ．点 $E$ 满足 $\overset{⃑}{A E} = λ \overset{⃑}{A B}$ $(0 < λ < 1)$ ，过点 $E$ 作平面 $α$ 平行于 $A C$ 和 $B D$ ，设 $α$ 分别与该正四面体的棱 $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 相交于点 $F$ ， $G$ ， $H$ ，则（）

A、四边形 $E F G H$ 的周长为定值 B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 为正方形 C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $α$ 截球 $O$ 所得截面的周长为 $\frac{13}{4} π$ D、四棱锥 $A - E F G H$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3} \sqrt{2}$

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16、已知在一次随机试验 $E$ 中，定义两个随机事件 $A$ 和 $B$ ，若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{3}{4}$ B、若 $A$ 、 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{1}{2}$ C、 $0 \leq P (A B) \leq \frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{3} \leq P (A + B) \leq \frac{7}{12}$

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17、已知函数 $f (x) = e x + π, g (x) = {(\frac{π}{e})}^{x}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π}, eπ)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π}, eπ), f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π}, + \infty)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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18、下列命题中，错误的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x < 1)$ 的最大值为 $- 1$ B、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $x = 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个实数根”的充要条件是“ $a + b + c = 0$ ” D、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ 都不为0，不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 的解集为 $M$ ，不等式 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集为 $N$ ，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“ $M = N$ ”的充要条件

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19、已知双曲线E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ， $M (1, 1)$ 是一个定点．

(1)、若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；

(2)、若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
（i）当M是 $△ O P Q$ 的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
（ii）当 $O P ⊥ O Q$ 时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．

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20、某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.

(1)、求顾客第2次取出红球的概率.

(2)、记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).

(3)、该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 $\frac{3}{4} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{2} ，$ 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由.

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成绩／分	5	6	7	8	9	10
人数			8	7	10	7