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相关试卷

1、若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为．

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2、设正整数 $m = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + \dots + a_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + a_{n} \cdot 2^{n}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，记 $S (m)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为1的个数．例如： $5 = 1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{2}$ ，所以 $S (5) = 2$ ．已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 2^{n} - 1\}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $S (20) = 2$ B、对任意的 $m \in A$ ，有 $S (m) + S (2^{n} - m) = n$ C、若 $m \in A$ ，则使 $S (m) = k (k \in N^{*}, 1 \leq k \leq n)$ 成立的 $m$ 的取值个数为 $C_{n}^{k}$ D、 $\sum_{m = 1}^{2^{n} - 1} S (m) = n \cdot 2^{n - 1}$

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3、已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
$0.36$
$1 - 2 q$
$q^{2}$
下列说法正确的是（）

A、 $q = 1.8$ B、 $q = 0.2$ C、 $E (X) = 0.68$ D、 $D (X) = 0.2976$

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4、下列说法正确的是（）

A、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B、在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C、样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D、用决定系数 $R^{2}$ 来比较两个模型的拟合效果． $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

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5、下列四组数据中，方差最小的为（）

A、31，22，39 B、30，46，25 C、40，18，30 D、37，42，33

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6、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 3 cos x}{1 - x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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7、下列命题错误的是（）

A、有一组数据为 $3$ 、 $3$ 、 $8$ 、 $4$ 、 $2$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $18$ ，则它们的第 $50$ 百分位数为 $5.5$ B、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、设 $ξ ~ N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ D、随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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8、下列说法正确的是（）

A、中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B、从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C、一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D、从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60

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9、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{4} = 0$ ， $a_{5} = 5$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ B、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$ C、 $a_{n} = 3 n - 10$ D、 $a_{n} = 2 n - 5$

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10、下列图中，线性相关性系数最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、计算 $C_{7}^{5} + 2 A_{5}^{2}$ 的值是（）

A、41 B、61 C、62 D、82

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12、如图1，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M是边BC上的一点，将 $△ A B M$ 沿着AM折起，使点B到达点P的位置.

(1)、如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： $C N ∥$ 平面PAM；

(2)、如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： $C D ⊥$ 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 $P - H C D$ 的外接球的体积最大，并求出最大值.

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $cos C + 2 cos B cos (\frac{π}{3} + A) = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径 $R = \sqrt{3}$ .
（i）作角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C} (m, n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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14、某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对 $A, B$ 类每个问题的答对的概率均为0.5.在 $A$ 类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在 $B$ 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)、求小明在第一轮得40分的概率；

(2)、求小红两轮总分得60分的概率；

(3)、试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，且 $A B = A D = 4, B C ⊥ C D, P B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；

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16、在 $△ A B C$ 中， $a^{2} = b^{2} - c^{2} + \frac{2}{3} a c$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = 2 \sqrt{7}$ ；条件②： $a \sin A = \sqrt{3}$ ；条件③： $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 9$ ，则 $|\vec{E F}| =$ ．

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18、一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.

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19、若向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是棱 $A D, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $E F ⊥ B_{1} C$ B、直线 $F G$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $B - E F G$ 的体积为 $\frac{5}{6}$ D、过 $E, F, G$ 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形

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X	0	1	2
P	$0.36$	$1 - 2 q$	$q^{2}$