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相关试卷

1、点 $M$ 是圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 上的动点， $F_{2}$ 是点 $F_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，线段 $M F_{2}$ 的中垂线交线段 $M F_{1}$ 于点 $P$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .过 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于 $G, H$ 两点，设直线 $F_{2} G, F_{2} H$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $R, Q$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $R Q$ 过定点.

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中 $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 120^{\circ}$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2, A A^{'} = 4$ ，点 $M$ 为 $D D^{'}$ 的中点.

(1)、求 $B M$ 的长；

(2)、已知 $E$ 为 $C C^{'}$ 上的动点，若 $A E ⊥ B M$ ，求 $C E$ 的长.

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3、已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上，且点 $A (1, 5), B (4, 2)$ 在圆 $M$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若斜率为2的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $D, E$ 两点，且 $|D E| = 4$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 以 $F_{2}$ 为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点 $A$ ，记 $λ = \frac{sin ∠ A F_{2} F_{1}}{sin ∠ F_{1} A F_{2}}$ ，若 $λ > \frac{7}{4}$ ，则椭圆的离心率取值范围是．

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5、在空间直角坐标系中，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c)$ 为法向量，可得平面的点法式方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .若已知平面 $α$ 的点法式方程为 $- 2 (x - 2) + y + 2 (z - 3) = 0$ ，则点 $P (3, 2, 6)$ 到平面 $α$ 的距离为.

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6、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $B D = 2 \sqrt{3}, A D = 3, C D = 4, ∠ A = ∠ C B D = 90^{\circ}$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，下面正确的是（）

A、 $P$ 为线段 $B D$ 上的动点，则 $P A + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{13}$ B、异面直线 $B C_{1}$ 与 $A D$ 所成角的余弦值取值范围是 $[0, \frac{1}{2})$ C、若平面 $C_{1} B D ⊥$ 平面 $A B D, M$ 在三角形 $C_{1} A D$ 内部， $B M = \frac{\sqrt{133}}{7}$ ，则 $M$ 轨迹长度为 $2 π$ D、当三棱锥 $C_{1} - A B D$ 的体积最大时，三棱锥 $C_{1} - A B D$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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7、若方程 $\frac{x^{2}}{8 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线，则该双曲线（）

A、满足 $m > 8$ 或 $m < 4$ B、焦距为 $4$ C、渐近线斜率可以是 $2$ D、不可能是等轴双曲线

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8、已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，下列判断正确的是（）

A、直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为3 B、圆心 $C$ 的坐标为 $(1, 0)$ C、直线 $l$ 与圆相交 D、圆 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离最大为 $\sqrt{2} + 1$

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9、双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $F M$ 的中垂线与 $x$ 轴交于点 $P (4, 0)$ ，则 $M$ 的横坐标为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x, P$ 为 $C$ 上的动点， $Q$ 为圆 $M : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l : x = - 1$ 的距离与 $|P Q|$ 之和的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、若直线 $l : k x - y - 2 = 0$ 与曲线 $C : x = \sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} + 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, 4)$ B、 $(\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，若 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{2} A} = 0$ ，且 $|A F_{2}| = 3 |B F_{2}| = 3$ ，则椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{18} = 1$

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13、已知 $m, n$ 为两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n$ $∥$ $β, α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $n$ B、若 $m ⊥ α, n$ $∥$ $β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $β, m$ $∥$ $n$ 则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ 则 $α ⊥ β$

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14、已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (- 1, 3, 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, - 1, 2)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、 $- 1$

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15、点 $P (1, - 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 1, - 2, 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(1, - 2, - 3)$ D、 $(- 1, 2, 3)$

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16、已知函数 $f (x) = 2^{2 x} + 2 k \cdot 2^{x} + 1$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 3$ ，求 $k$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若不等式 $f (x) \leq \frac{2^{x}}{a} - 8$ 有实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知集合 $A = \{x | 2 - a \leq x \leq 2 + a\}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A ⊈ ∁_{R} B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 2 a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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19、求值： ${0.008}^{- \frac{1}{3}} - {(π)}^{0} - \sqrt[4]{256} =$ .

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20、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.5] = - 4, [2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $g (x)$ 是偶函数 C、 $g (x)$ 的值域是 $\{- 1, 0\}$ D、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数

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