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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a = c \sin B + \sqrt{3} c \cos B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小：

(2)、若 $c = 4$ ， $a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 3 x + 2 y - 7 = 0$ .

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程.

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3、三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，点 $M$ 为 $P G$ 的中点，过点 $M$ 的平面分别交 $P A, P B, P C$ 于点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ，且 $\vec{P A} = x \vec{P A^{'}}, \vec{P B} = y \vec{P B^{'}}, \vec{P C} = z \vec{P C^{'}}$ ，且 $x > 0, y > 0$ ， $z > 0$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ 的最小值为．

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4、如图， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{5} - y^{2} = 1$ 的公共焦点，A、B分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C_{1}$ 的离心率是.

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5、记双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .若 $F_{2} (2, 0)$ ，以 $F_{1}$ 为圆心､4为半径的圆与 $E$ 的右支交于 $P, Q$ 两点，点 $M$ 为 $E$ 上一点，满足 $F_{1} M ⊥ F_{2} M$ ，则（）

A、离心率 $e = 2$ B、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ C、 $|M P| - |M Q| < 4$ D、 $cos ∠ P F_{1} Q = \frac{17}{32}$

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6、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（）

A、 $A D ⊥ D C_{1}$ B、 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、 $V_{D - A B_{1} A_{1}} = \frac{1}{12}$ D、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球表面积为 $\frac{7}{3} π$

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7、下列说法正确的是（）

A、已知一组数据 $1, 2, 3, 3, 4, 5$ 的众数大于中位数 B、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是0.1 C、甲乙丙三种个体按 $3 : 1 : 2$ 的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 D、数据 $12, 14, 15, 17, 19, 23, 27, 30$ 的第70百分位数是21

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8、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若圆 $C : {(x - a + 1)}^{2} + {(y - a - 2)}^{2} = 1$ 上存在点 $M$ 满足 $|\vec{M A} + \vec{M B}| = 4$ ，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、－3 B、－2 C、0 D、1

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9、已知直线 $l : x - y + 3 = 0$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 交于A，B两点，点 $P (1, 4)$ 是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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10、已知 $α \in (0, π), tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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11、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ ，设 $p : 2 < m < 6$ ， $q :$ 曲线 $C$ 是焦点在坐标轴上的椭圆，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用 $α$ 粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望 $α$ 粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分 $α$ 粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的 $α$ 粒子遵循双曲线一支的路径，如果 $α$ 粒子的路径经过点 $(20, 10)$ ，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、10 D、11

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13、两条平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x - 8 y + 9 = 0$ 间的距离为（）

A、 $1$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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15、已知集合 $A = \{(x, y) ∣ x - y + 1 = 0\}, B = \{(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} = 3\}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无法确定

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16、已知函数 $f (x) = x + k \ln (1 + x) (k \neq 0)$ ，直线 $l$ 是函数 $y = f (x)$ 在 $x = t (t > 0)$ 处的切线.

(1)、当 $k = - 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、求证：直线 $l$ 不经过原点；

(3)、当 $k = 1$ 时，设点 $A (t, f (t)) (t > 0)$ 、 $C (0, f (t))$ 、 $C (0, 0)$ 、 $B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点， $S_{△ A C O}$ 与 $S_{△ A B O}$ 分别表示 $△ A C O$ 和 $△ A B O$ 的面积.是否存在点 $A$ 使得 $2 S_{△ A C O} = 15 S_{△ A B O}$ 成立，若存在，这样的点 $A$ 有几个？若不存在，请说明理由.

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17、树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 $80 %$ ．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组 $[15, 25)$ ，第2组 $[25, 35)$ ，第3组 $[35, 45)$ ，第4组 $[45, 55)$ ，第5组 $[55, 65)$ ，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求出 $a$ 的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.

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18、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1$ ，高为 $2$ ，点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点（点 $M$ 与 $C$ 、 $C_{1}$ 均不重合）.

(1)、当点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证：直线 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} M D_{1}$ ；

(2)、当 $D_{1} M ⊥ A B_{1}$ 时，求点 $D_{1}$ 到平面 $A M B_{1}$ 的距离.

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19、已知 $f (x) = x^{2} - a |x| + \frac{1}{x^{2} + 1} + a - 1$ ，且函数 $y = f (x)$ 有且仅有一个零点.若方程 $f (x) = k$ 无解，则实数 $k$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、投掷一枚均匀的骰子，若事件 $A$ 表示“掷出 $3$ 的倍数”，事件 $B$ 表示“掷出偶数”，事件 $C$ 表示“掷出合数”，则与事件 $A$ 独立的事件是（）.

A、是 $B$ 和 $C$ B、只有 $B$ C、只有 $C$ D、不存在

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