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相关试卷

1、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 3^{x} + 3^{- x} + \log_{2} \frac{2 - x}{2 + x}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $m$ 的不等式 $g (m^{2} - 1) < g (m + 1)$ 的解集；

(3)、存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in [0, a] (0 < a < 2)$ 满足 $5 |g (x_{1}) - f (x_{2})| < 3 f (x_{3})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求方程 $g (x) = 1$ 在区间 $[0, π]$ 上所有实根的和.

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3、如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米.

(1)、若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时 $x$ ， $y$ 的值．

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4、已知 $\tan α = 2$ ， $α$ 为锐角．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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5、以 $\max \{a, b, c\} (a, b, c \in R)$ 表示集合 $\{a, b, c\}$ 中最大的数，设 $0 < x < y < z < 1$ ，已知 $y \geq 3 x$ 或 $3 x + y \leq 1$ ，则 $\max \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最小值为.

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6、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 有两个实数根，一个根比 $1$ 小，另一个根比 $1$ 大，则实数 $m$ 的取值范围为.

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7、已知扇形的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的弧长为.

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8、已知 $f (x) = \sin 3 x - \sin 2 x$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的两个零点，则（）

A、 $\sin x_{1} \cdot \sin x_{2} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\cos x_{1} \cdot \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$ C、 $\sin x_{1} + \sin x_{2} < \frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

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9、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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10、已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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11、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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12、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、函数 $f (x) = 2^{x}$ 与 $g (x) = \log_{2} x$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、坐标原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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14、下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同定义域的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $y = \sqrt{- x}$

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15、已知集合 $A = \{2, 3, 4\}, B = \{x |1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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16、已知函数 $f (x) = x + \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + a$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x - m$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①求实数 $m$ 的范围，试比较 $x_{1} + \frac{1}{x_{1}}$ 与 $x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ 的大小关系，并说明理由；
②证明： $\ln (n + 1) < \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ .

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17、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的一个极值点是 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(a, a + 4)$ 上存在最大值，求实数 $a$ 的范围；

(3)、过点 $(0, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $m$ 的范围.

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19、已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中按 $x$ 的降幂排列的第3项；

(3)、求展开式中项的系数最大的项.

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20、（1）求值：① $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ ；
② $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
（2）求证： $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ ；

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