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相关试卷

1、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $(n + 1) S_{n + 1} = (n + 2) S_{n} + n (n + 1) (n + 2)$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{1} = - 50$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{4} < 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为8

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2、下列说法中正确的是（）

A、具有相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，那么 $| r |$ 越接近于0，则 $x$ ， $y$ 之间的线性相关程度越高 B、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C、数据 $144$ ， $145$ ， $145$ ， $146$ ， $148$ ， $151$ ， $151$ ， $153$ ， $154$ ， $155$ ， $157$ ， $163$ 的上四分位数是154 D、设随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ， $a$ 是不等于 $μ$ 的常数，则 $X$ 相对于 $μ$ 的偏离程度小于 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度

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3、若函数 $f (x)$ 的定义域内存在 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) - 1 = 1 - f (x_{2})$ 成立，则称该函数为“完备函数”.已知 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (ω x - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{4 π}{3}) (ω > 0)$ 是 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上的“完备函数”，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[3, 4)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[2, 4)$ D、 $[3, + \infty)$

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4、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的焦距为 $m$ ，过右顶点的直线 $l$ 与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{8} m$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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5、广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形）， $P$ 为第一层下底面四边形的外接圆 $O$ 内一点，经测算，每一层的高度恰为过 $P$ 的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点 $P$ 的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点 $P$ 的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为 $5 \sqrt{2}$ 米， $| O P | = 3$ 米，则塔高为（）

A、41米 B、40.5米 C、39.5米 D、38.7米

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6、关于二项式 $(x^{2} - \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{6}$ ，若展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为21，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、-1

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7、三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D$ 为以 $B C$ 为直径的半圆圆周上的动点（不同于 $B$ 、 $C$ 的点）.若 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{5 π}{12}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）

A、 $y = 3^{x}$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x + \frac{3}{x}$

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10、已知集合 $A = \{x \in N | - 1 < x \leq 1\}$ ，集合 $B = \{x | x = \sin α, α \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素个数为（）

A、1 B、0 C、3 D、2

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11、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足当 $x \in R$ 时， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) > 0$ ，若 $a > b$ ，则有（）

A、 $f (a) g (a) = f (b) g (b)$ B、 $f (a) g (a) > f (b) g (b)$ C、 $f (a) g (a) < f (b) g (b)$ D、 $f (a) g (a)$ 与 $f (b) g (b)$ 的大小关系不定

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12、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N_{+})$ ．

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x)$ ， $f_{4} (x)$ ， $f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k$ ， $k \in N_{+}$ 时， $f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需要写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+}$ ，使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a (sin x + cos x) - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 9^{x} + 9^{- x} + m \cdot 3^{f (x)} - 1$ ， $x \in [0, {log}_{3} 2]$ 是否存在实数m使得 $g (x)$ 的最小值为0，若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 x) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x + a$ 的最大值为 $3 .$

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, π]$ 的单调递增区间；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, m)$ 上有9个零点，求实数m的取值范围.

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15、计算：

(1)、已知 $2^{a} = 3$ ， ${log}_{4} 3 = b$ ，求 $2^{a - 2 b}$ 的值；

(2)、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $sin (\frac{7 π}{6} + 2 α)$ 的值；

(3)、若正实数 $x, y, z$ 同时满足下列三个方程 ${log}_{2} (\frac{x}{y z}) = \frac{1}{2}$ ， ${log}_{2} (\frac{y}{x z}) = \frac{1}{3}$ ， ${log}_{2} (\frac{z}{x y}) = \frac{1}{4}$ ，求 ${log}_{2} (x^{2} y z)$ 的值.

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 所在直线上的点，且满足 $\vec{B M} = k \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = m \vec{C D}$ ，其中k， $m \in (- 1, 1)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A D}$ .

(1)、当 $k = \frac{1}{2}$ ， $m = \frac{1}{3}$ 时，用向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ ；

(2)、当 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $k = m$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围.

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17、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P, Q$ 分别为边 $A B, D A$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值为．

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足： $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (8) = 5$ ，则 $f (2025) =$ .

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19、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，则a的取值范围为.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{|sin x|} + \frac{1}{|cos x|}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$

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