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相关试卷

1、在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = e^{x}$ (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = g (2 x) - 2 a g (x) + a^{2} + 2$ ，若 $h (x)$ 在R上的最小值为6，求实数a的值.

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2、已知关于 $x$ 的不等式 $(m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 1 > 0, m \in R$ .

(1)、若不等式的解集为 $\{x| - 3 < x < 1\}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若不等式对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知集合 $A = \{x| a - 1 < x \leq 2 a\}, B = \{x| x^{2} + x - 6 \geq 0\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B, A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求实数a的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于x的方程 $a {[f (x)]}^{2} - (3 a + 1) f (x) + 5 = 0$ 有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.

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5、计算： $\log_{3} 18 - \log_{3} 2 + \log_{3} 2 \cdot \log_{2} 9$ $=$ .

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6、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (4) =$ .

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7、设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的非常数函数， $g (0) = 1$ .且对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $g (x)$ 为非零函数，则 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 为奇函数 C、若 $g (x) = e^{x}$ ，则 $f (4) = 4 e^{3} f (- 1)$ D、若 $f (x)$ 为奇函数且在 $R$ 上单调递增，则 $g (x) > 0$ 对任意 $x \in R$ 成立

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8、已知实数 $a, b$ 都是正数，且满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{a b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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9、下列说法中，正确的是（）

A、若 $m^{2} > n^{2}$ ，则 $| m | > | n |$ B、若 $m > n > 0, t > 0$ ，则 $\frac{m + t}{n + t} > \frac{m}{n}$ C、若 $\frac{m}{k^{2}} < \frac{n}{k^{2}}$ ，则 $m < n$ D、若 $m > n, k > t$ ，则 $m + k > n + t$

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10、已知函数 $f (x) = x |x - \frac{a^{2}}{x}| - 2 a^{2} x$ ，若当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) < 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $（ - \infty, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}] \cup [\frac{2 \sqrt{5}}{5}, + \infty)$ B、 $（ - \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}]$

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11、若实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $2^{x} - 2 = 5^{y} - 5 = 7^{z} - 7$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系不可能是（）

A、 $x = y = z$ B、 $z > x > y$ C、 $z > y > x$ D、 $x > y > z$

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12、已知函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上是增函数， $y = f (x + 2)$ 关于y轴对称，若 $f (t) - f (3 - 2 t) > 0$ 成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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13、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + x + 3)$ 的定义域为（）

A、 $（ - \infty, - 1)$ B、 $(- 1, \frac{3}{2})$ C、 $（ \frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $（ - \infty, - 1) \cup$ $（ \frac{3}{2}, + \infty)$

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14、函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、命题“ $\forall x \in R, |x| + 1 \geq 1$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R, |x| + 1 < 1$ B、 $\forall x \in R, |x| + 1 \leq 1$ C、 $\exists x \in R, |x| + 1 \geq 1$ D、 $\exists x \in R, |x| + 1 < 1$

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .定义第 $n (n \geq 1, n \in N)$ 次操作为：经过 $C$ 上的点 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于另一点 $B_{n}$ ，记 $B_{n}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A_{n + 1}$ ，若 $A_{n + 1}$ 与 $B_{n}$ 重合，则操作停止；否则一直继续下去.

(1)、若 $a = 2, b = 1, A_{1} (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), k = \frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ；

(2)、若 $a = 5, b = 4$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，且位于 $x$ 轴的上方， $F_{1} 、 F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $△ P F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若 $k = - \frac{b}{a}, A_{1}$ 是 $C$ 在第一象限与 $A (\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ 不重合的一点，求证： $△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2}$ 的面积为定值，并求出该定值.

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18、已知拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 是抛物线上任意一点，过点 $P$ 作拋物线 $C$ 的切线，该切线与 $x$ 轴交于点 $Q$ .

(1)、求抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，求 $△ P F Q$ 的面积；

(3)、证明： $|P F| = |F Q|$ .

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19、已知圆心为 $C$ 的圆经过 $A (2, 2), B (6, - 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x - 2 y - 6 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $P (0, 4)$ ，且被圆 $C$ 所截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线的方程.

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = 2, A A_{1} = 3$ .

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知点 $P$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，求四面体 $P A C B_{1}$ 的体积.

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