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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin C - c sin A cos B - \sqrt{3} b sin A sin C = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3, b = 7$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求线段 $B D$ 的长．

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2、为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： $[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75, 80), [80, 85), [85, 90)$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求这100户居民问卷评分的中位数；

(3)、若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在 $[65, 70)$ 和 $[70, 75)$ 内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在 $[65, 70)$ 内的概率．

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3、中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2， $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 $90 °$ ，则图中平面 $A_{1} C D_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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4、若直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{n} = (3, - \sqrt{3})$ ，则 $l$ 的倾斜角大小为．

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5、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、三棱锥 $B - A D P$ 的外接球的表面积为 $\frac{9 π}{4}$ C、直线 $D P$ 与直线 $A C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么 $Q$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，点 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆两焦点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，过点 $P$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线 $l$ ，过椭圆的焦点作直线 $l$ 的垂线，垂足是 $Q$ .现有一条长度为4的线段 $M N$ 在直线 $m : x - y + 4 = 0$ 上运动，且始终满足 $∠ M Q N$ 为锐角，则（）

A、点 $Q$ 的轨迹方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、点 $Q$ 有可能在以 $M N$ 为直径的圆上 C、点 $Q$ 不可能在直线 $m$ 上 D、线段 $M N$ 的中点的纵坐标的取值范围是 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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7、已知甲组数据为： $2, 3, 4, 4, 6, 8, 8$ ，乙组数据为： $1, 4, 4, 7, 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、这两组数据的第80百分位数相等 B、这两组数据的极差相等 C、这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变 D、甲组数据比乙组数据分散

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8、八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\vec{O A}| = 1$ 给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $|\vec{O A} - \vec{O C} |= \sqrt{2}| \vec{D H}|$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O D}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{e}$ （其中 $\vec{e}$ 为与 $\vec{O D}$ 同向的单位向量）

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9、当圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 截直线 $l : m x - 3 y - m + 9 = 0$ 所得的弦长最短时，实数 $m =$ （）

A、－1 B、 $- \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10、已知 $a > 0, b > 0$ ，两直线 $l_{1} : (a - 1) x - 2 y - 1 = 0, l_{2} : x - 3 b y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、12 B、20 C、26 D、32

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11、已知复数 $z$ 满足 $2 \bar{z} - z = 3 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 + 2 i$ D、 $- 3 - 2 i$

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12、已知平面 $α$ ， $β$ ，直线 $m$ ，且 $α ⊥ β$ ，则“ $m ⊥ α$ ”是“ $m$ ∥ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 6, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2, 6, - 3)$ B、 $(- 2, - 6, - 3)$ C、 $(2, 6, - 3)$ D、 $(2, 6, 3)$

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14、如图，已知圆 $M$ 的方程为 $x^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ，直线 $x = m y$ 与圆 $M$ 交于 $C (x_{1} ， y_{1})$ ， $D (x_{2} ， y_{2})$ （ $C$ 在上方），直线 $x = n y$ 与圆 $M$ 交于 $E (x_{3} ， y_{3})$ ， $F (x_{4} ， y_{4})$ （ $E$ 在上方）．原点 $O$ 在圆 $M$ 内．设 $C F$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ， $E D$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ．

(1)、当 $b = 0$ ， $r = \sqrt{5}$ ， $m = - \frac{1}{2}$ ， $n = 2$ 时，分别求线段 $O P$ 和 $O Q$ 的长度；

(2)、①求证： $\frac{y_{1} + y_{2}}{y_{1} y_{2}} = \frac{y_{3} + y_{4}}{y_{3} y_{4}}$ ；
②猜想 $|O P|$ 和 $|O Q|$ 的大小关系，并证明．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ 过椭圆的焦点以及点 $(0, - 2 \sqrt{3})$ .点P是椭圆 $C$ 上与左、右顶点不重合的点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (- 2, 0)$ 的直线 $m$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，且满足 $\overset{⃑}{O M} \cdot \overset{⃑}{O N} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{\tan ∠ M O N}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $m$ 的方程.

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16、如图， $A E ⊥$ 平面ABCD， $C F / / A E$ ， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = 2$ ， $A E = B C = 3$ ， $C F = 1$

(1)、求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(2)、求平面BDE与平面BDF的夹角．

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17、已知 $A (1, 1)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (4, 0)$ ．求：

(1)、BC边上的中线所在的直线方程；

(2)、AB边垂直平分线方程；

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18、已知椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .若 $A, B$ 分别是椭圆的上，下顶点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的上，下焦点， $P$ 为椭圆上任意一点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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19、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A_{1} A = 3$ ，则 $A_{1} C$ 的长为．

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20、已知点 $P (- 2 ， - 1)$ 到直线l： $(1 + 3 λ) x + (1 + 2 λ) y = 2 + 5 λ$ 的距离为d，则d的可能取值是（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{13}$ D、4

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