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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的两个焦点，点 $A (\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 上， $B$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $B N ⊥ x$ 轴，垂足为 $N$ ，且点 $P$ 为 $B N$ 的中点， $B M ⊥ y$ 轴，垂足为 $M$ ，且点 $Q$ 为 $B M$ 的中点，则（）

A、 $|A F_{1}| + |A F_{2}| = 4$ B、 $|A P|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $△ P O A$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、 $△ P O Q$ 面积的最大值为 $\frac{3}{8}$

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2、将函数 $f (x) = \sin ω x + 1 (ω > 0)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \cos ω x + 1$ 的图象．设函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是 $h (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12}, 2)$ 是 $h (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $h (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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3、已知函数 $f (x) = |ln x^{2}| - m$ 的四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，恰好成递增的等差数列，则m的值为（）

A、 $ln 3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} ln 3$

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4、已知复数 $z ＝ \frac{2 - i}{a + i}$ 为纯虚数，则 $|2 a + \sqrt{2} i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5、已知实数 $x, y$ 满足方程 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ ，则 $\frac{y + 2}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, 4]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $[2, 4]$

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6、如图在直角梯形ABCD中，已知 $\vec{D E} = \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ， $A B = 5, A D = 3$ ， $C D = 2$ ，则 $(\vec{A E} + \vec{A F}) \cdot \vec{A C} =$ （）．

A、22 B、24 C、20 D、18

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7、已知集合 $A = \{x |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ， $B = \{y |y = \cos x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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8、已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}, e$ 为自然对数的底数）.

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9、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} + a_{n} = 2 n + 2$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} - 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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10、若 ${(3 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 $x$ 的项的系数为．

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11、已知各项均为正数且单调递减的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3}$ ， $\frac{3}{2} a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 31$ ，则（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 5}$ B、 $a_{n} = 2^{n + 1}$ C、 $S_{n} = 32 - \frac{1}{2^{n - 5}}$ D、 $S_{n} = 2^{n + 4} - 16$

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12、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} + 1$ B、 $4 \sqrt{10} + 1$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{15}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在 $x \in (0, 2 π)$ ，使得 $f (x) \leq t$ 成立，则实数 $t$ 的最小值是（）

A、 $- π$ B、 $2 π$ C、 $- 1$ D、 $1$

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2, a_{5} = 10$ ，则 $a_{8} =$ （）.

A、 $12$ B、 $6$ C、 $20$ D、 $50$

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15、从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）

A、7条 B、12条 C、64条 D、81条

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16、给定正整数n（ $n \geq 3$ ），记集合 $S_{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) |x_{i} = 0$ 或 $1 (i = 1, 2, \dots, n)$ 且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \neq 0}$ .对于由 $S_{n}$ 中的三个元素组成的子集 $\{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}), (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})\}$ ，若满足对于任意 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ ， $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ 均为偶数，则称该三元子集具有性质T.

(1)、在 $S_{3}$ 的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）

(2)、证明：在 $S_{5}$ 的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；

(3)、在 $S_{2026}$ 的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{a x}$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、对于 $x \in (0, + \infty)$ ，讨论 $f (x)$ 与 $f (\frac{1}{x})$ 的大小；

(3)、当 $0 < a < 1$ 时，证明：方程 $f (x) = 1$ 存在两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} > 1$ .

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，点 $M (- 1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $N (- 3, 0)$ 的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记 $△ B P N$ 和 $△ B P F$ 的面积分别为 $S_{△ B P N}$ 和 $S_{△ B P F}$ ，求证： $S_{△ B P N} = S_{△ B P F}$ .

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19、随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.

(1)、在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；

(2)、从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ 、年参观文博馆总人次的方差为 $s_{3}^{2}$ ，给出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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20、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \sin (\frac{π}{2} + φ) + \cos 2 x \sin φ$ ，其中 $φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.
条件①： $f (\frac{π}{12}) = f (\frac{π}{4})$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, π)$ 上单调递减；
条件③：函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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