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相关试卷

1、实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 < a < 3$ ， $- 2 < b < - 1$ ，则 $2 a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(2, 7)$ D、 $(2, 5)$

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，若 $f (x) = \frac{1}{2}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$ 或 $\frac{9}{4}$

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3、下列关系中正确的个数是（）
① $\frac{1}{2} \in Q$ ② $\sqrt{2} \notin R$ ③ $0 \in N^{*}$ ④ $π \in Z$

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $O$ 是 $A D$ 中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C D, P O = \sqrt{3}, A B = 2$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、求证： $l / / A B$ ；

(2)、如图， $M \in l$ 且 $P M = 1$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、设四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球球心为 $Q$ ，点 $M \in l$ ，求直线 $Q M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值的最大值．

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5、某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件 $G$ 由2个电子元件组成．如图所示，部件 $G$ 是由元件 $A$ 与元件 $B$ 组成的串联电路，已知元件 $A$ ， $B$ 正常工作的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且元件 $A, B$ 工作是相互独立的．

(1)、求部件 $G$ 正常工作的概率；

(2)、为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件 $G$ 正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为 $p$ ，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件 $A$ 并联后，再与 $B$ 串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件 $A$ 并联，另一个和元件 $B$ 并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件 $G$ 正常工作的概率达到最大？

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6、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ 、第2组 $[25, 30)$ 、第3组 $[30, 35)$ 、第4组 $[35, 40)$ 、第5组 $[40, 45]$ ．

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；

(3)、若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．

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7、 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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8、已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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9、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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10、两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A, E$ 和点 $B, F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6, B F = 8, E F = 14$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $20$ 或 $12$ B、 $12$ 或 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ 或 $8 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$ 或 $20$

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11、某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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12、已知 $z$ 轴上一点 $M$ 到点 $A (1, 0, 2)$ 与点 $B (1, - 3, 1)$ 距离相等，则点 $M$ 的竖坐标为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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14、据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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15、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值 $;$

(2)、若函数 $g (x) = x f (x)$ ．
（i）证明：曲线 $y = g (x)$ 图象上任意两个不同的点处的切线均不重合．
（ii）若 $\exists x \in (- 1, + \infty)$ ，使得 $g (x + 1) - 2 x - 2 - 2 \sin x < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 2$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内恰有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、当 $ω = 1$ 时，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = 3, b + c = 2$ ，求边 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的图象是中心对称图形；

(2)、当 $i \in Z$ 时，求 $\sum_{i = - 11}^{10} f (i + \frac{1}{2})$ 的值.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若 $\frac{| M F |}{| N F |} = \frac{1}{2}$ ，则C的离心率为

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19、若函数 $f (x)$ 是周期为2的奇函数，当 $x \in (1, 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} + 1$ ，则 $f ({log}_{2} \frac{4}{3}) =$ .

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6 - \ln \frac{4 - x}{x}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (3) = 4$ B、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、当 $\sqrt{6} < x < 3$ 时， $f (x^{2} - 6) < f (x)$ D、当 $f (a) + f (b) > 4$ 时， $a + b > 4$

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