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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{9}{10}$ .

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2、 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x - 2) - f (- 2)}{Δ x} < 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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4、已知 $A, B$ 分别为曲线 $y = e^{x} + x + 1$ 和直线 $y = 2 x - 3$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5、若 $C_{12}^{m} = C_{12}^{m - 2}$ ，则 $C_{m}^{1} + C_{m}^{2} + \dots + C_{m}^{m}$ 的值为（）

A、63 B、64 C、127 D、128

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6、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (1) - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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7、某物体的位移 $y$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $S$ )满足函数关系式 $y = a \sin t - t$ ，其中 $a$ 为常数.若当 $t = 0$ 时，该物体的瞬时速度为 $1 m / s$ ，则当 $t = \frac{π}{2}$ 时，该物体的瞬时速度为（）

A、 $1 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $\sqrt{3} - 1 m / s$ D、 $\sqrt{3} + 1 m / s$

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8、某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有种．

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9、已知向量 $\vec{a}$ ＝（1，2）与向量 $\vec{b}$ ＝（m，3）满足 $\vec{a} ⫽ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ＝.

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10、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知正四面体 $S A B C$ 的四个顶点的坐标为 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2 \sqrt{6}, 0, 0)$ ， $C (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, 0)$ ， $S (m, n, t) (t > 0)$ ，点 $N (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 在四面体 $S A B C$ 外接球的球面上，且 $C N ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $H (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 在四面体 $S A B C$ 内切球的球面上，则下列结论正确的有（）

A、 $m n t = 8 \sqrt{3}$ B、 $|\vec{H N}|$ 的最大值是最小值的2倍 C、四面体 $S A B C$ 外接球的体积为 $108 π$ D、当 $|\vec{H N}|$ 取得最小值时，点 $H$ 的坐标为 $(\sqrt{6}, \frac{5 \sqrt{2}}{3}, \frac{4}{3})$

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11、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{3π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x + a, x \leq 1 \\ - \ln x + 2, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = b (b \in R)$ 恒有解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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13、圆锥的底面半径为 6 ，高为 6 ，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（）

A、 $4π$ B、 $8π$ C、 $16π$ D、 $32π$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则c为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或 $\frac{3}{2}$

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15、一组从小到大排列的数据： $2, 8, x, 18, 22$ .若它们的第60百分位数比平均数大2，则 $x$ 的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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16、已知集合 $A = \{x |2 x > 4\}$ ， $B = \{x |4 x + 3 \leq 15\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |2 < x \leq 3\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |1 < x \leq 5\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 5\}$

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17、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{4}, x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值；

(3)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0, 2 π]$ 上所有零点之和．

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19、已知 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z|$ =.

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20、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（用坐标表示）

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