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相关试卷

1、在平面直角坐标系中， $N (1, 0)$ ， $M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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3、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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4、两条平行线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为.

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5、给出以下命题，其中正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2, 1, - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α 、 β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0, 1, 3), \vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三个点 $A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C (- 1, 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1, u, t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = \frac{5}{3}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(0, 5)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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7、下列说法中，错误的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - a y - 2 = 0$ 经过定点 $(2, 0)$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程只有 $x + y - 2 = 0$

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8、平面四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 1)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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9、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 = 0$ ，则圆C的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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10、已知直线 $l$ 过 $A (- 1, 1)$ ， $B (- 1, 3)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{\frac{2}{x}} + a ln x + b (a, b \in R)$ .

(1)、 $x = \sqrt{2}$ 是否可以为 $f (x)$ 的极值点？请说明理由；

(2)、证明：若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上单调，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调；

(3)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 4$ .

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M$ 与焦点的距离为4，点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{3} p$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 为 $C$ 的准线上一动点，直线 $P O$ （ $O$ 为坐标原点）与 $C$ 交于另一点 $A$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线与 $C$ 交于点 $B$ .
①求证：直线 $A B$ 过定点；
②若 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2, P A = P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ ？若存在，试确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} a_{3} = a_{10}, a_{1} a_{4} = a_{13}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 ${log}_{2} b_{n} = - a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 满足 $sin A + \sqrt{3} cos A = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $∠ C = \frac{π}{4}, ∠ C A B$ 的角平分线交线段 $B C$ 于点 $D, A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、计算 ${sin}^{2} 18^{\circ} + {cos}^{2} 48^{\circ} + sin 18^{\circ} cos 48^{\circ}$ 的值为.

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17、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, S_{3} = 7$ ，则 $a_{5} =$ .

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18、如图，直二面角 $A - C D - F$ 中， $O \in C D$ ，动平面 $M N O$ 分别交平面 $A B C D$ 和平面 $C D E F$ 于直线 $O M$ ､直线 $O N, ∠ N O M = \frac{π}{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、平面 $C D E F$ 内不存在与平面 $M N O$ 平行的直线 B、平面 $A B C D$ 内存在无数条直线与平面 $M N O$ 垂直 C、当平面 $M N O$ ，平面 $A B C D$ ，平面 $C D E F$ 两两垂直时，它们的交线也两两垂直 D、直线 $O M$ ，直线 $O N$ 中至少有一条与直线 $C D$ 垂直

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19、某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与 $A$ 商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（）
第 $n$ 年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
居民年收入/亿元
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
$A$ 商品销售额/万元
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0

A、居民年收入的第75百分位数是43.0亿元 B、 $A$ 商品销售额的平均数是40.1万元 C、居民年收入介于35到40亿元占比 $40 %$ D、A商品销售额与居民年收入成正线性相关

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20、如图，正四面体容器 $A B C D$ 的容积为 $V$ ，里面装了体积为 $\frac{3}{4} V$ 的水，固定容器底面一边 $C D$ 将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点 $B$ 且与棱 $A C, A D$ 分别交于点 $M, N$ ，则平面 $B M N$ 与平面 $B C D$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{33}$ D、 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$

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第 $n$ 年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
居民年收入/亿元	32.2	31.1	32.9	35.8	37.1	38.0	39.0	43.0	44.6	46.0
$A$ 商品销售额/万元	25.0	30.0	34.0	37.0	39.0	41.0	42.0	44.0	48.0	51.0