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相关试卷

1、如图多面体中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B / / C D / / E F$ ， $C D = E F = 1, A B = A D = A F = 2, ∠ B A D = ∠ B A F = \frac{π}{2}$ ，且 $M$ 为棱 $B E$ 中点.

(1)、证明： $A B ⊥ C E$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $C E B$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $F - A C D$ 的外接球半径.

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ ，直线 $l$ 过点 $(2, 1)$ .

(1)、写出圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆和 $C$ 的渐近线在第一象限交于点 $M$ ，直线 $M F_{1}$ 交 $C$ 的另一条渐近线于点 $N$ ，若 $\vec{F_{1} N} = 3 \vec{N M}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{2}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项的和为.

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5、若抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，则 $p$ 的值为．

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6、如图①所示，长方形 $A B C D$ 中， $|A D| = 1, |A B| = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B, P C$ ，得到图②的四棱锥 $P - A B - C M$ .若 $N$ 为线段 $P B$ 中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $C N$ $∥$ 平面 $P A M$ B、 $C N$ 的长为定值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、四棱锥 $P - A B C M$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、设二面角 $P - A M - D$ 的平面角为 $θ$ ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，则平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{11} < S_{9} < S_{10}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a_{10} > 0$ B、 $a_{11} < 0$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{10}$ D、 $S_{20} > 0$

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8、已知 $a \in R$ ，直线 $l_{1} : 2 x + a y - 2 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x + 2 y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 1$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = \pm 2$ D、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ .当 $|P F_{1}| + |P Q|$ 取最小值为4时，则 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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10、已知公比为3的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ，不等式 $2 S_{n} a_{n} - m a_{n} + 27 \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 9]$ B、 $(- \infty, 16]$ C、 $(- \infty, 17]$ D、 $(- \infty, 29]$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2}, P$ 是 $C$ 上一点，若 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = a$ ，且 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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12、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的公切线有3条，则实数 $r$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, x, y)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = 2, y = 6$ B、 $x = 2, y = - 6$ C、 $x = - 2, y = 6$ D、 $x = - 2, y = - 6$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，若 $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $a_{5}$ 为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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15、已知直线 $l : y = - x + m$ 经过圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 8 = 0$ 的圆心，则实数 $m$ 为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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16、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 4 ， S_{8} = 4$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值以及取得最大值时的 $n$ 的值；

(3)、求 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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18、在平面直角坐标系中，圆 $M$ 的圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $2$ .

(1)、过点 $P (0, 4)$ 作圆 $M$ 的两条切线，求这两条切线的斜率之和；

(2)、若过点 $(0, - 1)$ 的直线与圆 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面 $α$ 外，且 $P A ⊥ α$ ， $P B = P C = \sqrt{17}$ ， $t a n ∠ B P C = \frac{8}{15}$ ，当 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离最大时， $△ A B C$ 的面积为.

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ .

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