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相关试卷

1、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in {1, 2, 3, \dots, 100}$ ．其中 $x_{i} > 1895 ， \sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5} ， \sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + {\hat{a}}_{1}$ ，残差为 ${\hat{e}}_{i}$ ．对样本数据进行处理： $x_{i}^{'} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $(x_{i}^{'}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + {\hat{a}}_{2}$ ，其残差为 $\hat{u_{i}}$ ， $\hat{e_{i}}, \hat{u_{i}}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} \sim N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 ${\hat{a}}_{1} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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2、已知函数 $f (x) = a x + \ln x + 1 - x e^{2 x}$ 对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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3、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心， $c$ 为半径的圆与双曲线 $M$ 在第一象限的交点为 $P$ .若 $|P F_{1}| = c + 4$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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4、已知集合 $M = \{x |y = \ln x\}$ ，集合 $N = \{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x > 0$ 且 $x \neq 1\}$ B、 $\{x |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x \neq 0\}$

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5、在直角坐标平面内，设P是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点， $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为点Q，点M在 $Q P$ 的延长线上，且 $\frac{|Q P|}{|Q M|} = \frac{2}{3}$ ，点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设l是过点 $N (4, 0)$ 的动直线．
①当直线l的斜率为 $- 2$ 时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线 $A E$ 与x轴的交点为F，求 $△ A B F$ 面积的最小值．

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6、已知函数 $f (x) = e^{- a x} + \sin x - \cos x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ， $x \geq - \frac{π}{4}$ ，求证： $F (x) = f^{'} (x) - \frac{1}{3} x - 1$ 有且仅有一个零点；

(2)、若对任意 $x \leq 0$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $a$ 满足第（2）问所得的取值范围，且 $g (x) = f (x) + s i n x \cdot f (x)$ ，求 $g (x)$ 在 $x \leq 0$ 时的最小值，并指出取到最小值时 $x$ 的取值．

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7、某区域中的物种 $P$ 拥有两个亚种（分别记为 $A$ 种和 $B$ 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉 $100$ 个物种 $P$ ，统计其中 $A$ 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共 $20$ 次，记第 $i$ 次试验中 $A$ 种的数目为随机变量 $X_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .设该区域中 $A$ 种的数目为 $M$ ， $B$ 种的数目为 $N$ ，每一次试验均相互独立.

(1)、求 $X_{1}$ 的分布列；

(2)、记随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} X_{i}$ .已知 $E (X_{i} + X_{j}) = E (X_{i}) + E (X_{j})$ ， $D (X_{i} + X_{j}) = D (X_{i}) + D (X_{j})$ ；
（ⅰ）证明： $E (\bar{X}) = E (X_{1})$ ， $D (\bar{X}) = \frac{1}{20} D (X_{1})$ ；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到 $X_{i}$ 的实际取值分别为 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的平均值 $\bar{x} = 40$ ，方差 $s^{2} = 1.176$ .采用 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ 分别代替 $E (\bar{X})$ 和 $D (\bar{X})$ ，给出 $M$ ， $N$ 的估计值.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{n + 2}{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、分别求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $c_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{b_{n} c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $△ P A C$ 是边长为2的正三角形， $B C = 4$ ， E，F分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为l．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E C A$ 的正弦值．

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10、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个动点M，满足 $M A = M D_{1}$ ，且 $M B = 1$ ，则四棱锥 $M - A D D_{1} A_{1}$ 体积的取值范围为．

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11、记 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积，已知 $T_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则 $a_{1} =$ ； $T_{2026} =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有两个交点，则 $r$ 的取值范围为．

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13、棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体ABCD中， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = \frac{1}{4} \vec{A D}$ ，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）

A、 $A K ⊥ B K$ B、若直线AK与平面PQR的交点为M，则 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A K}$ C、四面体ABCD外接球的表面积是 $\sqrt{3} π$ D、四面体KPQR的体积是 $\frac{1}{36}$

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14、设函数 $f (x) = \ln | x - a |$ 在区间 $(2, 3)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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15、已知 $\tan α = 3$ ，则 $\sin^{2} α + \sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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16、若 $(1 - i) z = 2$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、5

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17、已知集合 $A = \{x |x - 1 > 0\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} < 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \sqrt{3}, - 1)$ B、 $(- 1, \sqrt{3})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3}, 1)$

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18、在 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $α$ 为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如 $∠ A P C = π - ∠ B A C = ∠ A B C + ∠ A C B$ ，若下列问题中的点P为 $△ A B C$ 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)、求证：正 $△ A B C$ 的外心 $O$ 是 $△ A B C$ 的布洛卡点；

(2)、若 $△ A B C$ 满足 $A B = A C = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ 时，求 $\tan α$ ；

(3)、角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $∠ A B P = ∠ P B C = α$ ，且 $a = c$ ，若 $△ A B C$ 的周长为4，试把 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 表示为b的函数 $f (b)$ ，并求 $f (b)$ 的值域.

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19、如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 在边 $A B$ 上运动， $F$ 在边 $B C$ 上运动， $A F$ 与 $D E$ 交于点G.

(1)、若E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，用向量法证明 $A F ⊥ D E$ ；

(2)、若E是 $A B$ 的中点， $B C = 3 B F$ ， $\vec{A G} = λ \vec{A F}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、若 $A E = B F$ ， $\vec{D G} = m \vec{D A} + n \vec{D F}$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ， $(2 b - c) cos A = a cos C .$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b + c = 7 ， a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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