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相关试卷

1、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、3 D、2

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2、已知集合 $A = \{1, 4, a^{2}\}$ ， $B = {4, 2 a}$ ， $A \cap B = B$ 则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 $\{\frac{1}{2}\}$ B、 $\{0, \frac{1}{2}\}$ C、 ${0, 2}$ D、 $\{0, \frac{1}{2}, 2\}$

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3、培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（ $t \in [0, 24]$ ）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为 $y = \{\begin{matrix} 4 - \frac{16}{t + 4}, 0 \leq t \leq 12, \\ 6 - \frac{t}{4}, 12 < t \leq 24. \end{matrix}$ 根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．

(1)、若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；

(2)、若 $t = 0$ 时在水中首次投放1个单位的物质N， $t = 16$ 时再投放1个单位的物质N，试判断当 $t \in [16, 24]$ 时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．

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4、若不等式 $- x^{2} + t^{2} - 2 a t + 1 \geq 0$ 对任意 $x \in [- 1, 1]$ 及 $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是．

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5、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}} + {(x + 1)}^{0}$ 的定义域为.

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，命题 $p : f (x)$ 为奇函数，命题 $q : f (0) = 0$ ，那么 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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7、已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 3, 2)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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8、已知集合 $A = {x| 0 < x < 3}$ ， $B = \{x| 1 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 4]$ C、 $[3, 4)$ D、 $[1, 3)$

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9、设圆C过点 $M (0, - 2)$ 且与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2} y + 12 = 0$ 相切于点 $N (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $F (4, - 2)$ 三个点，点P在圆C上运动，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P F|}^{2}$ 的最大值和最小值；

(3)、已知直线l： $x = 4$ 与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证： $\vec{G D} \cdot \vec{G E}$ 为定值，并求出这个定值.

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10、已知圆C的圆心C在x轴上，并且过 $A (1, 2)$ 和 $B (3, 0)$ 两点．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $x - m y + 1 = 0$ 与圆相交于M，N两点， $△ C M N$ 的面积为2，求实数m的值．

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $D D_{1}$ 的中点，F为线段 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $F C_{1} //$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A B_{1} E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点F到平面 $A B_{1} E$ 的距离．

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12、已知 $A (0, 2)$ ，点 $P$ 在直线 $x + y + 2 = 0$ 上，点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 上，则 $|P A| + |P Q|$ 的最小值是.

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13、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $λ$ （ $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知 $A (- 4, 2)$ ， $B (2, 2)$ ，点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 2$ ，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（）

A、圆C的方程是 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ B、过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、若x，y满足圆C的方程，则 $x - y$ 的最大值是 $2 + 4 \sqrt{2}$ D、过直线 $3 x + 4 y = 60$ 上的一点P向圆C引切线 $P M, P N$ ，则四边形 $P M C N$ 的面积的最小值为 $16 \sqrt{3}$

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14、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ = 1$ 时， $A_{1} P //$ 平面 $A B C D$ B、当 $λ = 1$ 时，点P在棱 $B B_{1}$ 上 C、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在两个点P，使得 $A_{1} P ⊥ B P$

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15、对于直线l： $(m - 2) x + y - 2 m + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、l过定点 $(2, 3)$ B、C的半径为3 C、l与C可能相切 D、l被C截得的弦长最小值为 $2 \sqrt{7}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过原点的直线l交曲线 $y = \frac{1}{x}$ 于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为 $60 °$ 的二面角，则线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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17、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $y = x + b$ ，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ D、 $(- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

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18、圆 $x^{2} + y^{2} - 10 x - 10 y = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 40 = 0$ 的位置关系是（）

A、相离 B、外切 C、相交 D、内切

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19、已知直线： $l_{1}$ ： $a x - 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 3) y + a = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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20、在空间直角坐标系Oxyz中，点 $A (1, 3, - 2)$ 在平面Oxy上的射影点的坐标为（）

A、 $(1, 3, 0)$ B、 $(1, 0, - 2)$ C、 $(0, 3, - 2)$ D、不确定

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