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相关试卷

1、幂函数 $f (x) = x^{α}$ 满足 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则 $α$ 的值可以是（）

A、 $- 1$ B、3 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2、已知正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} = a c$ ，则 $\frac{a + c}{b} + \frac{b}{a + c}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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3、已知命题p： $\exists$ x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若 $\neg p$ 是真命题，则实数a的取值范围是（）

A、a<1 B、a>3 C、a≤3 D、a≥3

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4、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{0, 1\}$ ，集合 $B = \{1, 2\}$ ，则 $(∁_{U} B) \cap A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{- 1\}$ D、 $\{0\}$

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5、已知点E是圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点 $F (- 3, 0)$ ， M是线段EF的中点，P（m，0）（ $m \neq 0$ ）是x轴上的一个动点．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、当点M的轨迹上存在点Q，使 $∠ O P Q = 30 °$ ，求实数m的取值范围；

(3)、当 $m = 1$ 时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - 3$ ．求证：直线AB恒过定点．（其中 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ 分别为直线PA与直线PB的斜率）．

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6、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{b} = \overset{⃑}{A C}$ .
（1）若 $|\overset{⃑}{c}| = 3$ ，且 $\overset{⃑}{c} / / \overset{⃑}{B C}$ ，求向量 $\overset{⃑}{c}$ ；
（2）已知向量 $k \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；
（3）求 $Δ A B C$ 的面积.

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求 $B N$ 的长；

(2)、求 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值；

(3)、求证： $B N ⊥$ 平面 $C_{1} M N$ ．

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8、已知实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 2 a - 2 b$ ，则 $\frac{3 - b}{a + 1}$ 的最大值为.

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9、若空间非零向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线，则使 $2 k \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} + 2 (k + 1) \vec{e_{2}}$ 共线的k的值为.

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10、已知点 $M (- 1, 1), N (2, 1)$ ，且点 $P$ 在直线 $l : x + y + 2 = 0$ 上，则下列命题中错误的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $P M ⊥ P N$ B、存在点 $P$ ，使得 $2 |P M| = |P N|$ C、 $|P M| + |P N|$ 的最小值为 $\sqrt{29}$ D、 $||P M| - |P N||$ 的最大值为3

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11、已知 $|\vec{a}| = 2, \vec{b} = (1, 2, - 1)$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - 1, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1, - \frac{1}{2})$ C、 $(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}, - \frac{\sqrt{6}}{2})$

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12、若 $M$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则点 $M$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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13、某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取 $n$ 人进行调查研究.若抽到男生20人，则 $n =$ （）

A、60 B、45 C、35 D、25

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14、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, △ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .
（i）证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
（ii）求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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15、甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.已知每次甲回答正确的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙回答正确的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，三个人回答每个问题相互独立.

(1)、求一轮中三人全部回答正确的概率；

(2)、记 $P_{n}$ 为甲在第 $n$ 轮胜出的概率， $Q_{n}$ 为乙在第 $n$ 轮胜出的概率，求 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ ，并比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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16、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $A D ⊥ A B, A B / / D C, P A ⊥$ 底面ABCD，点 $E$ 为棱PC的中点， $A D = D C = A P = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $B E / /$ 平面PAD；

(2)、求点E到直线CD的距离；

(3)、求直线BE与平面PDC所成角的余弦值.

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17、在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；
②直线的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ；
③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行．
已知直线l过点 $P (1, - 2)$ ， _________________．

(1)、求直线l的一般方程；

(2)、若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于P，Q，求弦长 $|P Q|$ ．

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18、已知A，B，C三点共线，则对空间任一点 $O$ ，存在三个不全为0的实数a，b，c使 $a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} = \vec{0}$ ，那么 $a + b + c$ 的值为.

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19、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有一条公切线是 $7 x - 24 y - 25 = 0$ D、当 $r = 5$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程为 $6 x + 8 y - 1 = 0$

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20、甲、乙两人各投篮一次，若两人投中的概率都是0.6，且两人是否投中彼此互不影响，则下列判断正确的是（）

A、两人都投中的概率是0.36 B、恰有一人投中的概率是0.48 C、至少有一人投中的概率是0.86 D、至多有一人投中的概率是0.64

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