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相关试卷

1、近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 $O M N$ 内修建矩形水池 $A B C D$ ，矩形一边 $A B$ 在 $O M$ 上，点 $C$ 在圆弧 $M N$ 上，点 $D$ 在边 $O N$ 上，且 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ， $O M = 60$ 米，设 $∠ C O M = α$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，求 $O D$ 的长；

(2)、若矩形 $A B C D$ 的面积为 $S (α)$ ，当 $α$ 为何值时， $S (α)$ 取得最大值，并求出这个最大值.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有4个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是， $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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3、函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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4、已知函数 $y = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，函数 $y = ln x - \frac{1}{a} x$ 有两个零点 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} = ln x_{2}$ B、 $x_{3} = e^{x_{2}}$ C、 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ D、 $x_{1} \cdot x_{3} = x_{2}^{2}$

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5、已知曲线 $C_{1} : y = sin x$ ， $C_{2} : y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 $C_{2}$ B、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）得到曲线 $C_{2}$ C、把曲线 $C_{1}$ 上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C_{2}$ D、把曲线 $C_{1}$ 上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C_{2}$

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6、已知实数 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 $\log_{0.5} a > \log_{0.5} b$ D、 $a |a| > b |b|$

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7、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \ln x + x, x > 0 \\ \sin (ω x - \frac{π}{3}), - π \leq x \leq 0 \end{matrix}$ 恰有 $4$ 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3}, \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ D、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$

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8、已知函数 $f (x) = \cos (x + φ)$ ，则“ $f (- 1) = f (1)$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、若对定义域内的任意 $x$ ，不等式 $(e^{x} - a) ln (x + b) \geq 0$ 恒成立，则 $b^{2} + 2 ln a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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10、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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11、已知向量 $\vec{m} = (\cos 2 x, 1 + \sin x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan 2 x, 1 - \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调增区间.

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边， $2 \cos^{2} \frac{B}{2} + \cos B = 2$ ，求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围.

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12、已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值之和等于6，设函数 $f (x) = \frac{2 a^{x} + 1}{a^{x} + 1}$ .

(1)、求 $a$ 的值，判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、证明 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2}$ 为奇函数；

(3)、若不等式 $f (x + 1) - f (x) - m < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} + {(a - 1)}^{2}$ ， $g (x) = |x + a - 1|$ ， $h (x) = |x - 1| + |x - 4|$ .

(1)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ 使得 $h (x_{2}) \leq f (x_{1}) - g (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - a - 2}{x - a} \leq 0\}$

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $5 \in B$ ， $4 \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢²）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其所对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{8 π}{3}$ ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．

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16、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若函数 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则不等式 $f (3 x - 1) - f (2) > (3 x - 3) (3 x + 1)$ 的解集为．

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17、 ${0.0081}^{- \frac{1}{4}} - {[3 \times {(\frac{7}{8})}^{0}]}^{- 1} \times [81^{- 0.25} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}}] =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \sin \frac{ω x}{2} \cos \frac{ω x}{2} + \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有 $4$ 条对称轴；则（）

A、 $ω \in [\frac{13}{4}, \frac{17}{4})$ B、 $π$ 可能是 $f (x)$ 的最小正周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{16}, \frac{π}{16})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上可能有 $3$ 个或 $4$ 个零点

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19、已知 $3 sin (2 α - β) = sin β$ ，且 $α - β \neq \frac{π}{2} + k π$ ， $α \neq \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ ，则 $\frac{tan (α - β)}{tan α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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20、若对任意 $x \in R, a |x - b| + |x - 3| \geq |3 x - 1| (a \in R, b \in R)$ 成立，则（）

A、 $a \leq 2, b \geq - 1$ B、 $a \leq 2, b \leq - 1$ C、 $a \geq 2, b \geq - 1$ D、 $a \geq 2, b \leq - 1$

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