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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数， $f (1) = \frac{5}{2}$

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 (2 \leq x \leq 3)$ 的值域.

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2、集合 $A = \{x | (x - a) (x - 2) < 0\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ .

(1)、 $R$ 是实数集，若 $a = - 3$ ，求 $(∁_{R} A) \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ x (x - 2), x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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4、下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x} = - [(- x) + \frac{1}{- x}] \leq - 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 取等，解得 $x = - 1$ 或 $1$ ，又由 $x < 0$ ，所以 $x = - 1$ ，故 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最大值是 $- 2$ . B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{2}{x - 1} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{2}{x - 1}}$ ，当且仅当 $x = \frac{2}{x - 1}$ 取取等，解得 $x = - 1$ 或 $2$ ，又由 $x > 1$ ，所以 $x = 2$ ，故 $x > 1$ 时， $x + \frac{2}{x - 1}$ 的最小值为 $4$ . C、由于 $x^{2} + \frac{9}{x^{2} + 4} = x^{2} + 4 + \frac{9}{x^{2} + 4} - 4 \geq 2 \sqrt{(x^{2} + 4) \cdot \frac{9}{x^{2} + 4}} - 4 = 2$ ，当且仅当 $x^{2} + 4 = \frac{9}{x^{2} + 4}$ 取等，故 $x^{2} + \frac{9}{x^{2} + 4}$ 的最小值是 $2$ . D、当 $x, y > 0$ ，且 $x + 4 y = 2$ 时，由于 $2 = x + 4 y \geq 2 \sqrt{x \cdot 4 y} = 4 \sqrt{x y}$ ， $∴$ $\sqrt{x y} \leq \frac{1}{2}$ ，又 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} = \frac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$ ，当且仅当 $x = 4 y$ ， $x = y$ 取等，故当 $x, y > 0$ ，且 $2 = x + 4 y$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $4$ .

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5、下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中， $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b < 0$

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6、若 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 a x + a, x < 0 \\ (a - 3) x + 1, x \geq 0 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则（）

A、 $0 \leq a \leq 3$ B、 $0 \leq a < 3$ C、 $1 \leq a \leq 3$ D、 $1 \leq a < 3$

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7、设 $a = {0.9}^{1.2}$ ， $b = {1.2}^{0.3}$ ， $c = {1.1}^{0.3}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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8、函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + 2$ 在 $[0, 1]$ 上的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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9、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[0, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $[0, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $[0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, + \infty)$

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10、“方程 $x^{2} - a x + 1 = 0$ 有实根”是“ $a \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、 $Q$ 是有理数集， $R$ 是实数集，命题 $p : \forall x \in Q$ ， $\sqrt{x} \in ∁_{R} Q$ ，则（）

A、 $p$ 是真命题， $\neg p : \exists x \in Q$ ， $\sqrt{x} \notin ∁_{R} Q$ B、 $p$ 是真命题， $\neg p : \exists x \notin Q$ ， $\sqrt{x} \notin ∁_{R} Q$ C、 $p$ 是假命题， $\neg p : \exists x \in Q$ ， $\sqrt{x} \notin ∁_{R} Q$ D、 $p$ 是假命题， $\neg p : \exists x \notin Q$ ， $\sqrt{x} \notin ∁_{R} Q$

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12、集合 $A = \{(x, y) | y = 2 x\}$ ， $B = \{(x, y) | y = 4 - 2 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{(1, 2)\}$ C、 $\{(2, 1)\}$ D、 $\emptyset$

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13、迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000 ${cm}^{2}$ ，四周空白的宽度为10 $cm$ ，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5 $cm$ .
（1）试用栏目高 $a cm$ 与宽 $b cm$ （ $a > 0, b > 0$ ）表示整个矩形广告面积 $S {cm}^{2}$ ；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

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14、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图像关于 $y$ 轴对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - 2 (a - 1) x + 1$ 在区间 $(2, 3)$ 内具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、用单调性定义证明函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{x^{2}}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增.

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15、已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ， $B = \{x |4 x - 3 \geq x + 3\}$

(1)、求 $A$ ， $B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ； $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(3)、若 $C = \{x |a - 4 \leq x \leq a\}$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = |x|$ ， $g (x) = - \frac{1}{2} x + 2$ .

(1)、在同一直角坐标系中作出 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的最大者，记为 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ .例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = max \{f (2), g (2)\} = max \{2, 1\} = 2$ 请写出 $M (x)$ 的解析式；

(3)、请写出 $y = f (x)$ 的一个函数性质，并给予证明.

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17、已知奇函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) < 0$ 的解集是.

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18、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (9) =$ ．

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19、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为．（结果用集合表示）

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20、高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则称 $y = [x]$ 为高斯函数，如： $[- 2.5] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ ．若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的有（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $g (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的值域是 $\{- 1, 0\}$ D、 $g (x)$ 是 $R$ 上的增函数

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