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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 5^{x} + 5 x, g (x) = {log}_{5} x + 5 x, h (x) = x^{3} + 5 x$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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2、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{3} + a^{- 3} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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3、下列命题为真命题的是（）

A、“ $8^{a} > 8^{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $a > b$ ”的必要不充分条件 C、“ $a > b$ ”是“ ${(\frac{1}{3})}^{a} > {(\frac{1}{3})}^{b}$ 成立”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $ln a > ln b$ 成立”的必要不充分条件

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4、在 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}, 3^{- \frac{1}{3}}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(- 3)}^{- 1}$ 中，最大的数是（）

A、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ B、 $3^{- \frac{1}{3}}$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1}$ D、 ${(- 3)}^{- 1}$

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5、已知集合 $A = \{x ∣ y = {log}_{2} (x + 1)\}, B = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $\emptyset$

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6、已知命题 $p : \forall x > 0, e^{x} > 3$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0, e^{x} \leq 3$ B、 $\forall x \leq 0, e^{x} \leq 3$ C、 $\exists x > 0, e^{x} \leq 3$ D、 $\exists x \leq 0, e^{x} \leq 3$

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7、如图，在矩形ABCD中， $| A B | = 2 a, | B C | = 2 b (a > b > 0), E, F, G, H$ 分别是矩形四条边的中点，点 $M_{i}, N_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 分别是OF，CF的 $n (n \geq 2)$ 等分点，直线 $E M_{i}$ 和直线 $G N_{i}$ 的交点为 $K_{i}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 1, n = 2$ ，求点 $K_{1}$ 的坐标并证明点 $K_{1}$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上；

(2)、证明：点 $K_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 在同一个椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上；

(3)、若 $a = 2, b = 1$ .已知 $H (- 2, 0)$ ，过点 $D (- 2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交（2）中椭圆 $W$ 于S，T两点，直线 $H S, H T$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于P，Q两点，若 $| P Q | = 4 \sqrt{10}$ ，求 $k$ 的值.

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8、如图甲所示，已知在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ，且 $E$ 为BC的中点，将图甲中 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折起，使得 $A B ⊥ D E$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面AECD；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B D$ 的中点，求平面 $A B E$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $F$ 是线段 $B D$ 上的动点，且满足 $\vec{B F} = λ \vec{B D}$ ，若平面 $A E F$ 与平面AECD的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，焦距为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2, 0)$ 且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中 $P A = A D = 4, A B = 2, E$ 是PD的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面ACE；

(2)、若点 $Q$ 为PB的中点，求点 $Q$ 到平面ACE的距离.

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11、已知直线 $l$ 过点 $A (- 1, 0)$ 且倾斜角为 $45 °$ ，圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知直线 $m$ 与直线 $l$ 平行，且与圆 $C$ 相交所得弦长为2，求直线 $m$ 的方程.

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12、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上有一动点 $P$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，过 $P$ 作圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为A，B两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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13、已知 $P$ 为直线 $l : 3 x - 4 y + 9 = 0$ 上一点，过 $P$ 作圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，则最短切线长为．

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，其右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为.

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15、已知过点 $Q (1, 2)$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $D$ ，过焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线分别交 $C$ 于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（）

A、若直线AB的斜率为1，则 $| A B | = 8$ B、若点 $E (3, 2)$ 平分弦AB，则直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、 $| A B | + 2 | M N |$ 的最小值为 $12 + 8 \sqrt{2}$ D、若 $D B ⊥ A B$ ，则 $| A F | - | B F | = 4$

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16、如图，在底面为直角梯形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D, B C / / A D$ ， $A B = B C = A A_{1} = 1, A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ ， $0 \leq z \leq 2$ ），则下列结论正确的是（）

A、当 $x = y = 1, z = 2$ 时，点 $P$ 到直线AC的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、当 $x = 1, y = 0, z = 0$ 时，直线AP与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、若 $x = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $C B B_{1} C_{1}$ 内 D、若 $x = 2 y$ ，则点 $P$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内

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17、已知直线 $l : m x - y + 2 + m = 0 (m \in R)$ 和圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 一定与圆 $O$ 相交 C、直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的最短弦长为4 D、圆 $O$ 与圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 有3条公切线

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18、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若 $|P Q| = |F_{1} F_{2}|, |F_{1} P| = 2 |F_{1} Q|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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19、如图，在四面体ABCD中， $∠ C A D = ∠ B A D = 60^{°}, \cos ∠ C A B = \frac{2}{3}$ ，且 $A B = A C = A D$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，则直线CE与AD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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20、在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上有一点 $P$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3 π}{4}$ C、满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 的 $P$ 点有且只有4个 D、如果线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，此时 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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