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相关试卷

1、甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙班在每局中获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{364}{729}$ B、 $\frac{348}{729}$ C、 $\frac{340}{729}$ D、 $\frac{20}{243}$

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2、已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，圆锥内接于球 $O$ ，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{81}$ B、 $\frac{32 π}{81}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{32 π}{27}$

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3、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作斜率为正的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A F| = 2 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5、在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、若 $A = \{0, - 1, 1\}$ ，则A的子集个数为（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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7、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = 3 \tan A$ .
①当 $a = 4$ 时，求 $\frac{c}{\cos B}$ 的值；
②当 $b = 4$ 时，求 $a c$ 的最大值.

(2)、若 $A B = 2 B C = 4$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折成 $△ P A C$ ，使得平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ，在四面体 $P A C D$ 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ ，试比较 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的大小.

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8、如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为 $p_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ； $p_{5} =$ .

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9、数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为.

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10、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $4 (2 + \sqrt{3})$

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11、i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（）

A、 $|(8 - 6 i) i| = 10$ B、 $\frac{6 - 8 i}{i} = - 8 - 6 i$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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12、在 $△ A B C$ 中，P为边AB上一点， $C P = 1$ ， $∠ A C P = 30^{\circ}$ ， $∠ B C P = 45^{\circ}$ ， $A P = λ B P$ ， $∠ C P B = θ$ .当 $△ A B C$ 面积最小时， $\tan θ =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{8}$

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14、内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点 $C$ 与 $D$ 与塔底 $B$ 在同一水平面，并测得 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、60米

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15、现有 $A, B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球 $a$ 为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（）

A、M发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、M与N互斥 C、M与N相互独立 D、P发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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16、已知函数 $y = f (x), x \in D$ ，若对于任意实数 $a, b, c \in D$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 都能构成三角形的三条边长，则称函数 $y = f (x)$ 为 $D$ 上的“完美三角形函数”．

(1)、试判断函数 $f (x) = {sin}^{2} x + cos x + \frac{19}{4}$ 是否为 $R$ 上的“完美三角形函数”，并说明理由；

(2)、设向量 $\vec{m} = (2 k cos x, 2 cos x)$ ， $\vec{n} = (sin x, 3 k cos x)$ ，若函数 $g (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 3 k + 1$ 为 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的“完美三角形函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = cos (2 x - \frac{π}{3})$ 为 $[\frac{π}{6}, θ]$ （ $θ$ 为常数）上的“完美三角形函数”．函数 $h (x)$ 的图象上，是否存在不同的三个点 $A_{i} (x_{i}, h (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ ，满足 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ， $h (x_{1}) + h (x_{3}) = h (x_{2})$ ？若存在，求 $cos (x_{1} - x_{3})$ 的值；若不存在，说明理由．

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17、如图，在棱长为2的正四面体 $A - B C D$ 中， $P$ 为 $C D$ 上的动点， $M$ 为 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $A P$ 的中点， $B N$ 与 $P M$ 交于点 $Q$ ．

(1)、用 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ 表示 $\vec{P M}$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B}$ 的值；

(3)、若 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B} = \frac{16}{15}$ ，求 $\frac{D P}{D C}$ 的值．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cos ω x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sqrt{3} (0 < ω \leq 3)$ ，且函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的值域是 $[- \sqrt{3}, 2]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，求三棱锥 $E - C B B_{1}$ 的体积．

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20、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (2 m^{2} - 3 m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ ．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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