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相关试卷

1、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 与x轴的左右两个交点， $P_{1}, P_{2}$ 是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线 $A_{1} P_{1}$ 与 $A_{2} P_{2}$ 交点为点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 轨迹方程 $Γ$ .

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l交曲线Γ于 $C, D$ 两点，其中点 $C$ 在 $x$ 轴上方.设直线 $A_{1} D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，探究 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

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2、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\sqrt{S_{n}} = \frac{1}{2} (a_{n} + 1)$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, n \in N^{*}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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3、已知函数 $f (x) = a x - (a + 1) ln (2 x) - \frac{1}{x} (a > 0)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在其定义域一个子集 $(2 a - 1, 3)$ 内存在两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围并求 $f (x)$ 的极值.

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4、已知函数 $f (x) = sin ω x cos ω x - \sqrt{3} {cos}^{2} ω x + \frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式并求其单调递减区间；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在 $[0, m]$ 上恰有3个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、 $△ A B C$ 外接圆半径为2，三个角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a cos B + b cos A = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} < 0,$ ，则 $C =$ ； $2 a + 3 b$ 的最大值为.

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6、已知 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则 $\frac{1}{\tan α} + \tan α =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + a x + b$ ，其中实数 $a > 0, b \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $0 < a < 4$ 时， $f (x)$ 必有两个极值点 B、过点 $(2, b)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的3条不同切线，则 $0 < a < \frac{16}{3}$ C、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则 $2 a - b = 8$ D、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $\frac{1}{f^{'} (x_{1})} + \frac{1}{f^{'} (x_{2})} + \frac{1}{f^{'} (x_{3})} = 0$

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8、已知将函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 得函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x) = 2 cos 2 x$ C、 $g (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}, k \in Z$ D、若函数 $h (x) = g (x) + g (x + \frac{π}{4})$ ，则 $y = 2 h (x) + x$ 在 $(- \infty, π)$ 上有6个零点

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9、下列说法正确的是（）

A、定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{3^{x} - b}{3^{x + 1} + a}$ ，且 $f (x) + f (- x) = 0$ ，则 $a + b = 4$ B、函数 $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} x} - {cos}^{2} x$ 的最小值为1 C、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f (0) = 1$ D、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ， $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则 $f (1) = 0$

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (4 - x) + f (x + 2) = 4$ ，且对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $\forall x \in [2, 4]$ ， $f (ln x^{2}) + f (2 a - x) \leq 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4 - ln 2]$ B、 $[4 - ln 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 5 - ln 4]$ D、 $[5 - ln 4, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若方程 $f (x) = 2 m$ 在 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1]$ B、 $(- 1, - \frac{1}{2}]$ C、 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $[- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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12、若 $x {log}_{3} 4 = 2$ ，则 $2^{x} + 2^{- x}$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{82}{9}$

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13、设 $α, β$ 为两个平面， $l, n$ 为两条直线，则下列结论中正确的是（　　）

A、若 $l // n, n \subset α$ ，则 $l // α$ B、若 $l // α, l // β$ ，则 $α // β$ C、若 $l // α, l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = n, n ⊥ l$ ，则 $l ⊥ α$ 或 $l ⊥ β$

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14、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $0 < α < π$ ，则 $\sin (\frac{5 π}{6} - α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$

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16、已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 + i} - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则z的虚部是（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{9}{5} i$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{9}{5} i$

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17、已知集合 $A = \{x |{log}_{2} (2 x - 1) < 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} < 11\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |\frac{1}{2} < x < \sqrt{11}\}$ B、 $\{x |\frac{5}{2} < x < \sqrt{11}\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $P (2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + 2$ 被曲线 $C$ 所截的弦长为 $\frac{48}{7}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若点 $A$ 为曲线 $C$ 的右顶点，过点 $G (t, 0)$ （不同于点 $A$ ）且斜率不为0的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $G, N$ 之间），若点 $H$ 为线段 $M N$ 上的点，满足 $|G M| |H N| = |G N| |H M|$ ，且 $∠ N H A = 2 ∠ N G A$ ，求 $t$ 的值.

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19、已知圆 $C$ 经过点 $(0, 2)$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 = 0$ 相切于点 $(- 2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(4, 0)$ .
①证明： $∠ C M A = ∠ C M B$ ；
②求 $△ M A B$ 外接圆圆心 $Q$ 的轨迹方程.

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20、如图， $P A ⊥$ 矩形 $A B C D$ 所在的平面，点 $N$ 是 $A B$ 的中点，点 $M$ 是线段 $P C$ 上的一个动点，且 $P A = A B = 2 A D = 2$ .

(1)、若点 $M$ 是线段 $P C$ 的中点，证明： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、当三棱锥 $M - A B C$ 的体积是三棱锥 $P - M A B$ 的体积的2倍时，求平面 $P A B$ 和平面 $M A B$ 夹角的余弦值.

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