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相关试卷

1、函数 $f (x) = \ln |\frac{2 + x}{2 - x}|$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、已知 $\sin (25 ° - α) = \frac{1}{5}$ ，且 $- 270 ° < α < - 90 °$ ，则 $\sin (65 ° + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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3、声音的强弱通常用声强级 $D$ （dB）和声强 $I (W / m^{2})$ 来描述，二者的数量关系为 $D = m \lg I + n$ （ $m, n$ 为常数）．一般人能感觉到的最低声强为 $10^{- 12} W / m^{2}$ ，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ ，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（）

A、 $10^{- 6} W / m^{2}$ B、 $10^{- 7} W / m^{2}$ C、 $10^{- 8} W / m^{2}$ D、 $10^{- 9} W / m^{2}$

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4、已知 $a = \ln \frac{1}{2}$ ， $b = \sin \frac{1}{2}$ ， $c = 2^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以O为坐标原点， $O x$ 为始边，终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合为（）

A、 $\{α |α = 2 k π + \frac{π}{4}, k \in Z\}$ B、 $\{α |α = k π - \frac{π}{4}, k \in Z\}$ C、 $\{α |α = k π + \frac{π}{4}, k \in Z\}$ D、 $\{α |α = \frac{k π}{2} + \frac{π}{4}, k \in Z\}$

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6、已知命题p： $\forall x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x \leq \frac{1}{2}$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\forall x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x > \frac{1}{2}$ B、 $\exists x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x \leq \frac{1}{2}$ C、 $\exists x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x > \frac{1}{2}$ D、 $\forall x \in (- \infty, - \frac{π}{6}) \cup (\frac{4 π}{3}, + \infty)$ ， $\sin x < \frac{1}{2}$

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7、若集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ， $B = \{x |\ln x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过 $A_{1}$ 作直线 $l$ ，交椭圆上的另一点 $B_{1}$ ，过 $A_{2}$ 作直线 $l_{2}$ 交椭圆上的另一点 $B_{2}$ ，两条直线的斜率为 $k_{1}, k_{2} (k_{1} k_{2} \neq 0)$ ．
（i）若 $k_{1} = \frac{2}{3} k_{2}$ ，则直线 $B_{1} B_{2}$ 是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）若直线 $B_{1} B_{2}$ 过点 $G (1, 0)$ ，分别记 $△ A_{1} B_{1} G$ 和 $△ A_{2} B_{2} G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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9、某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖.

(1)、已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率；

(2)、当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件 $A$ ， “乙恰好获得一个二等奖”为事件 $B$ .
（i）顾客乙中二等奖的概率；
（ii）判断事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由.

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10、分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．

(1)、两个焦点坐标分别是 $(- 2, 0), (2, 0)$ ，并且经过点 $(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$ 的椭圆方程；

(2)、焦点在直线 $x + 3 y + 15 = 0$ 上的抛物线方程.

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x - y + 2 = 0$ 平行，则C的离心率为．

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12、学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为 $150$ ， $105$ ， $120$ .根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取 $25$ 人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取人.

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13、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点， $P$ 为四边形 $A B C D$ 内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $E - A B D$ 外接球的表面积为9π B、若 $P E = \sqrt{3}$ ，则点P的轨迹长度为 $\sqrt{2} π$ C、 $P E + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ D、若直线 $P E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $P B$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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14、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、短轴长为 $\sqrt{3}$ B、椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - 2 = 0$ 相离

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15、2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[10, 50]$ 的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（）

A、 $a = 0.03$ B、该场观众年龄众数的估计值为40 C、该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D、该场观众年龄平均数的估计值为35

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16、如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为 $1$ 的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的 $A$ 点，当放入一个半径为 $3$ 的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的 $A$ 点，则 $p$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 9)$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2 \sqrt{2})$

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17、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 $A$ 为“第一次向下的数字为1或2”，事件 $B$ 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{4}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{1}{7}$

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18、已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 均为单位向量， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = ⟨\vec{b}, \vec{c}⟩ = 90^{°}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ = 60^{°}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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19、已知直线 $3 x - 4 y + 2 = 0$ 是圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 a x = 0 (a > 0)$ 的一条对称轴，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{9}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、外离

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20、已知方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 4} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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