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相关试卷

1、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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2、等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64, b_{3} S_{3} = 960$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ $b_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ 若 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 4, a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ .

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6、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $0 < a_{1} < 1$ ， $a_{8} a_{9} > 1$ ， $a_{8} a_{9} + 1 < a_{8} + a_{9}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q > 1$ B、 $a_{8} a_{10} < 1$ C、 $T_{17} > 1$ D、 $T_{n}$ 的最小值为 $T_{9}$

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7、关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 - 2^{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、若 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列 C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等比数列 D、若数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等差数列

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 8$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入 $k$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ，以下说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 8 n - 6$ B、当 $k = 3$ 时， $b_{n} = 2 n$ C、当 $k = 3$ 时， $b_{29}$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、若 $b_{9}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则 $k$ 的值可能为7

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9、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = m$ ， $S_{m} = n (m \neq n)$ ，则 $S_{m + n} =$ （）

A、 $m + n$ B、 $- (m + n)$ C、 $m - n$ D、 $2 m + n$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{1} = 16$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，则 $T_{n}$ 取最大值时n的值为（）

A、3 B、6 C、4或5 D、6或7

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11、等比数列 ${a_{n}}$ 的前5项的和 $S_{5} = 10$ ，前10项的和 $S_{10} = 50$ ，则它的前15项的和 $S_{15}$ =（）

A、160 B、210 C、640 D、850

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12、在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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13、北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{9}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，它的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 18$ ， $a_{4} + a_{6} = 90$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、189 B、252 C、324 D、405

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14、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 和 $g (x) = \sqrt{x}$ .

(1)、求证： $f (x) < g (x)$ ；

(2)、设 $φ (x) = [\frac{4}{g^{2} (x)} + t] f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值点，求实数 $t$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x (a \geq 2)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于3的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上恰有两个零点，求a的取值范围．

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16、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 $\frac{64 π}{3}$ m³.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．

(1)、将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；

(2)、确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．

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17、已知函数f(x)＝x²＋aln x．

(1)、当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)、若函数g(x)＝f(x)＋ $\frac{2}{x}$ 在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．

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18、求下列函数的导数．
（1） $y = e^{x} \cos x + \sqrt{x} - t^{2}$ （ $t$ 为常数）；
（2） $y = \ln {(2 x + 5)}^{3} + \frac{\ln x}{x}$ .

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19、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 1 \\ - x^{2} + 2 x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则使 $f (x) - e^{x} - m \leq 0$ 恒成立的 $m$ 的范围是．

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20、若函数 $f (x) = e^{x} + a x$ 有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．

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