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相关试卷

1、若对定义域内的任意 $x$ ，不等式 $(e^{x} - a) ln (x + b) \geq 0$ 恒成立，则 $b^{2} + 2 ln a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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2、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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3、已知向量 $\vec{m} = (\cos 2 x, 1 + \sin x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan 2 x, 1 - \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调增区间.

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边， $2 \cos^{2} \frac{B}{2} + \cos B = 2$ ，求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围.

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4、已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值之和等于6，设函数 $f (x) = \frac{2 a^{x} + 1}{a^{x} + 1}$ .

(1)、求 $a$ 的值，判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、证明 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2}$ 为奇函数；

(3)、若不等式 $f (x + 1) - f (x) - m < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} + {(a - 1)}^{2}$ ， $g (x) = |x + a - 1|$ ， $h (x) = |x - 1| + |x - 4|$ .

(1)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ 使得 $h (x_{2}) \leq f (x_{1}) - g (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - a - 2}{x - a} \leq 0\}$

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $5 \in B$ ， $4 \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢²）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其所对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{8 π}{3}$ ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若函数 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则不等式 $f (3 x - 1) - f (2) > (3 x - 3) (3 x + 1)$ 的解集为．

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9、 ${0.0081}^{- \frac{1}{4}} - {[3 \times {(\frac{7}{8})}^{0}]}^{- 1} \times [81^{- 0.25} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}}] =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \sin \frac{ω x}{2} \cos \frac{ω x}{2} + \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有 $4$ 条对称轴；则（）

A、 $ω \in [\frac{13}{4}, \frac{17}{4})$ B、 $π$ 可能是 $f (x)$ 的最小正周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{16}, \frac{π}{16})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上可能有 $3$ 个或 $4$ 个零点

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11、已知 $3 sin (2 α - β) = sin β$ ，且 $α - β \neq \frac{π}{2} + k π$ ， $α \neq \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ ，则 $\frac{tan (α - β)}{tan α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、若对任意 $x \in R, a |x - b| + |x - 3| \geq |3 x - 1| (a \in R, b \in R)$ 成立，则（）

A、 $a \leq 2, b \geq - 1$ B、 $a \leq 2, b \leq - 1$ C、 $a \geq 2, b \geq - 1$ D、 $a \geq 2, b \leq - 1$

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13、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b + 2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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14、集合 $A = \{\begin{matrix} - 2, - 1, 0, 1, 2 \end{matrix}\}, B = \{\begin{matrix} x | | x - 2 ∣ \leq 1 \end{matrix}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{\begin{matrix} - 1, 0, 1 \end{matrix}\}$ B、 $\{\begin{matrix} 0, 1, 2 \end{matrix}\}$ C、 $\{\begin{matrix} 0, 1 \end{matrix}\}$ D、 $\{\begin{matrix} 1, 2 \end{matrix}\}$

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15、设函数 $f (x)$ 在非空数集M上的取值集合为N，即 $N = \{f (x) |x \in M\}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则称 $f (x)$ 为M上的“集中函数”．

(1)、分别判断 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = x^{2}$ 是否为 $[0, 4]$ 上的“集中函数”，并说明理由；

(2)、设 $a \geq 0$ ，若存在实数b，使得 $f (x) = {(x - a)}^{2} + b$ 为 $[0, 1]$ 上的“集中函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \log_{2} (\frac{9}{1 + 2^{x}} - 1)$ 为 $[a, b]$ 上的“集中函数”，求证： $a + b < 2$ ．

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16、已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $h (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ 的单调增区间；

(3)、设 $0 < θ < π$ ，记 $f (x)$ 在区间 $[0, θ]$ 上的最小值为 $g (θ)$ ，求 $g (θ)$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、若方程 $f (x) = k$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；

(2)、令 $g (x) = x^{2} + x^{- 2} - \frac{2 t}{f (x)} (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ， $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \leq \frac{17}{4}$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - a \cdot 2^{x}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - k \cdot 2^{x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在零点，求实数k的取值范围．

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19、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α + \frac{π}{6})$ 的值．

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20、已知 $0 < a < 1$ 且 $2 \log_{a} 8 - \log_{2} a = - 5$ ，则 $a =$ ．

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