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相关试卷

1、复数z满足 $z^{2}$ 为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)、已知 $|z| = 2$ ，求复数z；

(2)、已知 $z = 1 + i$ ，复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ 所对应的向量为 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，已知 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{b} + \vec{c})$ ，求λ的值．

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2、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，将 $△ B A C$ 沿直线 $A C$ 翻折至 $△ B_{1} A C$ 的位置，当三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的体积最大时，则三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球的半径为．

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3、已知 $a, b \in R$ ， $a + b i = i^{4} - 3 \cdot i^{2025}$ （i为虚数单位），则 $a + 2 b =$ ．

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4、已知 $\vec{a} = (x, - 2)$ ， $\vec{b} = (5, - 7)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点F的轨迹的线段为 $2 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、若过A、M、 $C_{1}$ 三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最大值为 $2 \sqrt{3}$

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6、若 $m$ ， $n$ 为空间中两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$

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7、若复数z满足 $z = 1 - i$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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8、如图1，图2，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A B$ 的中点．

(1)、图1中求证： $A C_{1} / /$ 平面 $M B_{1} C$ ；

(2)、图1中求二面角 $A_{1} - C M - A$ 的正切值；

(3)、图2中，已知 $A B = 2$ ， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $D_{1} N$ 上的动点，过 $M C$ 且与 $D P$ 垂直的截面 $α$ 与 $D P$ 交于点 $E$ ，求三棱锥 $P - M C E$ 的体积的最小值．

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9、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 - b \cos C = c \cos B$ ．

(1)、求b；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $2 \vec{B D} = \vec{D A}$ ，求 $|\vec{C D}|$ 的取值范围.

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10、已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、设 $x \in (0, π)$ ，且 $\tan (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{2}$ ， $5 f (α) = 6 f (x)$ ，求 $x$ 的值．

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11、某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求 $x$ 的值；

(2)、估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．

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12、在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，表示 $\vec{B E}$ ，并求 $|\vec{B E}|$ ；

(2)、若 $\vec{B F} = t \vec{B C}$ ， $\vec{A F} ⊥ \vec{B E}$ ，求实数 $t$ 的值．

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13、如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得 $B C = 20 m$ ， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则A，B两点间的距离为m．

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14、样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为．

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15、若复数 $z$ 满足 $|z + i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为．

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16、记 $sin x + cos y = a$ ， $cos x + sin y = b$ ，则（）

A、 $a$ 的取值范围为 $[- 2, 2]$ B、若 $a = 0$ ，则 $b = 0$ C、 $a + b$ 的最小值为 $- 2 \sqrt{2}$ D、若 $a = \sqrt{3}$ ，则b的最大值为1

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17、某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（）

A、该组数据的极差是35 B、该组数据的中位数是136 C、该组数据的40%分位数是135 D、该组数据的平均数为139

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18、已知 $△ A B C$ 中，点 $D (1, 2)$ ， $E (2, 0)$ ， $F (3, 2)$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E F} = (1, 2)$ B、 $\vec{C F} = (1, - 2)$ C、点A的坐标为 $(2, 4)$ D、 $△ A B F$ 的面积为4

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19、已知圆锥 $P O$ 的侧面面积为 $\sqrt{15} π$ ，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆锥 $P O$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{25 π}{4}$ B、 $\frac{25 π}{2}$ C、 $25 π$ D、 $\frac{33 π}{2}$

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20、若将函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左或右平移 $φ$ 个单位，所得的图象与 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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