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相关试卷

1、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位： $mm$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y = 18 \sin (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2})$ ，则该弹簧振子在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、 $0 mm/s$ B、 $6 π mm/s$ C、 $12 π mm/s$ D、 $18 π mm/s$

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2、若函数 $f (x) = x^{2}$ ，则当自变量 $x$ 由1变化到1.1时，函数 $f (x)$ 的平均变化率是（）

A、2 B、2.1 C、2.2 D、2.3

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3、设函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x}$ ，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

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4、（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记 $X = \{\begin{matrix} 0, 两球全是白球 \\ 1, 两球不全是白球 \end{matrix}$ ，求 $X$ 的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过 $2 h$ ，这些人的近视率约为 $60 %$ .现从每天玩手机不超过 $2 h$ 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？

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5、（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.

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6、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{1}{2}, g (x) = e^{2 x},$ 若 $g (x_{1}) = f (x_{2}),$ 则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值为．

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7、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a = b$ （mod m）．若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + ... + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b$ （mod 10），则b的值可以是（　　）

A、2011 B、2012 C、2020 D、2021

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8、若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{5} {(1 - x)}^{5}$ ，其中 $a_{i} (i = 0, 1, \dots, 5)$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = 1$

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9、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{(n + 1) (n + 2)} (n = 0, 1, 2)$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、 $P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1$ B、 $a = \frac{4}{3}$ C、 $P (0 \leq X < 2) = \frac{8}{9}$ D、 $P (X = 1) = \frac{2}{3}$

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10、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其导函数记为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < \frac{f (x)}{x}$ 恒成立，若 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(1, 2) \cup (- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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11、设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $g (x) = x \cdot f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $f (x)$ 有三个极值点 B、 $f (- 2)$ 为函数的极大值 C、 $f (x)$ 有一个极大值 D、 $f (- 1)$ 为 $f (x)$ 的极小值

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12、已知命题 $p : f (x) = \ln x + 2 x^{2} + 6 m x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $q : m \geq - 5$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{2}{x})}^{'} = 1 + \frac{2}{x^{2}}$ B、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} x + e^{x}}{x^{2}}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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14、已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $(a^{2} - b^{2} - c^{2}) \sin C \cos C = b c$ $\cos (B + C)$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ B、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ C、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$

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15、已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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16、在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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17、复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（）

A、 $C_{5}^{4}$ B、 $A_{5}^{4}$ C、 $5^{4}$ D、 $4^{5}$

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19、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立．

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元，求8局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D$ ⊥ $A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = 2$ ， $A P = 3$ ， $A B = 1$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A D$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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