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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $| x + 1 | > 1$ B、“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件 C、 $\exists x > 0$ ， $x^{3} = - x$ D、“ $x^{2} - x = 0$ ”是“ $x = 1$ ”的必要不充分条件

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2、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $M = {1, 2, 3}$ ， $N = {2, 3, 4}$ ，则 $∁_{U} (M \cap N) =$ （）

A、 ${5}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${1, 4}$ D、 ${1, 4, 5}$

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3、某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.

(1)、求 $a$ 的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；

(2)、以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在 $[200, 250)$ 内的天数为 $X$ ，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 、 $△ A C D$ 均是边长为2的正三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在 $A$ 、 $B$ 两个顶点，记顶点 $A$ 、 $B$ 上的数字分别为 $m$ 和 $n$ ，若 $E$ 为侧棱 $A B$ 上一个动点，满足 $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{m}{n}$ ，当“二面角 $E - C D - A$ 大于 $\frac{π}{4}$ ”即为中奖，求中奖的概率.

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4、两个有共同底面的正三棱锥 $P - A B C$ 与 $Q - A B C$ ，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角 $P - A B - Q$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．

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5、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥体积为.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{- x ln x}{x + 1}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、 $f (x) < \frac{1}{3}$ 恒成立 C、若方程 $f (x) = \frac{k}{x^{2} + x}$ 有两个不等实根，则 $k$ 的范围是 $(0, \frac{1}{2 e})$ D、直线 $y = - \frac{1}{4} x$ 与函数 $f (x)$ 图象有两个交点

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7、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B B_{1} = 4 B D$ ，点 $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $N$ 在棱 $B B_{1}$ 上，若 $M N / /$ 平面 $A D C_{1}$ ，则 $\frac{N B}{N B_{1}} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点 $M$ 到点 $A (- 1, 0)$ 与点 $B (2, 0)$ 的距离之比为2，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）过点 $P (5, - 4)$ 作曲线 $C$ 的切线，求切线方程.

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9、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 1$ ， $E$ 为 $A D$ 中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A D ⊥ D_{1} F$ ；

(2)、求 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} F$ 成角的余弦值.

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10、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (5, 1)$ ， $B (7, - 3)$ ， $C (- 8, 2)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上的高所在的直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的标准方程．

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11、已知直线 $y = k (x + 4) + 2$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}} + 2$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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12、直线 $l_{1} : x + 2 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + 4 y - 1 = 0$ 之间的距离为．

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13、点 $P (1, 0)$ ，点 $Q$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的一个动点，则线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$ C、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 4$

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14、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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15、已知直线 $l_{1} : m x + y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (4 m - 3) x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、1 C、1或3 D、0或 $\frac{1}{3}$

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16、设 $\overset{⃑}{a} = (1, y, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 1, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $y$ 等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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17、某厂生产某种零件，每个零件的成本为 $30$ 元，出厂单价定为 $52$ 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 $100$ 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 $0.02$ 元，但实际出厂单价不能低于 $41$ 元.

(1)、当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)、设一次订购量为 $x$ 个，零件的实际出厂单价为 $P$ 元，写出函数 $P = f (x)$ 的表达式；

(3)、当销售商一次订购 $500$ 个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

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18、已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a, b \in R)$ ，且 $f (1) = 2, f (- 2) = - \frac{5}{2}$ .

(1)、 $f (x)$ 的解析式，并写出其定义域；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减.

(3)、若对任意 $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，不等式 $x^{2} - c x + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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19、（1）已知 $f (x + 1) = x^{2} - x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知函数 $f (x)$ 是二次函数，且 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 4 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 2, f (x) < 0$ 解集为 $\{x | - 2 < x < 1\}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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