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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ （其中i是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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2、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， E是 $C D$ 的中点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求点D到平面 $P B E$ 的距离.

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0), ||M F_{1}| - |M F_{2}|| = 4$ ，动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + t$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，若 $A$ 为 $C$ 上一点， $∠ A F E$ 为钝角，且 $\frac{|A F|}{|A E|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $|A F| =$ .

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5、正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{4}{a_{6}}$ 的最小值为．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ \log_{2} x, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f [f (- \frac{1}{2})]$ 的值等于．

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7、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $C D E F$ 是边长为 $2$ 的正方形， $A E = A F = B D = B C$ ， $A B / /$ 平面 $C D E F$ ， $A B = 1$ ， $A B$ 到底面的距离为 $\sqrt{2}$ ，点 $S$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在四边形 $C D E F$ 内部（含边界）.则下列选项中正确的是（）

A、该五面体的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、存在点 $P$ ，使得 $S P / /$ 平面 $A B D E$ C、存在点 $P$ ，使得 $A P + B P = \frac{\sqrt{35}}{2}$ D、若 $B P = \frac{3}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $π$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c (c > 0)$ ，直线 $l$ 经过左焦点 $F_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法中正确的（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $4 a$ B、当直线 $A B$ 的斜率存在时，记 $k_{A B} = k (k \neq 0)$ ，若 $A B$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则 $k_{O M} \cdot k = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$ D、若 $|A B|$ 的最小值为 $3 c$ ，则椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$

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9、设函数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ ，则（）

A、 $f (π - x) = - f (x)$ B、 $f (π + x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a ＞ 0, b ＞ 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，若 $E$ 上点 $A$ 满足 $|A F_{1}| = 2 |A F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的取值范围为 $[\frac{2 π}{3}, π]$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3}, \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{7}, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $[7, 9]$

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11、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 上的动点，则下面说法正确的是（）

A、圆的半径为2 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ C、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3$ 的最小值为 $16 - \sqrt{2}$ D、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为5

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12、设 $A, B$ 是两个相互独立的随机事件，已知 $P (A) = \frac{3}{5}, P (A + B) = \frac{13}{15}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知复数z满足 $| z - (2 + i) | = 3$ ，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　）

A、线段 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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14、符合递推关系式 $a_{n} = \sqrt{3} a_{n - 1}$ 的数列是（）．

A、 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ B、 $1$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ D、 $0$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $3 \sqrt{3}$

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15、给定函数 $f (x), g (x)$ ，对于任意 $x \in R$ .函数 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的最大者.记为 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ .函数 $N (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的最小者.记为 $N (x) = \min \{f (x), g (x)\}$ .

(1)、用解析式表示 $M (x) = \max \{2^{x}, 2 x\}$ ，并求出 $M (x) > 3$ 的解集；

(2)、证明： $\min \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x) - |f (x) - g (x)|}{2}$ ；

(3)、设 $G (x) = x^{2} + (2^{b} - 1) x + b + 2 - |x^{2} - (2^{b} + 1) x - b + 2|$ ，若对任意 $x_{1} \in [1, 3]$ .都有 $G (x_{1}) \geq 2$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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16、已知 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ，且 $f (x) \geq 0$ 恒成立，当 $x = 0$ 时等号成立， $g (x) = \ln x - x + 1$ .

(1)、证明： $g (x) \leq 0$ ，并说明取等号的条件；

(2)、证明， $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n}, n \in N^{*}$ ；

(3)、已知 $x_{1}$ 满足 $f (x_{1}) + 2 x_{1} + 1 = 6$ ， $x_{2}$ 满足 $g (x_{2}) + 2 x_{2} - 1 = 6$ ，比较 $x_{1} + x_{2}$ 与 $e^{\ln 6.1}$ 的大小.

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17、在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = e^{x}$ (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = g (2 x) - 2 a g (x) + a^{2} + 2$ ，若 $h (x)$ 在R上的最小值为6，求实数a的值.

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18、已知关于 $x$ 的不等式 $(m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 1 > 0, m \in R$ .

(1)、若不等式的解集为 $\{x| - 3 < x < 1\}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若不等式对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、已知集合 $A = \{x| a - 1 < x \leq 2 a\}, B = \{x| x^{2} + x - 6 \geq 0\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B, A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求实数a的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于x的方程 $a {[f (x)]}^{2} - (3 a + 1) f (x) + 5 = 0$ 有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.

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