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相关试卷

1、不等式 $\frac{x - 1}{x - 3} < 0$ 的解集为．

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2、已知全集 $U = {x ∣ 2 \leq x \leq 5, x \in R}$ ，集合 $A = {x ∣ 2 \leq x < 4, x \in R}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = e^{a x} sin x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $x \leq \frac{π}{2}$ 时， $f (x) \geq x$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若正实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} (n \geq 3)$ 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{π}{2}$ ，求证： $\frac{π}{2} < \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) < e^{\frac{π}{2}}$ .

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4、已知等轴双曲线 $C : y^{2} - x^{2} = a^{2}$ ，过 $E (0, - 2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，与双曲线 $C$ 分别交于 $A, B$ 两点，当 $k = 0$ 时， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与双曲线 $C$ 的上、下两支相交，点 $D (0, 2)$ ，直线 $A D, B D$ 分别与双曲线 $C$ 的上支交于 $M, N$ 两点.
（i）求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围；
（ii）设 $△ D M N$ 和 $△ D A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，且 $S_{1} = \frac{9}{71} S_{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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5、甲、乙两人进行 $AI$ 知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得 $- 1$ 分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ .求：

(1)、在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望值；

(2)、甲在比赛中获胜的概率.

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6、在多面体 $A B C D E$ 中，已知 $A B = B C = 2, A C = 2 \sqrt{2}, D A = D B = E B = E C = \sqrt{5}$ ，且平面 $B C E$ 与平面 $D A B$ 均垂直于平面 $A B C, F$ 为 $D E$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ $A C$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值.

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7、已知动直线 $l_{1}$ 与圆 $x^{2} + {(y - 9)}^{2} = 1$ 相切，并与圆 $x^{2} + {(y - 9)}^{2} = 4$ 相交于点 $A, B$ ，点 $P$ 为抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，则 $|\vec{P O} + \vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围为.

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8、已知三棱锥 $P - A B C$ 满足 $A B = 3, B C = 4, A C = 5$ ，且其体积为 $4 \sqrt{2}$ ，若点 $P$ （正投影在 $△ A B C$ 内部）到 $A B, B C, A C$ 的距离相等，则二面角 $P - A B - C$ 的正弦值为.

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9、已知函数 $f (x) = |sin ω x| + |cos ω x| (ω > 0)$ 的定义域为 $A = [0, α] (α > 0)$ ，集合 $B = \{(x_{1}, x_{2}) ∣ f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = 2, x_{1} \neq x_{2}\}$ ，则（）.

A、若 $α = \frac{π}{2}, ω = 1$ ，则 $B = \emptyset$ . B、若 $ω = \frac{1}{2}$ ，且 $α \in [π, + \infty)$ ，则 $f (x)$ 的图象在 $A$ 上存在对称轴. C、若 $α = π$ ，且 $f (x)$ 在 $A$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{4}]$ . D、若 $B$ 中恰有3个不同元素，则 $ω α \in [\frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4})$ .

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10、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, A A_{1} = \sqrt{3}, E, F$ 分别为 $A B, B_{1} C_{1}$ 上的中点， $A_{1}, E, C, F$ 四点均在球 $O$ 的表面上，则（）

A、 $E F$ $∥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ B、 $A F ⊥$ 平面 $A_{1} E C$ C、 $A_{1} E$ 与 $C F$ 所成的角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ D、球 $O$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{7}}{6} π$

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11、已知在首项为1，公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, a_{6}$ 是等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前三项，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $d = 3$ B、 $S_{n} = \frac{n (3 n - 1)}{2}$ C、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为3的等差数列 D、 $b_{n} = 4^{n - 1}$

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12、函数 $f (x)$ 的 $n$ 阶导就是对函数 $f (x)$ 求 $n$ 次导数，记作 $f^{(n)} (x)$ ，设函数 $f (x) = (x - 2025) e^{x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f^{(2024)} (x) < k x - 1$ 恰有一个整数解，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, e^{2} + 1]$ C、 $(1, \frac{e^{2} + 1}{2}]$ D、 $(1, \frac{e + 1}{2}]$

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13、椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $E$ 交于点 $A, B$ ，过点 $A$ 作椭圆的切线 $l$ ，点 $B$ 关于 $l$ 的对称点为 $M$ ，若 $|A B| = a, \frac{S_{△ M A B}}{S_{△ A F_{1} B}} = \frac{3}{4}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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14、已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1, ∠ D A B = 60^{\circ}, E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、1 D、 $\frac{7}{6}$

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15、已知复数 $z \in C$ ，满足 $1 \leq |z - \frac{1}{1 + i}| \leq 2$ ，在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$ ，则点 $Z$ 所在区域的面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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16、已知 $lg a + lg b = 0 (a > 0, b > 0$ ，且 $a \neq 1, b \neq 1)$ ，则函数 $f (x) = a^{- x}$ 与 $g (x) = {log}_{b} x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、若 $α = - 5$ ，则（）

A、 $\sin α > 0, \cos α > 0$ B、 $\sin α > 0, \cos α < 0$ C、 $\sin α < 0, \cos α > 0$ D、 $\sin α < 0, \cos α < 0$

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18、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2, m^{2}\}, B = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 3\}$ ，若 $A \cap B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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19、对于数据 $1, 2, 4, 6, 6, 11$ ，下列说法错误的是（）

A、平均数为5 B、众数为6 C、极差为10 D、中位数为6

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20、已知 $f (x) = a x - (l n x)^{2}$

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、 $f (x)$ 有3个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $(l n x_{2} - l n x_{1}) \cdot l n x_{3} < \frac{4 e}{e - 1}$ .

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